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Cours de mathématiques pour la classe de Seconde

VincentDujardin- FlorentGirod1

Année scolaire 2014 / 2015

1. Externat Notre Dame -Grenoble

Table des matières0 Ensembles de nombres et intervalles deR3

1) Principaux ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4

2) L"axe des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4) Union d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5) Intersection d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1 Algèbre8

1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse (rappels) . . . . . . . . 9

2) Transformations d"expressions (rappels) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10

3) Trois méthodes pour démontrer une égalité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

4) Égalités équivalentes (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

2 Équations et inéquations : bases algébriques et approche graphique 14

1) (In)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2) Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

3 Modéliser par des fonctions20

1) Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

2) Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

4) Image, antécédent(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

4 Sens de variations - Fonctions affines28

1) Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2) Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3) Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Fonctions carré, inverse, de degré 2, homographique 34

1) La fonction carré :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2) Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3) Fonctions polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

4) Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40

6 Inéquations, étude de signes, sens de variations 41

1) Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2) Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44

7 Trigonométrie46

1) Enroulement de la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47

2) Sinus et cosinus d"un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 50

8 Analyse de données - Statistiques descriptives 52

1) Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53

2) Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3) Indicateurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 55

4) Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56

5) La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56

9 Probabilités57

1) Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58

2) Probabilité d"un évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60

3) Opération sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61

10 Fluctuation d"échantillonnage62

1) Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

2) Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63

3) Estimation d"une proportion à partir d"un échantillon . .. . . . . . . . . . . 66

11 Géométrie dans l"espace67

1) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2) Représentation de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69

3) Droites et plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70

12 Vecteurs, repérage72

1) Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2) Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13 Équations de droites84

1) Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2) Droites parallèles ou sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 88

Chapitre 0Ensembles de nombres et intervalles deR

Bulletin Officiel (B.O)

Notations mathématiques

Les élèves doivent connaître les notions d"éléments d"un ensemble, d"un sous-ensemble, d"ap-

partenance et d"inclusion, d"intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant :,,,ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur

des exemples, à utiliser correctement les connecteurs logiques " et », " ou » et à distinguer

leur sens des sens courants de " et », " ou » dans le langage usuel.

Objectifs du chapitre:

itemréférencesauto évaluation connaître les ensembles de nombres (et leurs notations) utiliser les symboles,,, traduire l"appartenance à un intervalle deR utiliser les connecteurs logiques " et », " ou » 3

1) Principaux ensembles de nombres1 - 1) Les ensembles

NotationListeDescription

Rtous les nombres que vous connaisseznombresréels

N0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers naturels

Z;?3 ;?2 ;?1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers relatifs

On définit aussi les sous-ensembles suivants :

-R: tous les nombres réels sauf 0; -R+: tous les nombres réels positifs; -R: tous les nombres réels négatifs.

1 - 2) Appartenance et inclusion

Certains nombres

appartiennentà un ensemble donné; on note cette appartenance avec le symbole

Par exemple,?5Z.

Certains ensembles sont

inclusdans d"autres ensembles; on note cette inclusion avec le symbole Par exemple, si un nombre est entier naturel, alors il est entier relatif; cela se note :NZ

2) L"axe des réels

On peut représenter les nombres réels sur une droite graduée: - On définit un repère():est l"origine (abscisse 0),définit l"unité (abscisse 1). ?3?2?1 0 1 2 3 4 5? - Chaque point est repéré par son abscisse. Ici :(3)et(?2). - L"axe des réels n"a pas de borne : il est infini à gauche et à droite. - On notela notion d"infini :?est l"infini à gauche, et+est l"infini à droite. 4

3) Intervalles deR

etsont deux nombres, avec

Exemples:

"appartient à l"intervalle fermé[;]» - signifie?? - se note[;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle ouvert];[» - signifie - se note];[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle[; +[» - signifie? - se note]; +[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle]? ;]» - signifie? - se note]? ;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6

Remarque et vocabulaire:

-signifie " appartient » etsignifie " n"appartient pas »; -etsont les bornes de l"intervalle;

- Lorsque la borneappartientà l"intervalle, elle est dite " fermée » : le crochet est orienté

vers la borne; 5 - Lorsque la bornen"appartient pasà l"intervalle, elle est dite " ouverte » : le crochet " tourne le dos » à la borne. exemples : avec= [?2 ; 6[, on sait que2et6 avec=]0 ; 7[, on sait que0et7 - L"infini n"étant pas un nombre, cette borne est toujours ouverte. - Il y a une infinité de nombres dans un intervalle[;](avec ).

4) Union d"ensembles

Avecetdeux ensembles de nombres.

* se dit "appartient àunion» * signifieou(appartient à, à, ou aux deux)

Application:

*[?1 ; 3][4 ; 6] signifie queest soit un nombre compris entre -1 et 3, soit un nombre compris entre 4 et 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[5 ; 6signifie queest soit un nombre compris (strictement) entre 0 et 4, soit un nombre égal à 5, soit un nombre égal à 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 6

Ou inclusif, ou exclusif" Entrée ou dessert » sur un menu signifie l"un ou l"autre, pas les deux pour le prix indiqué :

le " ou » est exclusif. " Pour Noël, j"aimerais avoir un PC ou un voyage aux USA » : le " ou » est inclusif : on souhaiterait évidemment avoir les deux.

En mathématiques, le

ouestinclusif(l"un, l"autre ou les deux) Dans le langage, " Et » et " Ou » peuvent piéger... " Les personnes ayant droit à des réductions à la SNCF sont celles de moins de 25 ans et celles de plus de 65 ans. »

On comprend :

" Une personne a une réduction si elle a moins de 25 ans ou plus de 65 ans (elle ne peut pas avoir les deux à la fois). »

En mathématiques :

" les solutions sont les nombres compris entre -2 et 0 (inclus) et entre 4 et 5 (inclus) »

On peut dire aussi :

"L"ensemble des solutions est[?2 ; 0][ 4; 5]:est solution équivaut à dire qu"il appartient

à[?2 ; 0]ou à[4 ; 5].

5) Intersection d"ensembles

Avecetdeux ensembles de nombres.

* se dit "appartient àinter» * signifieet(appartient à la fois àet à)

Application:

*[?1 ; 3][2 ; 6] signifie queest à la fois un nombre comprisentre -1 et 3, et compris entre 2 et 6: il est donc compris entre 2 et 3. En fait,[?1 ; 3][2 ; 6] = [2 ; 3] On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[2 ; 6signifie queest à la fois un nombre compris (strictement)entre 0 et 4 , etsoit égal à 2, soit égal à 6: il est égal à 2. En fait,]0 ; 4[2 ; 6=2 On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 7

Chapitre 1AlgèbreBulletin Officiel (B.O)

ContenuCapacités AttenduesCommentaires

Expressions algé-

briques

Transformations d"ex-

pressions algébriques en vue de la résolution de problèmes- Associer à un problème une expres- sion algébrique. - Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d"une ex- pression en vue de la résolution du problème donné. - Développer, factoriser des expres- sions polynomiales simples; trans- former des expressions rationnelles

simples.Les activités de calcul nécessitent unecertaine maîtrise technique et doiventêtre l"occasion de raisonner.Les élèves apprennent à développer desstratégies s"appuyant sur l"observationde courbes, l"anticipation et l"intelli-gence du calcul. Le cas échéant, celas"accompagne d"une mobilisation éclai-rée et pertinente des logiciels de calculformel.

Objectifs du chapitre:

itemréférencesauto évaluation développer, factoriser des expressions polynomiales simples; transformer des expressions rationnelles simples montrer que deux expressions sont

égales ou pas

1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse

(rappels)

1 - 1) quelques synonymes

SigneOpérationSynonyme

+Additionajouter, sommer, ... ?Soustractionenlever, retirer, ...

Multiplicationrépéter plusieurs fois, ...

Divisionpartager en parts égales, ...

1 - 2) Somme et différence

Soustraire un nombreéquivaut à ajouter son opposé?.

Autrement dit :?équivaut à+ (?)

Exemple:3?2 = 3 + (?2)

Remarque: tous les nombres ayant un opposé, les mathématiciens considèrent souvent les différences comme des sommes.

1 - 3) Produit et quotient

Diviser par un nombreéquivaut à multiplier par son inverse1

Autrement dit :

équivaut à1

Exemple:62= 612= 605

Question: cette proposition est-elle vraie ou fausse : " tous les nombres ont un inverse »?

1 - 4) Déterminer la nature d"une expression

Les expressions algébriques comportent généralement (ou presque) les quatre opérations. Ladernière opérationque l"on utilise,en respectant les priorités de calcul, pour évaluer l"expression donne son type : une somme (+), une différence (-), un produit () ou un quotient () Exemples: pour tout nombre,(?1)(+ 2)estun produit. pour tout nombre,2+?2estune somme. 9

2) Transformations d"expressions (rappels)2 - 1) Réduire et ordonner

Définition 1:Ordonnerune expression, c"estrangerles termespar ordre décroissant des puissances de la variable.

Exemple: pourun nombre, ordonner :32?8?2 + 43

réponse:32?8?2 + 43= 43+ 32?8?2 Définition 2:Réduireune expression, c"est la simplifier enregrou- pant les mêmes puissances des parties littérales (lettres). Exemple: pourun nombre, réduire et ordonner l"expression :2+3+2+4?52?2 réponse:2+ 3 +2+ 4?52?2 =2?52+ 2+ 4+ 3?2 =?32+ 6+ 1 Dans Xcas, la commande pour réduire et ordonner estnormal(expression)

2 - 2) Développer

Définition 3:Développerun produit, c"est l"écrire sous la forme d"une somme. Vocabulaire: les éléments d"une somme s"appellent lestermes. Propriété 1: distributivité et double distributivité

Pour,,,quatre nombres, on a

1.(+) =+

2.(+)(+) =+++

Preuve: vu au Collège

Exemple: développer, réduire et ordonner(4+ 3)(8?) réponse:(4+ 3)(8?)=48 + 4(?) + 38 + 3(?) =32?42+ 24?3 =?42+ 32?3+ 24 =?42+ 29+ 24 Dans Xcas, la commande pour développer une expression estexpand(expression) 10

2 - 3) Factoriser

Définition 4:Factoriserune expression, c"est l"écrire sous la forme d"un produit. Vocabulaire: les éléments d"un produit s"appellent lesfacteurs. En seconde, il y a deux méthodes pour factoriser, à appliquerdans l"ordre : Méthode 1: On cherche s"il y a unfacteur commun apparent.

Exemple: Factoriser l"expression(+ 1)(+ 3)?2(+ 1)

réponse:(+ 1)(+ 7)?2(+ 1)=(+ 1)[(+ 7)?2] =(+ 1)[+ 7?2] =(+ 1)(+ 5) Méthode 2: On regarde si on reconnaît uneidentité remarquable connue. Exemples: pourun nombre, factoriser au maximum les expressions suivantes

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VincentDujardin- FlorentGirod1

Année scolaire 2014 / 2015

1. Externat Notre Dame -Grenoble

1) Principaux ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4

2) L"axe des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4) Union d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5) Intersection d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1 Algèbre8

1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse (rappels) . . . . . . . . 9

2) Transformations d"expressions (rappels) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10

3) Trois méthodes pour démontrer une égalité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

4) Égalités équivalentes (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

2 Équations et inéquations : bases algébriques et approche graphique 14

1) (In)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2) Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

3 Modéliser par des fonctions20

1) Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

2) Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

4) Image, antécédent(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

4 Sens de variations - Fonctions affines28

1) Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2) Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3) Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Fonctions carré, inverse, de degré 2, homographique 34

1) La fonction carré :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2) Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3) Fonctions polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

4) Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40

6 Inéquations, étude de signes, sens de variations 41

1) Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2) Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44

7 Trigonométrie46

1) Enroulement de la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47

2) Sinus et cosinus d"un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 50

8 Analyse de données - Statistiques descriptives 52

1) Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53

2) Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3) Indicateurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 55

4) Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56

5) La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56

9 Probabilités57

1) Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58

2) Probabilité d"un évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60

3) Opération sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61

10 Fluctuation d"échantillonnage62

1) Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

2) Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63

3) Estimation d"une proportion à partir d"un échantillon . .. . . . . . . . . . . 66

11 Géométrie dans l"espace67

1) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2) Représentation de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69

3) Droites et plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70

12 Vecteurs, repérage72

1) Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2) Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13 Équations de droites84

1) Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2) Droites parallèles ou sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 88

Chapitre 0Ensembles de nombres et intervalles deR

Bulletin Officiel (B.O)

Notations mathématiques

Objectifs du chapitre:

1) Principaux ensembles de nombres1 - 1) Les ensembles

NotationListeDescription

N0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers naturels

On définit aussi les sous-ensembles suivants :

1 - 2) Appartenance et inclusion

Certains nombres

Par exemple,?5Z.

Certains ensembles sont

2) L"axe des réels

3) Intervalles deR

Exemples:

Remarque et vocabulaire:

4) Union d"ensembles

Avecetdeux ensembles de nombres.

Application: