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Il ne faut donc pas appliquer ces formules avec n'importe quoi Si l'exercice commence par un autre type d'équation différentielle, les questions successives vont 

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Résolution d'équations différentielles du premier ordre

Les équations que l'on sait résoudre

En terminale, deux types seulement d'équations différentielles sont résolubles directement La première y' = ay + b et la deuxième y' = ay avec a et b des réels. Il ne faut donc pas appliquer ces formules avec n'importe quoi ! Si l'exercice commence par un autre type d'équation différentielle, les questions successives vont permettre de la résoudre à la fin de l'exercice, donc pas de précipitation. Commencer par surligner dans l'énoncé les équations que l'on sait résoudre.

Formules

Les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont de la forme axkey=avec k réel Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b sont de la forme axkea by+-=avec k réel

Exemples

L'équation différentielle y' = 3y - 8 a pour solution xkey3 3

8+= avec k réel.

L'équation différentielle y' = 3y + x ne peut pas être résolue avec les formules.

Changement de variable

Pour passer d'une équation que l'on ne sait pas résoudre à une équation type, on procède par

changement de variable et on prouve l'équivalence entre deux équations différentielles. Pour

cela , commencer par exprimer la dérivée de l'une des variables en fonction de l'autre puis

remplacer dans une équation différentielle pour retrouver l'autre équation différentielle

Exemple

Soit l'équation différentielle y' + y = x + 1 (E1) On pose z = y - x. Montrer que z est solution de z' + z = 0 (E2)

Solution

Commençons par calculer y en fonction de z : y = z + x

Calculons la dérivée de y : y' = z' + 1

Remplaçons dans (E1) : z' + 1 + z + x = x + 1

On simplifie : z' + z = 0

On a bien (E2)

Déterminer toutes les solutions d'une équation inconnue

Il faut se servir des questions précédentes

Exemple

Le but est de résoudre : 2y' + 3y = x² + 1 (E1)

1) Montrer que la fonctio telle que f(x) = 27

17 9 4 3

²+-xx est solution de (E1)

2) Montrer que g + f est solution de l'équation (E1) si et seulement si g est solution de

l'équation différentielle (E2) : 2y' + 3y = 0

3) En déduire toutes les solutions de (E1)

Résolution d'équations différentielles du premier ordre

Solution

1) Pour montrer que f est solution de (E1), on va remplacer y par f et vérifier que

l'égalité reste vraie :

2f '(x) + 3f(x) = 1²9

17 3

4²9

8 3 4 27
17 9 4 3

²39

4 3

22+=+-+-=÷ø

ae+-+÷ø ae-xxxxxxx

Donc f est solution de (E1)

2) On suppose que g + f est solution de (E1). Ceci équivaut aux lignes suivantes :

2(g + f)' + 3(g + f) = x² + 1

2g' + 3g + 2f' + 3f = x² + 1

2g' + 3g = 0 car par la question 1) 2f' + 3f = x² + 1

On a donc bien g solution de (E2)

3) Puisque g est solution de (E2) alors g est solution de yy2

3'-= et donc g =

xke2

3- avec

k réel. De plus, on dit dans la question précédente que les solutions de (E1) sont de la forme g + f, or on connaît ces deux fonctions, donc les solutions de (E1) sont : 27
17 9 4 3

²+-xx +

xke2

3- avec k réel.

Tous les exercices d'équations différentielles ont la même articulation : à vous de vous entrainer pour la dominer

Exercices

Exercice 1

Résoudre

1) yy2'-= 2) 02'3=-yy 3) 01,0'=+-yy

Exercice 2

Déterminer la solutio de l'équation différentielle :

1) 05'3=+yy et f (-1) = 0

2) 0'42=-yy et f '(1) = 1

3) 15'+-=yy et f(1) = 0

4) 3'2=+yy et f '(0) = 1

5) 53'+-=yy et f(0) = 0

Exercice 3

Soit (E) l'équation différentielle : )1('yyy-= . On pose yz1= . Montrer que z est solution de l'équation différentielle (E') : 1'+-=zz .

Résoudre (E') puis (E).

Exercice 4

Soit (E) l'équation différentielle xyycos2'=+ . Montrer que g(x) = xxsin2,0cos4,0+ est solution de (E). Montrer que f est solution de (E) si et seulement si f - g est solution de l'équation différentielle (E') : y' + 2y = 0

En déduire les solutions de (E).

Résolution d'équations différentielles du premier ordre

Exercice 5 (bac)

On considère l'équation différentielle (E1) : xeyy22'=-

1) Démontrer que la fonction f(x) = xxe2 est solution de (E1)

2) Résoudre l'équation différentielle (E2) : 02'=-yy

3) Montrer qu'une fonction g est solution de (E1) si et seulement si g - f est solution de

(E2)

4) En déduire toutes les solutions de (E1)

5) Déterminer la fonction solution de (E1) qui prend la valeur 1 en 0.

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