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Si on connaît la pente en chaque point, comment retrouver le profil ? • Si on veut niveler le terrain, à quelle hauteur faut-il situer le terrain nivelé pour que les 

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et donc f est continue sur ce segment) est dérivable de dérivée f Démonstration : Soit I x ∈ 0 Montrons que F est dérivable en 0 x et que )( )(' 0 0 xf xF =

[PDF] Primitives et intégrales

fonctions dérivées n'est pas nécessairement une fonction dérivée On utilise la définition de l'intégrale et le fait que si F et G sont des primitives de d'une fraction rationnelle et on verra dans la partie compléments comment déterminer ce 

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situées au dénominateur sont supposées non nulles Dérivées des fonctions usuelles Dans chaque ligne, f′ est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I

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Si f est une fonction d'une variable, l'intégrale de f sur un intervalle [a, b] — que l' on note ∫ b a F2 sont deux primitives d'une fonction f, alors la dérivée de F2 − F1 est nulle (puisque F2 8 2 1 Comment définir l'aire d'une région du plan ?

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Théorème (Théorème de continuité sous l'intégrale) Soit f : (t,x) (domination de la dérivée) il existe une fonction ϕ : E → R+ mesurable telle que / ϕ dµ < ∞ et

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Un problème se pose : nous allons le moment venu dériver la fonction de deux variables (x, t) ↦→ f(x, t) par rapport à la (un calcul de l'intégrale de Gauss : ∫

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Sous les hypoth`eses faites ci-dessus, la fonction F est continue sur I Si, de plus, la fonction f admet en tout point de [a, b] × I une dérivée partielle par rapport 

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Faculte des Sciences et TechniquesUniversite Paul CezanneFormulaire : Derivees et primitives usuellesLyc´ee Blaise PascalTSI 1 ann´ee

Fiche : D

eriv´ees et primitives des fonctions usuelles

Dans tout le formulaire, les quantit´ees situ´ees au d´enominateur sont suppos´ees non nulles

D´eriv´ees des fonctions usuelles

Dans chaque ligne,f?est la d´eriv´ee de la fonctionfsur l"intervalleI. f(x) I f?(x)

λ(constante)

R 0 x R 1 xn(n?N?) R nxn-1 1x ]-∞,0[ ou ]0,+∞[ -1x2

1xno`un?N, n?2

]-∞,0[ ou ]0,+∞[ -nxn+1 ⎷x ]0,+∞[

12⎷

x lnx ]0,+∞[ 1x ex R ex sinx R cosx cosx R -sinx tanx i

2+kπ,π

2+kπh

, k?Z

1 + tan2x=1

cos2x

Op´erations et d´eriv´ees

(f+g)?=f?+g? (f◦g)?=g?×(f?◦g) (λf)?=λf?,λd´esignant une constante(un)?=nun-1u?(n?N, n?2) (fg)?=f?g+fg?"1un" =-nu? un+1(n?N, n?1) "1 g" =-g? g2 (eu)?=u?eu "f g" =f?g-fg? g2 (ln|u|)?=u? u

En particulier,siu >0 :?a?R,

(ua)?=αu?ua-1

Primitives des fonctions usuelles

Dans chaque ligne,Fest

une primitive defsur l"intervalleI. Ces primitives sont uniques `a une constante pr`es not´eeC. f(x) I F(x)

λ(constante)

R

λx+C

x R x22+C xn(n?N?) R xn+1n+ 1+C 1x ]-∞,0[ ou ]0,+∞[ ln|x|+C

1xno`un?N, n?2

]-∞,0[ ou ]0,+∞[ -1(n-1)xn-1+C

1⎷x

]0,+∞[

2⎷

x+C lnx R?+ xlnx-x+C ex R ex+C sinx R -cosx+C cosx R sinx+C

1 + tan2x=1

cos2x i

2+kπ,π

2+kπh

, k?Z tanx+C

Op´erations et primitives

On suppose queuest une fonction d´erivable sur un intervalleI•Une primitive deu?unsurIestun+1 n+ 1(n?N?)

•Une primitive deu?

u2surIest-1 u.

•Une primitive deu?

unsurIest-1 (n-1)un-1.(n?N,n?2.

•Une primitive deu?

⎷usurIest 2⎷ u(En supposantu >0 surI.)

•Une primitive deu?

usurIest ln|u|.

•Une primitive deu?eusurIesteu.En particulier, siu >0 surIet sia?R\ {-1}, une primitive deu?uasurIest :

Z u ?ua=8<:1 a+ 1ua+1+Csia?R\ {-1} lnu+Csia=-1Module MA109 - Outils mathematiques 1 Annee 2010/2011quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50