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CORRIG´EDUDEVOIRSURVEILL´EN°08

PROBL`EME1

surK=RouC.

Ntelque=0().

Notonsqu"ilexisteence casunpluspetitentierNtelque= 0

PartieI.Deuxexemples

1.EndomorphismenilpotentdeK

(1)K(1)=(01?1)

2,()R2.Ona:

(+)=1+1+

01+1?1+?1

=(01?1)+(01?1)

Ainsi,estunendomorphismede.?

M

0 0 00

1 0 00

0 1 ..........0

00 1 0

1

Im=Vect(012?1)=Vect(23)

Ainsi(23)estdoncbienunebasedeIm.

Comme(1)estunefamillelibredevecteursdunoyaude, ils"ensuit estunebasedeKer.? (1),ona (1)=(00 1?)

Init.lorsque=0,c"esttrivial.

ait (1)=(00 1?)

Alors,parconstructionde,ona

+1(1)=(00

1?)=(00

+11??1) v´erifi´eepourtoutentier[[0]].

Enparticulier,pourtout-uplet=(1),ona()=

deplus,?1(1)=?1(100)=(001)=0,estnil- potentd"indiceexactement´egal`a.?

2.EndomorphismenilpotentdeK[]

K []d´efiniepar

K[]Δ()()=(+1)?()

2

Soit(12)2,(12)K2.Alors

Δ(11+22)=(11+22)(+1)?(11+22)()

=1

1(+1)?1()

+2

2(+1)?2()

=1Δ(1)+2Δ(2)

Ainsi,Δestunendomorphismede.?

b.Soit. degr´e´egal`a∞. si°=0.Alors,ilexiste(0),avec=0telque ()=+?1?1++1+0 (+1)=(+1)+?1(+1)?1++1(+1)+0 =+(?1+)?1++0

Onend´eduitque

Δ()()=?1+termesde degr´esinf´erieurs

tement´egal`a?1.? siK0[],alorsΔ=0.

Δ()=0.

(01n) labasecanoniquedeD"apr`eslaFormuledurang, ils"ensuitqueImΔestdedimension K ?1[].CommedimImΔ=dimK?1[], ilenr´esultequeIm(Δ)= K 3 estnilpotentd"indiceinf´erieur`a+1. ()estdedegr´e0.EnparticulierΔ()=0. queΔestnilpotentd"indice+1.? mal que=()=dim.Onnote()=()= morphisme. (),ona:

Ainsi,+().

2.Commeestnilpotentd"indice,ona=0et?1=0. Par

que?1(0)=0.

Montronsque=(0(0)?1(0))estunebasede.

Montronsquecettefamilleestlibre.

Soitdonc(01?1)Ktelque

00+1(0)++?1?1(0)=0(1)

4 Appliquonssuccessivement,2, ...?1`acette´equationvectorielle.

00++?2?2(0)+?1?1(0)=0

0(0)++?2?1(0)=0.

0?1(0)=0

calculdansunespace vectoriel,=0 c"est-`a-dired"unebasede.

3.Notons?1[]=0+1++?1?1(0?1)K

estl"ensembledetous lespolynˆomesde, puisqueestnilpotent eux,onabien?1[](). famille=0(0)?1(0)estunebasede, ilexisteun -uplet(01?1)Kuniquetelque (0)=00+1(0)++?1(0)

SoitK?1[]lepoynˆome()=0+1++?1?1.

estenti`erement etuniquement d´etermin´eparles imagesd"unebase de.((0))=(0)=()(0) =()(0) =()(0)=()(0) ils"ensuitque c"est-`a-direque=().Enparticulier,?1[]. 5

Soit(01?1)Ktelque

0+1++?1?1=0()(2)

00+1(0)++?1?1(0)=0

nilpotents a.Comme=0()et2=0(),ona0?Ker?Ker2=R3. soitdimKer=2.Encecas,dimIm=1. soitdimKer=1,etdanscecas,dimIm=2.

´eventualit´e.

2etdimIm=1.?

que(123)soit unetellebase,ona directementque1et

2formentunebase

deKeret1estune

2(3)=0. Parcons´equent,1Ker.Deplus,1´etantnonnul,on

Montronsque=(123)estunebasedeR3.

Soit(123)R3telque

11+22+33=0(3)

Appliquons, ilend´ecoule0=3(3)=31,cequientraˆınein 6 Commeparconstruction(12)estunebasedeKer, ilenr´esulte aussique1=2. unebasedeR3. gets M

0 0 10 0 00 0 0

a.Comme2=0()et3=0(),onsaitque0?KerKer2? ie2=0()contrairement`al"hypoth`ese. etdimIm2=1.? ?analysesuppose que(123)soit unetellebase,on adirectementque

0=(1)1=

(2)2=(3).

Parcons´equent2=

(3)1=2(3).On pensealors`alapartie (1)=3(3)=0(2)=2(3)=1(3)=2.Enrangeant M

0 1 00 0 10 0 0

3.Soit(R3)canoniquementassoci´e`a=

2 1 0 ?3?1 1 1 0?1 7 a.Ona 2 1 0 ?3?1 1 1 0?1 2 1 0 ?3?1 1 1 0?1 2 1 0 ?3?1 1 1 0?1 1 1 1 ?2?2?2 1 1 1

0 0 00 0 00 0 0

revient`adirequeestnilpotentd"indice3.?

PartieI.´EtudedeΦ

Φ()d´efiniparΦ()=(2?1)+(2+1)

monˆomedominantde.Encecas, (2?1)apourmonˆomedominant(?1) (2+1)apourmonˆomedominant estunpolynˆomededegr´e. queΦ:R[]R[]estlin´eaire.

Soit(12)R2,et(12)R[]2.Alors

11+22=(2?1)11+22

+(2+1)11+22 =1(2?1)1+(2+1)1+2(2?1)2+(2+1)2 =1Φ(1)+2Φ(2) queΦ()=0. 8 `al"imagede Φ.Eneffet,siR[], 1

OnappelleΨlarestrictiondeΦ`aR3[].

imagesdecespolynˆomesparΨ:

Ψ(1)=0

Ψ()=2+1

Ψ(2)=62+2?2

Ψ(3)=123+32?6

nousobtenons

0 1?2 0

0 2 2?6

0 0 6 3

0 0 012

R3estlamatricetriangulairesup´erieure

?1?2 0

0 2?2?6

0 0 6?3

0 0 012?

nauxestnul,c"est-`a-deiresi02612 =0 9

2=0setraduitparlesyst`eme

?2+?2=0 2?6=0 4+3=0 10=0 =2 =0 =0

D"o`uKer(Ψ?2)=Vect1+2

=6

6)=0setraduitparlesyst`eme

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