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Terminale ESExercices d'analyse sur les

logarithmes et les exponentielsSite : http://frederic.mangeard.free.frI) Exercice 1 :

(extrait du sujet BAC ES session 2006, France métropolitaine)On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;+∞[ par :

f(x) = ex-3- 1 x4

Partie A :

1)La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;+∞[ , on note f' sa fonction

dérivée.

Calculer f'(x) pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0;+∞[.2)En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;+∞[3)Déterminer

limx∞ fx .

4)a) Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [0;+∞[.b) On admet qu'il existe un unique nombre réel positif α tel que f(α) = 0Donner le signe de la fonction f sur l'intervalle [0;+∞[. 5) a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les valeurs

décimales arrondies au dix-millième).x1,321,3251,33f(x) b) En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre α tel que

f(α)= 0.

Partie B :

1)Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0;+∞[ par : g(x) = ex-3-ln(x+4)a) La fonction g est dérivable sur l'intervalle [0;+∞[. On note g' sa fonction

dérivée.

Calculer g'(x) pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;+∞[.b) Etudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle [0;+∞[ en

utilisant les résultats de la partie A. 2) Calculer l'intégrale I = ∫03

fxdx(Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième). II) Exercice 2 :

(extrait du bac ES, session 2005, France métropolitaine) Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+∞[ par : f(x) = x - 2 + 10e-0,5x

On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (D) la droite d'équation y = x - 2. La courbe (C) est partiellement représentée après l'énoncé.1)Déterminer la limite de la fonction f en +∞.2)On pose α = 2ln 5 a) Montrer que f(α) = α b) Donner une valeur approchée à 10-1 près de α

3) On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;+∞[ et on note f' sa

fonction dérivée sur cet intervalle. a) Calculer f'(x), pour tout x élément de l'intervalle [0;+∞[ b) Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [0;+∞[, et dresser le tableau de variation

complet de la fonction f sur cet intervalle.4) Justifier que limx∞[fx-x-2] = 0 et que, pour tout x de [0;+∞[ : f(x) - (x - 2) > 0 Donner l'interprétation graphique de ces résultats.5) Sur le graphique donné ci-après : a) Placer le point de la courbe (C) d'abscisse α b) Tracer la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α c) Tracer la droite (D)6) On note A l'aire (en unité d'aire) du domaine E délimité par la courbe (C), la droite

(D) et les droites d'équations respectives x = 2 et x = 6. a) Hachurer sur le graphique ci-après le domaine E, puis exprimer l'aire A à l'aide

d'une expression faisant intervenir une intégrale. b) Déterminer la valeur exacte de l'aire A, puis en donner la valeur arrondie au

centième. Courbe (C) sur [0;8] de la fonction f définie par : f(x) = x - 2 + 10e -0,5x

III) Exercice 3 : ( Extrait du bac ES, session

2005,Guadeloupe,Guyane,Martinique)Soit f une fonction dont le tableau de variation incomplet est le suivant; on désigne

par f' la fonction dérivée de la fonction f. x-∞-3-11+∞Signe de f'(x)+0--0+

Variations

de f-∞-6 2...

On admet que f est définie sur ]-∞;-1[ U]-1;+∞[ par : f(x) = ax + b +

x1 où a, b et c sont des réels1.Calculer f'(x) en fonction de a, b et c.2.En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variation,

montrer que l'on a a = 1, b = -1, c = 4.3.Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variation fourni.4.Montrer que la courbe représentative (Cf) de la fonction f admet comme

asymptote la droite D d'équation y = x-1 lorsque x tend vers + ∞ ou vers -∞Etudier la position relative de la courbe (Cf) et de son asymptote D. 5. Déterminer la valeur exacte de

∫1 2 fx-x-1dx et interpréter le résultat en terme d'aire.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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