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La valeur exacte deCSest⎷32,04cm et une valeur arrondie au dixième près deCSest5,7cm. 5 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ Patron (les longueurs ne sont pas en vraie grandeur sur ce dessin) :
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Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/
Mathématiques
CORRECTION DU BREVET (DNB)
MÉTROPOLE, RÉUNION, MAYOTTE,juin2010
Correction proposée par Mr MORICEAU
Saint Denis (RÉUNION), le01juillet2010
1°partie : Activités numériques
VExercice1:
1. On utilise le programme de calcul :
a) On choisitle nombre2.On multiplie ce nombre par(-2):2×(-2) =-4
On ajoute5:-4 + 5 = 1
On multiplie par5:1×5 = 5
Si on choisit le nombre2au départ, le résultat obtenu est5avec ce programme de calcul b) On choisitle nombre3.On multiplie ce nombre par(-2):3×(-2) =-6
On ajoute5:-6 + 5 =-1
On multiplie par5:(-1)×5 =-5
Si on choisit le nombre3au départ, le résultat obtenu est-5avec ce programme de calcul 1 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/2. On choisitle nombrex.
On multiplie ce nombre par(-2):x×(-2) =-2x
On ajoute5:-2x+ 5
On multiplie par5:(-2x+ 5)×5 =-10x+ 25
Pour que le résultat du programme de calcul soit0, nous sommes amenés à résoudre l"équation-10x+ 25 = 0 -10x+ 25 = 0 -10x+ 25 -25= 0- 25 -10x=-25 -10x -10=-25-10 x= 2,52,5est la solution de l"équation-10x+ 25 = 0.
Si on choisit le nombre2,5; le résultat obtenu est0avec ce programme de calcul3.(x-5)2-x2= (x-5-x)×(x-5 +x) = (-5)×(2x-5) =-10x+ 25.
Nous venons de voir que sixest le nombre de départ, le résultat de ce programme est-10x+ 25. Or(x-5)2-x2=-10x+ 25. Arthur a raison, l"expression(x-5)2-x2permet d"obtenir le résultat de ce programme de calcul si on choisit au départ le nombrex.VExercice2:
1. Par lecture graphique :
a) A partir de6litres d"eau liquide, on peut obtenir6,5litres de glace. b) Pour obtenir10litres de glace, il faut mettre à geler environ9,2litres d"eau liquide.2. La représentation graphique du volume de glace obtenu (enlitres) à partir d"un
volume d"eau liquide (en litres) estune droite qui passe par l"origine du repère 2 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ Nous pouvons dire que le volume de glace estproportionnelau volume d"eau liquide.3. Notonsple pourcentage recherché.
p=?10,8-10
10?×100 = 8
Ce volume d"eau augmente de8%en gelant.
2°partie : Activités géométriques
VExercice1:
1. Je vous laisse le soin de faire la figure en vraie grandeur.
2. a)ABCDest un carré donc l"angle?ABCest un angle droit. Comme le pointI
appartient au segment[AB]et le pointKappartient au segment[BC]alors l"angle ?JBKest un angle droit.D"autre part,JB=BK= 9÷3 = 3. Ainsi,JB=BK= 3cm.
Le triangleJBKest rectangle enB, nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore et écrire :JK2=JB2+BK2.On a donc :
JK2= 32+ 32= 9 + 9 = 18
Par conséquent,JK=⎷
18 = 3⎷2
La valeur exacte deJKest3⎷2cm et une valeur arrondie au dixième près deJKest4,2cm. b)IK≈4,2cm etKL= 3cm. Donc, l"octogoneIJKLMNOPn"a pas tous ses côtés de la même longueur. L"octogoneIJKLMNOPn"est pas un octogone régulier. 3 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ c) Avant de déterminer l"aire de l"octogoneIJKLMNOP, remarquons que les tri- anglesAIP,JBK,LCMetNDOsont tous des triangles rectangles. En appliquant le théorème de Pythagore dans ces quatre triangles, on obtient :IK=LM=ON=IP= 3⎷
2cm Ces quatre triangles ont la même aire. Notons par exempleAJBKl"aire du triangle JBK. AJBK=JB×BK
2=3×32= 4,5
L"aire de chaque triangle rectangle est égale à4,5cm2 NotonsAl"aire de l"octogoneIJKLMNOPetAABCDl"aire du carréABCD.Nous pouvons écrire :
A=AABCD-4× AJBK= 92-4×4,5 = 81-18 = 63
L"aire de l"octogoneIJKLMNOPest égale à63cm2.3. a) Je vous laisse le soin de tracer le cercle demandé.
b) NotonsAdisquel"aire du disque de centreSet de diamètre9cm.Le rayon de ce disque est4,5cm.
Nous pouvons écrire :Adisque=π×4,52= 20,25π≈63,6 l"aire du disque de centreSet de diamètre9cm est environ égale à63,6cm2.Comme63,6>63alors l"aire du disque de centreS
et de diamètre9cm est supérieure à l"aire de l"octogoneIJKLMNOP.
VExercice2:
1. Je vous laisse le soin de tracer le triangleABCdemandé.
2. Le côté le plus long de ce triangleABCest le côté[BC]qui mesure5,2cm.
Calculons séparémentBC2etAB2+AC2.
BC2= 5,22= 27,04
AB2+AC2= 22+ 4,82= 4 + 23,04 = 27,04?
doncBC2=AB2+AC2 D"après la réciproque du théorème de PYTHAGORE, on peut direque le triangleABCest rectangle enA.
4 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ le triangleABCest rectangle enA3. Calculons la longueurBSet la longueurCS
Le triangleABSest rectangle enA, nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore et écrire :BS2=BA2+AS2.On a donc :
BS2= 22+ 32= 4 + 9 = 13
Par conséquent,BS=⎷
13 La valeur exacte deBSest⎷13cm et une valeur arrondie au dixième près deBSest3,6cm. Le triangleACSest rectangle enA, nous pouvons donc appliquer le théorème dePythagore et écrire :CS2=CA2+AS2.
On a donc :
CS2= 4,82+ 32= 32,04
Par conséquent,CS=⎷
32,04La valeur exacte deCSest⎷32,04cm et une valeur arrondie au dixième près deCSest5,7cm. 5 Mr MORICEAU, année scolaire2009-2010http://ammaths.t35.com/ Patron (les longueurs ne sont pas en vraie grandeur sur ce dessin) :