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[PDF] Chapitre 6 : Logarithme

I Logarithme décimal 1 Le réel x est appelé logarithme de base 10 de a, ou encore logarithme décimal de a, 3 formules du changement de base

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Remarque : La première formule permet de transformer un produit en somme Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 x 62, appliquerait cette formule, soit : log(36 x 62) 

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La fonction ainsi définie (appelée logarithme décimal ou logarithme vulgaire, 1 ) Les logarithmes décimaux interviennent dans de nombreuses formules de 

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La formule utilise le logarithme décimal : ML = logA – logA0 = log ( A A0 )où A représente l'amplitude maximale relevée par le sismographe et A0 une amplitude 

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La formule explicite de la dérivée de g est la même que celle de f La seule différence réside dans le fait que l'ensemble de définition de f n'est qu'une partie de 

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La fonction logarithme décimal, notée log , est la fonction qui à tout x associe y 4 DEFINITION L'exposant d'une puissance de 10 est appelé « logarithme décimal  

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Fonctions logarithmes népérien et décimal

Table des matières

I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

I.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIPropriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.2 Logarithmed"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.3 Logarithmed"un produit de nombre positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.4 Logarithmed"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.5 Logarithmed"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III Etude de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.1 Limites en 0 et en+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.2 Continuitéet dérivabilitéde la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.3 Tableau de variation et représentationgraphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III.4 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV Logarithmed"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

V Logarithmedécimal (hors-programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I Définition

I.1 Définitions

Rappel :

Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction).

D"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelyde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que

e x=y. (voir interprétationgraphique).

Chaque réel deRa une image unique dans ]0 ;+∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ;+∞[ a un antécé-

dent unique par cette fonction exponentielle.

Définition

On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[. Siex=y, on dit quexest le logarithmenépérien dey. le nombre noté ln(x) ou lnxdont l"exponentiellevautx.

Conséquences :

a) Pour tout réelx>0 et tout réely,ey=x?y=lnx. b) Pour tout réelx>0,elnx=x. 1 c) Pour tout réelx, ln(ex)=x.

Démonstration :

a) et b) se déduisent directement de la définition. Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(ex); alors d"après a),y=exdoncx=y.

Autres conséquences:

•ln1=0. En effet,e0=1 et d"après (1), cela équivaut à ln1=0.

•lne=1. En effet,e1=eet on applique (1).

•Pour tout réelλ, l"équation lnx=λa pour unique solutionx=eλ(d"après (1)).

Propriété

Dans un repère orthonormal, les courbesCetC?, représentatives des fonctions exponentielle et loga-

rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x.

Démonstration :

M?(x;y)?C??y=lnx?x=ey?M(y;x)?C.MetM?sont symétriques par rapport à la droite d"équation y=x, donc les deux courbes également.

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9 O11 y=x y=lnxy=ex

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9

I.2 Sens de variation

Propriété

La fonction logarithmenépérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.

Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0 fonction exponentielleest croissante.

Conséquences:

Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.

•lna=lnb?a=b.

•lna

•lna<0?a<1.

•lna>0?a>1.

Exercices d"application :

a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3.

On obtient alors :x=e7-2

3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.

c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante).

On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?

d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx

On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x

x

2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.

Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[.

Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.

Δ=37>0; on trouvex1=1-?

37

2?D;x2=1+?

37

2>3 doncx2?D.

S=? 1+? 37
2?

II Propriétés algébriques

II.1 Relation fonctionnelle

Théorème

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb

Démonstration :

aetbsont deux réels strictement positifs.

On poseA=lnabetB=lna+lnb.

Alors :eA=ab;eB=elna+lnb=elna×elnb=ab=A.

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9

II.2 Logarithme d"un quotient

Propriété

Poura>0, ln?1a?

=-lna.

Démonstration :

a×1a=1 d"o ln? a×1a? =0?lna+ln?1a? =0 d"o : ln?1a? =-lna.

Propriété

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, lnab=lna-lnb

Démonstration:

lnab=ln? a×1b? =lna+ln1b=lna-lnb.

II.3 Logarithme d"un produit de nombre positifs

Propriété

Pour tous réels strictement positifsa1,a2, ...,an, ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan.

Autre écriture (symbolique) : ln?

n? i=1? =n? i=1lnai Démonstration :par récurrence surn(facile, laissée au lecteur).

II.4 Logarithme d"une puissance

Propriété

Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln?an?=nlna. Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0. •n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa.

•n=0 : immédiat

•n<0 : ln?an?=ln?1

a-n? =-ln?a-n?=-(-n)lna=nlna.

II.5 Logarithme d"une racine carrée

Propriété

Pour tout réela>0 : ln?a=12lna.

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9

Démonstration :a>0;??a?2=adonc ln??a?2=lna, c"est-à-dire 2ln?a=lnad"o l"égalité annoncée.

Remarques:on a ln2≈0,69 et ln10≈2,3.

On en déduit : ln?109?=9ln10≈20,7.

Exercices :Résolution d"équations ou inéquations faisant intervenirle logarithme.

1. Résoudre l"équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)

2. Résoudre l"inéquation : ln(x2-5)?ln(x+3)

III Etude de la fonction logarithme

III.1 Limitesen 0 et en+∞

Propriétés

•limx→+∞lnx=+∞

•limx→0+lnx=-∞

Démonstration:

•SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur]0;+∞[. ?x>eA, lnx>A. Ainsi l"intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand. Cela démontre que limx→+∞lnx=+∞.

•Pourx>0, on poseX=1

x. Alors : lnx=ln?1X? =-lnX lim

x→0+lnx=limX→+∞(-lnX)=-∞en appliquant le théorème sur la limite d"une fonction composée.

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme

Propriété

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[.

De plus, pour tout réelx>0, ln?(x)=1

x.

Démonstration :

On admet la continuité.

Dérivabilité :

Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0.

On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=ebeta+h=ek.

ln(a+h)-lna h=ln(a+h)-lna(a+h)-a=k-bek-eb.

La fonction ln est continue, donc lim

h→0ln(a+h)=lna, donc : limh→0k=b. La fonction exponentielleest dérivable enb, de dérivéeeb; autrement dit : limk→be k-eb k-b=eb, donc lim h→0ln(a+h)-lna h=1eb=1a.

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9 III.3 Tableau de variation etreprésentation graphique x0+∞ ln?(x)=1x+ ln(x) Courbe :l"axe des ordonnées est une asymptote verticale. La courbe admet deux tangentes remarquables, enx=1 etx=e. La courbe est ci-dessous. O11

012345678910

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ?y=lnx e Remarque: la tangente à la courbe au point de coordonnées (e ; 1) passe par l"origine. Cette fonction croÓt lentement : ln?109?=9ln10≈20,72

III.4 Croissances comparées

Théorème

1. limx→+∞?

lnxx? =0

2. lim

x→0xlnx=0Démonstration

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1. On poseX=lnx(doncx=eX).

Quandxtend vers+∞,Xtend aussi vers+∞.

lim x→+∞? lnx x? =limX→+∞? Xex?

D"après les croissances comparées, lim

X→+∞?

eX X? =+∞donc limX→+∞? Xex? =0 d"où limx→+∞? lnxx? =0.

2. lim

x→+∞xlnx=limX→-∞XeX=0 d"après les formules de croissances comparées avec la fonction exponen-

tielle.

Théorème

1. limx→+∞?

lnxxn? =0 piour toutn?N?.

2. lim

x→0xnlnx=0 pour toutn?N?

Démonstration

1. AvecX=lnx, on alnxxn=X?eX?n=XenX=1n×nXenX.

On pose alorsY=nX.

On a successivement : lim

x→+∞? lnx xn? =limX→+∞?

1n×nXenX?

=1nlimY→+∞? YeY? =0 (car1nest une constante).

2. De même : lim

x→0xnlnx=limX→+∞?XenX?=1 n×limY→+∞YeY=0

IV Logarithme d"une fonction

Soituune fonction définie sur un intervalleItel que, pour toutxdeI,u(x)>0. lnudésigne la composée

ln◦u, définie surI.

Propriété

Siuest une fonction définie, strictement positive et dérivablesur I, la fonction lnuest dérivable surIet

lnu)?=u? u.

Démonstration :

On applique le théorème de dérivation d"une fonction composée : ?x?I, (ln◦u)?(x)=u?(x)×ln?(u(x))=u?(x)×1 u(x)=u?(x)u(x).

Exemple :f(x)=ln(x2+x+7).

Remarque :Siuest négative et dérivable surI,f=ln◦(-u) est dérivable surIetf?=-u?-u=u?u.

V Logarithme décimal (hors-programme)

Définition

La fonction logarithmedécimale est la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par : logx=lnxln10.

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Remarque :log1=0; log10=1

Propriété

Pouraetbstrictement positifs, logab=loga+logb.

Démonstration: c"est évident, puisquelafonction logarithmedécimale est égaleà la fonctionlogarithmené-

périen, à un facteur près.

Remarque :toutes les propriétés algébriquesde la fonction ln sont donc vérifiées par la fonction log.

Remarque :?n?Z, log?10n?=n, d"o l"utilisationde cette fonction en sciences physiques. Application :déterminer le nombre de chiffres de l"écriture décimale d"un nombre. Exemple :trouver le nombre de chiffres du nombreN=212345.

On a : log(N)=log?212345?=12345log2.

On trouve, à la calculatrice :E(12345log2)=3716.

Donc : 3716

Ncomprend donc

3717 chiffres.

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