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Résultatsclassiquessurlesendo morphismesnilpot ents SoitKuncor pscommutatif, EunK-evdedi mensionfinien,u unendo morphismenilpotentdeE.

1.Démontrerqueuesttrigonalisa ble.

Lepo lynômescindéX

p (pestun entiernaturel nonnul)annule u.

2.Déterminerlep olynôme caractéristiquedeu.

Lepo lynômecaractéristiquedeuestscindé (caruesttrigonalisable). Laseulev aleurpro prepossiblepouruest0(seulera cinedeX p ).I ln'y aqu'unpolynômescindéunitairededegrénquiaco mmeseulera cine

0:c'estX

n

Ilyabe au cou pdemanièresdi

ff

érentesd'arriveràceré sultat.Onpeut

parexempleprendreune baseda nslaquellelamatrice deuesttri- angulairesupérieure,iln'y aquedes0surla diagonale, lepolynôme caractéristiquedeusecalculefacilemen t.. .

3.Enutilisa ntlethéorèmedeCayley-Hamilton,démon trerque

l'indicedenilpotence deuestaupluséga làn.

Lepo lynômecaractéristiqueestX

n ;lepolynômeminimalestdonc X p lepo lynômeminimaldiviselepolynômecara ctéristique).Onaa lors u p

Θ(X

p annuleu)etu p-1 ?=Θ(X p-1 n'annulepasu).Donc pest l'indiced enilpotencedeu. 13

4.Retrouverlerésultatdela questionprécéden tesansutiliserle

théorèmedeCay ley-Hamilton, àl'aidedel'exerciceclassique surle s"noyauxité rés ».

Ona( voi rexercicesurlesnoy auxitérés):

Ker(u 0 )?Ker(u 1 )?···?Ker(u p-1 )?Ker(u p )=E

Lasuite finie

dim Keru k estdonc unesuite strictementcrois- santed'entiersnaturels,ce quiimpliquefacilement,p ourtoutkentre

0etp,dim

Keru k

5.Démontrerque,sur C,unematriceestnilpotentesietseule-

mentsi0estsonuniq uevaleurpropre.Es t-ceencorevrais ur R? Siunema triceestnilp otente,saseulev aleurpro preest0,quelquesoitle corps.Réciproquemen t,silaseulevaleurpropreest0, commeonest surC, lep olynômeminimalestscindé,ilestdoncde laformeX p .Donclamatrice estnilpot ente.Enrevanche,surR,lamatrice 000 00-1 010 (construiteàpartir d'unblo c2×2dema tricederotation d'angle π/2)a pourseule valeurpropre0,etpourtantn'estpasnilpotente(maisbiensûr, ellea desva leu rsproprescomplexesnonnulles). 14 Sous-espacescaractéri stiquesetréductiondeDunford

1.Soituunendom orphismenilpotentd'unespacededimensio n

finienonnu llen.Onappellepl'indicedenilpotence deu, c'est-à-direlepluspetiten tiernaturel pourlequelu p

Θ.Dé-

montrerque uesttrigonalisa ble.Quelestlepolynômeminimal peut-ilêtrediagona lisable?

Lepo lynômescindéX

p estannulateur deu,doncuesttrigonalisable.

Sonpolynô meminimalestundiviseurdeX

p ,doncilestdelaforme X k k ?=Θ,donc lep olynômeminimaldeuestnécessairement X p Etdo nclaseulerac inepo ssiblepourlepol ynômecaractéristi quede uest0(c'estlaseule valeur propre possiblepouru).O rcepolynôme caractéristiqueest scindé(car uesttrigonalisable), unitairededegré n,c'estdoncX n Et,parl ethéorème deCayl ey-Hamilton(lepolynômemi nimal divise Siuestdiagonalisable,co mmeil auneseulevaleurpropre (doncun seulsous-espace prop re),c'estunehomothétie,derapportcettevaleur propre,ici0.Doncu=Θ.

2.Soituunendo morphismed'unespaceEdedim ensionfinie

nonnull en.Onsupposequelepolynômecaractéristiquede uestscindé. Onnoteλ 1 q sesracines, demultiplicités respectivesm 1 ,...,m q 15

Onnot e,pourchaqueientre1etq:F

i =Ker i Id-u) m i F i estappelé sous-espacecaractéristiq ueassociéàlavaleur propreλ i (a)DémontrerqueF i eststable paruetcon tientlesous- espacepropreE i associéàlaval eurpr opreλ i F i estle noyau deP i (u),avecP i i -X) m i .Com meP i (u)com- muteavecu(c'estun polynô medeu),so nnoyauF i eststable paru(cours).

Mais,sifestun endomorphisme,sik ,ona ker(f k )?ker(f k ),doncenparticulierici ker i Id-u ?ker i Id-u) m i cequitraduit bienque E i ?F i (b)DémontrerqueEestsommed irectedesF i L'utilisationduthéorèmedeCayley-Hamilt onetdu théorèmede décompositiondesnoyauxdanscettequestion estungra ndclas- siquede laréduction. Lep olynômecaractéristiquedeu,supposéscindé,est u q i=1 (X-λ i m i

Sii?=j,X-λ

i ?X-λ j =1,donc(X-λ i m i ?(X-λ j m j =1; 16 lethéorème dedécompositio ndesno yauxditalors: ker u (u) q i=1 ker (u-λ i Id m i Mais,d'aprèsl ethéorèmedeCayley-Ham ilton, χ u (u)=Θ,donc ker u (u) =E,etonconclutbien: E= q i=1 F i (c)Démontrerqueuestdiagonalis ablesietseulementsi F i =E i pourtouti.

Onav udan slea.que,po urtouti,dim(E

i i ).Onajoute toutescesinéga lités,on obtient: q i=1 dim(E i q i=1 dim(F i )=dim(E)

Maisonsait queuestdiagonalisable sietseulemen tsi

q i=1 dim(E i uneég alité.Orenajoutan tdesinégalités(de mêmesens biensûr, sinonc'est interdit!) dontuneaumoinseststricte,onobtien tune inégalitéstricte.Doncuestdiagonalisable sietseulemen tsiles in-

égalitésdim(E

i i )sonttoutesdeségalités,donc siet seule- mentsi(sac hant quechaqueE i estinclusdans leF i correspondant) F i =E i pourtouti 17

3.Onsepl acesous leshyp othèsesde laquestionpré cédente.

Onappe lleu

i l'endomorphismeinduitparusurF i ,etp i la projectionsurF i parallèlementà j?=i F j (a)Démontrerqueu i s'écritcommesommed' unehomothétie h i etd'unendomorphis menilpoten tn i deF i Six?F i ,pardéfinitiondecesous-espaceona i Id-u) m i (x)=0 E =0 F i .Mai s,surF i ,ucoïncideav ecu i ,donc i Id F i -u i m i (x)=0 F i .NotantΘ i l'endomorphismenuldeF i onobt ient(λ i Id F i -u i m i i .Doncu i i

Idestnilp otent.

Notons-len

i ,etnotonsh i l'homothétieλ i

Id.Onabien:

u i =n i +h i (b)Construire,enutilisantce qui précède,deuxendomor- telsq ue u=d+netdn=nd Soitxunélément deE.OnpeutledécomposersurlesF i x= q i=1 p i (x).Donc u(x)= q i=1 u p i (x) q i=1 u i p i (x) q i=1 h i p i (x) q i=1 n i p i (x) 18 cequiincite àdéfinir d= q i=1 h i ◦p i etn= q i=1 n i ◦p i

Ona,p arceq uiprécède, u=d+n.SurchaqueF

i ,dcoïncidea vech i onsait qu'alor sdestdiagonalisable.

Surcha queF

i ,ncoïncidea vecn i .Orn m i i i ,donc,si m=max(m i ),n m i i .Doncn m estuneapplication linéairenulle sur chaqueF i ,orlasommedirectedesF i estE,doncn m

Θ.Eta ins i,

nestnilpoten t. i (carh i ◦n i =n i ◦h i ),donc sontégaux:nd=dn

Remarque:Chaquen

i esttrigonalisable. Ilexistedonc unebasede F i danslaquelle samatriceesttriangulair esupér ieure"stricte».En réunissantdetellesbases,o nobtien tuneba sedeEdanslaquellela matricedeuestdela forme M= A 1 A 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40