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Exercice 4

Corrigé

1MAESSAN1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 201

MATHÉMATIQUES

- Série ES -

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l'épreuve : 3 heures

Coefficient : 7

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète

ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

entreront pour une part important e dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s™assurera que l e sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1 à 5

Exercice46 points

Commun à tous les candidats

PartieA : Étude d"une fonction

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle ]0; 1,5] par f(x)=9x2(1-2lnx)+10. La courbe représentative defest donnée ci-dessous :0

5101520

00,51,01,51. a.Montrer quef?(x)= -36xlnxoùf?désigne la fonction dérivée de la fonctionfsur

l"intervalle ]0; 1,5]. b.Étudier le signe def?(x) sur l"intervalle ]0; 1,5].

2.On admet quef??(x)=-

36lnx-36 oùf??désigne la dérivée seconde de la fonctionfsur

l"intervalle ]0; 1,5]. Montrer que la courbe représentative de la fonctionfadmet un point d"inflexion dont l"abscisse est e -1.

3.SoitFla fonction définie sur l"intervalle ]0; 1,5] par

F(x)=10x+5x3-6x3lnx.

a.Montrer queFest une primitive de la fonctionfsur ]0; 1,5]. b.Calculer? 1,5 1 f(x)dx. On donnera le résultat arrondi au centième.Partie

B:Applicationéconomique

Dans cettepartie, tion. Une Le prix x prix del"action,expriméeneuros. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justi- fiant la réponse.

Proposition1 :

"Sur la période des six derniers mois, l"action a perdu plus d"un quart de sa valeur.»

Proposition2 :

"Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l"action a été inférieure à 17?.»

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EXERCICE 4

[ Amérique du Nord 2016 ]

Partie A: Étude d™une fonction

1. a. Montrons que ...ž ( ¥ ) = OE 36 ¥ ln ¥:

Ici: ... ( ¥ ) = 9 ¥ 2 (1 OE 2 ln ¥ ) + 10

D ... = ] 0 ;1, 5 ].

Posons: ... = ... x (1 OE 2 ... ) + ... , avec: ... ( ¥ ) = 9 ¥ 2 , ... ( ¥ ) = ln ¥ et ... ( ¥ ) = 10. ... et ... sont dérivables sur ª comme fonctions polynômes, donc dérivables sur l™intervalle ] 0 ;1, 5 ]. ...™EPODE'SJWBCMFTVS>

2 fonctions dérivables sur ] 0 ;1, 5 ].

Donc, ... est dérivable sur ] 0 ;1, 5 ] comme somme ( h + ... ) de 2 fonctions dérivables sur ] 0 ;1, 5 ]. Ainsi, nous pouvons calculer ...ž pour tout ¥ ] 0 ;1, 5 ].

Pour tout ¥

>anr

°rkMOr

ˆr 2 x 2 OE => ...ž ( ¥ ) = OE 36 ¥ ln ¥.

123123

13 2 12 3 2 alainpiller. fr Au total: pour tout ¥ ] 0 ;1, 5 ], ...ž ( ¥ ) = OE 36 ¥ ln ¥.

1. b. Étudions le signe de ...ž sur ] 0 ; 1, 5 ]:

Nous allons distinguer 3 cas, pour tout ¥ de ] 0 ;1, 5 ]: 1 er ...ž ( ¥ ) = 0 ssi OE 36 ¥ ln ¥ = 0 <=> ln ¥ = 0 DBSr" , cad: ¥ = 1. 2 eme ...ž ( ¥ ) < 0 ssi OE 36 ¥ ln ¥ < 0 <=> ln ¥ > 0, cad: ¥ ]1 ; 1, 5 ]. 3 eme ...ž ( ¥ ) > 0 ssi OE 36 ¥ ln ¥ > 0 <=> ln ¥ < 0, cad: ¥ ] 0 ; 1 [.

Au total:

... est croissante sur ] 0 ;1 ],

DBSTVS>>

anr fl ... est décroissante sur [1 ;1, 5 ].

DBSTVS<

anr fi

1. c. Déduisons-en les variations de ... sur ] 0 ; 1, 5 ]:

Comme nous l'avons déjà dit:

... est croissante sur ] 0 ;1 ], ... est décroissante sur [1 ;1, 5 ]. Nous pouvons donc dresser le tableau de variation suivant:

¥011, 5

...ž+0Š a b c alainpiller. fr 3 Avec: r

°˜B°k™

¥ 0

b = ... (1 ) => b = 19, c = ... (1, 5) => c = 30, 25 OE 40, 5 ln (1, 5 ) > 0.

2. Montrons que la courbe représentative de ... admet un point d™inflexion

dont l™abscisse est e OE 1 Rappelons qu'en un point d'inflexion, la dérivée seconde s'annule et change de signe. Ici: ...žž ( ¥ ) = OE 36 ln ¥ OE 36, pour tout ¥ ] 0 ;1, 5 ]. Nous allons distinguer 3 cas, pour tout ¥ ] 0 ;1, 5 ]: 1 er ...žž ( ¥ ) = 0 ssi OE 36 ln ¥ OE 36 = 0 <=> ln ¥ = OE 1, cad: ¥ = e OE 1 2 eme ...žž ( ¥ ) < 0 ssi OE 36 ln ¥ OE 36 < 0 <=> ln ¥ > OE 1, cad: ¥ > e OE 1 3 eme ...žž ( ¥ ) > 0 ssi OE 36 ln ¥ OE 36 > 0 <=> ln ¥ < OE 1, cad: ¥ < e OE 1 Au total: la dérivée seconde s™annule et change bien de signe quand ¥ = e OE 1 Donc la courbe représentative ... admet un point d™inflexion dont l™abscisse est:

¥ = e

OE 1 4 alainpiller. fr

3. a. Montrons que F est une primitive de ... sur ] 0 ;1, 5 ]:

F ( ¥ ) = 10 ¥ + 5 ¥

3

OE 6 ¥

3 ln ¥ Ici: ... est continue sur ] 0 ;1, 5 ]. Elle admet donc une primitive F dérivable sur l™intervalle ] 0 ;1, 5 ] et F est telle que: Fž = .... Pour tout ¥ ] 0 ; 1, 5 ], Fž ( ¥ ) = 10 + 15 ¥ 2 r 2 ln ¥ + 6 ¥ 3 x 1 <=> Fž ( ¥ ) = 10 + 9 ¥ 2 r 2 ln ( ¥ ) => Fž ( ¥ ) = 9 ¥ 2 (1 OE 2 ln ¥) + 10. Au total, on a bien, pour tout ¥ ] 0 ;1, 5 ]: F est une primitive de ... car Fž = .... Ici, il s'agit de calculer: I = ... ( ¥ ) d¥. ... est continue sur ]1 ;1, 5 ], elle admet donc des primitives sur ]1 ;1, 5 ] et par conséquent: I existe.

I = [ 9 ¥

2 (1 OE 2 ln ¥ ) + 10 ] d¥ = [10 ¥ + 5 ¥ 3

OE 6 ¥

3 ln ¥ ] 1 => k YMO En arrondissant au centième, nous obtenons: I

Au total, l'aire exacte demandée est: k

YMO

PV*Ÿ

1, 5 1 1, 5 1 1, 5 1 1, 5 alainpiller. fr 5

Partie B: Application économique

Proposition 1: " Sur la période des 6 derniers mois, l™action a perdu plus d™un quart de sa valeur ".

C'est vrai.

Justifions le.

La période des 6 derniers mois correspond à l'intervalle: [1 ;1, 5 ]. Or, le pourcentage de variation entre t = 1 et t = 1, 5 est: ... (1, 5 ) OE ... (1 ) ... (1 ) x 100. ... (1, 5 ) OE ... (1 ) ... (1 ) x 100 = kˆ 19 x 100 ... (1, 5 ) OE ... (1 ) ... (1 ) x 100 - 27, 21%. Dans ces conditions, le prix de l™action en t = 1, 5 est de:

P = P (1 OE 27, 21% )

<=> P = 19 (1 OE 27, 21% ) => P ` Au total, l™action a bien perdu plus d™un quart de sa valeur: 27, 21% > 25%. Proposition 2: " Sur la période des 6 derniers mois, la valeur moyenne de

C'est faux.

1, 51 1, 5 1, 5quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20