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rang et/ou calcul du rang d'une matrice ; • au moins une méthode de calcul du rang, par exemple par l'algorithme de Gauss (oui, c'est un peu la même chose 

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Nous survolons les propriétés du rang en algèbre linéaire Le théorème dit donc que si on veut calculer le rang d'une matrice, il suffit faire des opéra-

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Rang des matrices

D´edou

Octobre 2010

Matrice d"un syst`eme

Le rang du syst`eme d"´equations

?8x+ 3y+ 5z= 1

2x+ 4y+ 7z= 2

ne d´epend que du syst`eme des coefficients ?8 3 5

2 4 7?

qu"on appellematricedu syst`eme lin´eaire.Exo 1 Ecrivez la matrice du syst`eme lin´eaire suivant :

2x+ 3y= 5

4x-5y= 4

6x+ 7y= 7.

Syst`eme homog`ene associ´e `a une matrice

Inversement, toute matrice provient d"un unique syst`eme lin´eaire homog`ene.Exemple A gauche une matrice, et `a droite le syst`eme homog`ene correspondant. (8 2 2 4 5 7) )8x+ 2y= 0

2x+ 4y= 0

5x+ 7y= 0.Exo 2

Ecrivez le syst`eme lin´eaire homog`ene dont la matrice est : ?8 2 1

2 4 1?

Rang d"une matrice

Par d´efinition

le rang d"une matrice est celui du syst`eme homog`ene associ´e.

Exemple

La matrice suivante a pour rang 3 (le syst`eme correspondant est facile) :( (8 2 4 6

0 0 2 4

0 3 5 7)

)Exo 3

Quel est le rang de la matrice suivante :

(4 0 2 2

2 3 4 1

6 0 3 3)

Rang des matrices

Les m´ethodes de calcul du rang

passent sans changement des syst`emes lin´eaires homog`enes aux matrices.On va en profiter pour les passer en revue. R`egles de calcul du rang des syst`emes de vecteurs

Le rang d"une matrice ne change pas

quand on change l"ordre des lignes quand on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non nulquand on ajoute (ou retranche) `a une ligne une combinaison des autresquand on ajoute (ou retranche) `a la matrice une nouvelle ligne qui est combinaison lin´eaire des antres.Le rang d"une matrice augmente de 1 quand on lui ajoute une ligne qui n"est pas combinaison lin´eaire des autres.Le rang d"une matrice est ´egal au nombre de ses lignes sauf si l"une d"entre elles est combinaison lin´eaire des autres.

Matrices faciles

On dira qu"une matrice est facile

si l"une de ses colonnes a tous ses nombres nuls sauf exactement un.Exemple

La matrice suivante est facile :

(8 3 0 1

1 3 0 6

2 4 7-1)

)Exo 4

Donnez un autre exemple de matrice facile.

Matrices d´eriv´ee d"une matrice facile

A gauche une matrice facile, et `a droite une de ses deux matrices d´eriv´ees : (8 0 0 1

1 3 0 6

2 0 7-1)

)?8 0 1

1 3 6?

La matrice d´eriv´ee s"obtient en barrant la ligne et la colonne ad´equate.Exo 5 Ecrivez l"autre matrice d´eriv´ee de la matrice ci-dessus.

Rang des matrices faciles

Le rang d"une matrice facile

s"obtient en ajoutant 1 au rang de l"une de ses matrices d´eriv´ees.

La m´ethode de Gauss pour le rang des matrices

Exemple

On a rang (1 2 3 1

1 3 1 6

2 1 2-1)

=rang( (1 2 3 1

0-1-2 5

0-3-4-3)

= 3.On a faitE2:=E2-E1etE3:=E3-2E1. La matrice d´eriv´ee est de rang deux parce que ses deux lignes ne sont pas proportionnelles.Exo 6

Calculer intelligemment

rang (3 2 3 1

1 3 0 6

2 1 2-1)

Notion formelle de matrice

Une matrice `aplignes etqcolonnesc"est une application de [1..p]×[1..q] versR.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7