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1 Rappels calculs algébriques

.Exercice 1:

Développer les expressions suivantes

A(x)= (3x¡2)2B(x)= 7(2¡x)2C(x)=¡2(1¡x)2Å3 D(x)=¡3(2¡x)(2xÅ7) .Exercice 2:

Soitfla fonction définie surR

parf(x)AE3x2¡5xÅ2

1. Sous quelle forme est proposéef?

2. Calculerf(0) etf(2)

3. Déterminer l"image de¡1 parf

4. Résoudref(x)AE2

.Exercice 3: Soitfla fonction définie surRparf(x)AE5(3¡x)2Å11. Sous quelle forme est proposéef?

2. Calculerf(0) etf(3)

3. Résoudref(x)AE1

4. Écrire la forme développée def

.Exercice 4: Soitfla fonction définie surRparf(x)AE2x2¡xÅ1

Vérifier que pour tout nombre réelx, on a

f(x)AE2¡x¡14

2Å78

.Exercice 5: Associer en expliquant, chaque polynôme à sa forme canonique :

A(x)AE2x2Å12xÅ19

B(x)AE2x2Å6xÅ8

C(x)AE ¡x2¡10x¡45

D(x)AE ¡x2Å10x¡5E(x)AE2¡xÅ32

2Å72

F(x)AE ¡¡x¡5¢2Å20

G(x)AE ¡¡xÅ5¢2¡20

H(x)AE1Å2¡xÅ3¢2

2 Variations d"un polynôme du second degré

.Exercice 6: Associer à chacune des polynômes ci-dessous sa représentation graphique :

A(x)AEx2Å4xÅ5

B(x)AE ¡x2Å2xÅ2

C(x)AE4x2¡4xÅ1D(x)AE ¡x2¡1

E(x)AEx2¡2x¡1

F(x)AE ¡x2Å2x¡1Stéphane Guyon - Lycée Bellevue Plan de Travail p 1/6

Second degréClasse de 1ère ES/L.Exercice 7:

Le bénéfice en euros d"une entreprise est modélisé en euros par la fonctionfdéfinie sur[0;3] parf(x)AE ¡2x2Å

5x¡2 oùxreprésente le nombre d"objets fabriqués, par centaines.

1. Montrer que pour tout nombre réelx, on a :f(x)AE¡2¡x¡54

2Å98

2. Vérifier quef(x)AE(¡2xÅ1)(x¡2)

3. En exploitant la forme appropriée def(x) donner :

(a) Les quantités d"objets fabriqués pour lesquels le bénéfice est nul (b) Le bénéfice maximal (c) Les quantités d"objets fabriqués sachant que l"entreprise a perdu 2000" .Exercice 8: Dans le plan muni d"un repère, on considère les courbesCfetCgreprésentatives des fonctionsfetg: Les questions ci-dessous doivent être traitées graphi- quement :

1. Déterminer les antécédents de 1 par la fonctionf

2. Lireg(0)

3. Lire les valeurs de®et¯pour la fonctionf

4. Déterminer une valeur pour laquellegn"a pas

d"antécédent

5. Déduire les signes du paramètreapour chaque

fonction mise sous la forme polynomiale.6. Déterminer la position relative de ces deux courbes..Exercice 9: Pour chacun de ces polynômes, déterminer son tableau de variations :

A(x)= 4x2¡5xÅ3 B(x)=¡2x2Å3x¡5

.Exercice 10:Pour chacun de ces polynômes, déterminer son tableau de variations :

A(x)= 2(x¡7)2Å3 B(x)=¡5(xÅ3)2¡1

3 Résolution d"équations du second degré

.Exercice 11: Pour chacune de ces équations, calculer le discriminant et déterminer le nombre de solutions :

1. 3x2Å4xÅ5AE0

4.¡x2Å3xÅ1AE0

.Exercice 12:

Résoudre dansRchacune de ces équations :

1.x2¡8xÅ10AE0

2. 3x2¡xÅ2AE03. 9x2¡6xÅ1AE0

4.¡7x2Å3x¡1AE0Stéphane Guyon - Lycée Bellevue Plan de Travail p 2/6

Second degréClasse de 1ère ES/L.Exercice 13:

Résoudre dansRchacune de ces équations :

1. 4x2Å1AE4x

2.¡3x2ÅxAE¡14

3. 3x3¡4x2Å5xAE0

4. 3(x¡4)2¡5AE0

5. (2xÅ3)(4¡x)AE2

6. 4x2¡1AE(2xÅ1)(x¡3)

.Exercice 14:On considère la fonctionfdéfinie surR parf(x)AE1,5x2Å18xÅ48

1. Calculerf(0)

2. Résoudref(x)AE0

3. En déduire les coordonnées du point d"intersec-

tion de la courbe représentantfavec l"axe des abscisses. .Exercice 15:

Résoudre dansR:

(2x¡3)(4x2Å3x¡5)AE0

4 Déterminer le signe d"un trinôme du second degré

.Exercice 16: Sans calcul, et en justifiant, donner le signe des fonc- tions trinômes suivantes, sur l"intervalle proposé :

1.f(x)AE2(x¡1)2Å1 surR

2.f(x)AE2(x¡1)2Å1 sur [2;5]

3.h(x)AE3x2Å4xÅ5 sur [0;10]

.Exercice 17: Donner le tableau de signes des fonctions suivantes dé- finies surR:

1.f(x)AEx2Å2x¡3

2.g(x)AE¡3xÅ5

3.h(t)AE2t2¡1,5tÅ0,25

4.i(x)AE9x2¡3x¡2

.Exercice 18: On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)AE

3x2¡21xÅ30

Résoudre sur [3;7] l"inéquationf(x)É0

.Exercice 19: Résoudre les inéquations suivantes sur l"intervalle pro- posé :1.¡4x2ÅxÅ12

É0 surR

2. 2t2¡9tÅ4Ç0 sur [3;5]

3.h(x)AE3x2Å4xÅ5 sur [0;10]

.Exercice 20: Résoudre les inéquations suivantes sur l"intervalle pro- posé :

1.¡4x2ÅxÅ12

Ê0 surR

2. 2t2¡9tÅ4Ç0 sur [3;5]

3.h(x)AE3x2Å4xÅ5 sur [0;10]

.Exercice 21:

Résoudre les inéquations suivantes surR:

1.¡4,5x2¡27xÈ36

2. (5x¡3)(x2Å3,8x¡0,8)È0

3. (¡5x2¡11x¡2)(¡x2¡x¡1)É0

2x¡3¡2x2Å9x¡4Ê0

5 Résolutions graphiques

.Exercice 22:

On a représenté ci-dessous quatre fonctions polynômes du second degré de la formeP(x)AEax2ÅbxÅc.

Pour chacune d"elles, donner le signe du discriminant.Stéphane Guyon - Lycée Bellevue Plan de Travail p 3/6

Second degréClasse de 1ère ES/L.Exercice 23:

Soitfune fonction polynôme du second degré définie parP(x)AEax2ÅbxÅcaveca6AE0. telle que le maximum

de la fonction f soit égal à 0. Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes?

1.aÈ0 et¢Ç0.

2.aÇ0 et¢AE0.

3.aÇ0 et¢Ç0.

4. La courbe représentative de la fonctionfcoupe l"axe des abscisses en deux points.

5. L"équationf(x)AE0 admet une seule solution.

.Exercice 24:

On a représenté ci-dessous une fonction polynôme du second degré de la formeP(x)AEax2ÅbxÅc.

Répondre à partir d"une lecture graphique :

1. Quel est le signe dea

2. Quel est le signe du discriminant?

3. Résoudref(x)Ç0.Exercice 25:

On a représenté ci-dessous trois fonctions poly- nômes du second degré Pour chacune d"elles, donner le signe du discriminant..Exercice 26: On a représenté ci-dessous une fonctionfpoly- nôme du second degré.

1. Déterminer le tableau de signes def

2. Résoudref(x)È1

3. Etablir le tableau de variations defsurRStéphane Guyon - Lycée Bellevue Plan de Travail p 4/6

Second degréClasse de 1ère ES/L6 Résolutions de problèmes .Exercice 27:

Une entreprise fabrique des maracas pour enfants. Pour une quantité p, exprimée en centaine de maracas, le coût

total, exprimé en milliers d"euros est : C(q)AE0.2q2¡0.4qÅ1.2 pourqappartenant à [1;7]

La recette en milliers d"euros est alorsR(q)AEq

1. Calculer le coût et ma recette pour la fabrication et la vente de 250 maracas.

2. L"entreprise réalise-t-elle des bénéfices?

3. Exprimer le bénéficeB(q) en fonction deq

4. Montrer queB(q)AE¡0,2(q¡3.5)2Å1.25

5. Montrer queB(q)AE¡0,2(q¡1)(q¡6)

6. En utilisant la forme la plus adaptée :

(a) Déterminer le bénéfice Maximum

(b) Déterminer les points morts de la production c"est à dire les quantités à produire et à vendre pour que

le bénéfice soit nul. .Exercice 28:

Une entreprise fabrique un produit " Bêta ». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.

Le coût total, exprimé en milliers d"euros, de fabrication dexmilliers d"articles est modélisé par la fonctionC

définie sur [0;15] par :

C(x)AE0,5x2Å0,6xÅ8,16

La représentation graphique¡de la fonction coût total est donnée dans l"annexe ci-dessous.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8".

1. Qu"est ce qui est plus avantageux pour l"entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou fabriquer et vendre

12 00 articles?

2. On désigne parR(x) le montant en milliers d"euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente dex

milliers d"articles du produit " Bêta ». Donner l"expression algébrique deR(x)

3. Tracer dans le repère donné en annexe, la courbeDreprésentative de la fonction recette.

4. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer :

(a) L"intervalle dans lequel doit se situer la productionxpour que l"entreprise réalise un bénéfice positif;

(b) La productionx0pour laquelle le bénéfice est maximal.

On désigne parB(x) le bénéfice mensuel, en milliers d"euros, réalisé lorsque l"entreprise produit et vendx

milliers d"articles.

5. Montrerquelebénéficeexpriméenmilliersd"euros,lorsquel"entrepriseproduitetvendxmilliersd"articles,

est donné par

B(x)AE¡0,5x2Å7,4x¡8,16, avecx2[0;15].

(a) ÉtudierlesignedeB(x).Endéduirelaplagedeproductionquipermetderéaliserunbénéfice(positif).

(b) Étudier les variations de la fonctionBsur [0;15].

maximal.

(d) Quel est le montant en euros, de ce bénéfice maximal?Stéphane Guyon - Lycée Bellevue Plan de Travail p 5/6

Second degréClasse de 1ère ES/LStéphane Guyon - Lycée Bellevue Plan de Travail p 6/6quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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1 Rappels calculs algébriques

Développer les expressions suivantes

Soitfla fonction définie surR

1. Sous quelle forme est proposéef?

2. Calculerf(0) etf(2)

3. Déterminer l"image de¡1 parf

4. Résoudref(x)AE2

2. Calculerf(0) etf(3)

3. Résoudref(x)AE1

4. Écrire la forme développée def

Vérifier que pour tout nombre réelx, on a

2Å78

A(x)AE2x2Å12xÅ19

B(x)AE2x2Å6xÅ8

C(x)AE ¡x2¡10x¡45

D(x)AE ¡x2Å10x¡5E(x)AE2¡xÅ32

2Å72

F(x)AE ¡¡x¡5¢2Å20

G(x)AE ¡¡xÅ5¢2¡20

H(x)AE1Å2¡xÅ3¢2

2 Variations d"un polynôme du second degré

A(x)AEx2Å4xÅ5

B(x)AE ¡x2Å2xÅ2

C(x)AE4x2¡4xÅ1D(x)AE ¡x2¡1

E(x)AEx2¡2x¡1

Second degréClasse de 1ère ES/L.Exercice 7:

5x¡2 oùxreprésente le nombre d"objets fabriqués, par centaines.

1. Montrer que pour tout nombre réelx, on a :f(x)AE¡2¡x¡54

2Å98

2. Vérifier quef(x)AE(¡2xÅ1)(x¡2)

3. En exploitant la forme appropriée def(x) donner :

1. Déterminer les antécédents de 1 par la fonctionf

2. Lireg(0)

3. Lire les valeurs de®et¯pour la fonctionf

4. Déterminer une valeur pour laquellegn"a pas

5. Déduire les signes du paramètreapour chaque

A(x)= 4x2¡5xÅ3 B(x)=¡2x2Å3x¡5

A(x)= 2(x¡7)2Å3 B(x)=¡5(xÅ3)2¡1

3 Résolution d"équations du second degré

1. 3x2Å4xÅ5AE0

4.¡x2Å3xÅ1AE0

Résoudre dansRchacune de ces équations :

1.x2¡8xÅ10AE0

2. 3x2¡xÅ2AE03. 9x2¡6xÅ1AE0

4.¡7x2Å3x¡1AE0Stéphane Guyon - Lycée Bellevue Plan de Travail p 2/6

Résoudre dansRchacune de ces équations :

1. 4x2Å1AE4x

2.¡3x2ÅxAE¡14

3. 3x3¡4x2Å5xAE0

4. 3(x¡4)2¡5AE0

5. (2xÅ3)(4¡x)AE2

6. 4x2¡1AE(2xÅ1)(x¡3)

1. Calculerf(0)

2. Résoudref(x)AE0

3. En déduire les coordonnées du point d"intersec-

Résoudre dansR:

4 Déterminer le signe d"un trinôme du second degré

1.f(x)AE2(x¡1)2Å1 surR

2.f(x)AE2(x¡1)2Å1 sur [2;5]

3.h(x)AE3x2Å4xÅ5 sur [0;10]

1.f(x)AEx2Å2x¡3

2.g(x)AE¡3xÅ5

3.h(t)AE2t2¡1,5tÅ0,25

4.i(x)AE9x2¡3x¡2

3x2¡21xÅ30

Résoudre sur [3;7] l"inéquationf(x)É0

É0 surR

2. 2t2¡9tÅ4Ç0 sur [3;5]

3.h(x)AE3x2Å4xÅ5 sur [0;10]

1.¡4x2ÅxÅ12

Ê0 surR

2. 2t2¡9tÅ4Ç0 sur [3;5]

3.h(x)AE3x2Å4xÅ5 sur [0;10]

Résoudre les inéquations suivantes surR:

1.¡4,5x2¡27xÈ36

2. (5x¡3)(x2Å3,8x¡0,8)È0

3. (¡5x2¡11x¡2)(¡x2¡x¡1)É0

2x¡3¡2x2Å9x¡4Ê0

5 Résolutions graphiques