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Démontrer par récurrence que le terme général de la suite est donné par : On pourra montrer que ( ) ≥2 n'est pas une suite de Cauchy
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Chapitre 1Suites r´eelles et complexes
Dans ce chapitre,Kd´esigne le corpsRdes nombres r´eels, ou le corpsCdes nombres complexes. PourK, nous noteronsle module de(´egal `a la valeur absolue de dans le cas r´eel). Nous appelleronsdistanceentre deux ´el´ementsetdeKle r´eel.1.1 G´en´eralit´es
D´efinition 1.1.1.(1) Une suite `a valeurs dansKest une famille d"´el´ements deKin- dex´ee par l"ensembleNdes entiers naturels. La donn´ee d"une suite ()N´equivaut `a la donn´ee de l"application NK (2) Une sous-suite (ou suite extraite) d"une suite ()Nest une suite de la forme (k)No`u lessont des entiers tels que 0 1 2 Si ()Nest donn´ee par l"application:NK, alors (k)Nest donn´ee par l"application, o`uest d´efinie par() =. Une suite peut ˆetre d´efinie de plusieurs fa¸cons : - Par une formule explicite := 22 - Par une r´ecurrence :0= 1 et, pour toutN,+1=2+ 1 - Abstraitement :est le-i`eme nombre premier. Il arrive que les premiers termes d"une suite ne soient pas d´efinis. Par exemple, dans la suite 2 2 les termes0et1ne sont pas d´efinis. On notera ()2cette suite. ´Etant donn´ee une suite ()N, on a deux suites extraites importantes : la suite (2)Ndes termes pairs, et la suite (2+1)Ndes termes impairs. Exemple.La suite de Syracuse d"un nombre entierest d´efinie par r´ecurrence, de la mani`ere suivante :0=et pour tout entier0 : +1=? n2siest pair
3+ 1 siest impair
Lothar Collatz a conjectur´e (en 1937) que, pour tout 0, il existe un indicetel que= 1. Une fois que le nombre 1 est atteint, la suite des valeurs 142142 ser´ep`ete ind´efiniment. La conjecture reste ouverte aujourd"hui (2011). Elle a ´et´e v´erifi´ee par
ordinateur pour 262.1.2 Convergence d"une suite r´eelle ou complexe
La d´efinition moderne de la limite, encore utilis´ee aujourd"hui, est donn´ee ind´epen- damment par Bolzano en 1816, et par Cauchy en 1821 dans sonCours d"analyse de l"´Ecole royale polytechnique. D´efinition 1.2.1.On dit qu"une suite ()Nd"´el´ements deKconvergeversKsi : pour tout 0, il existeNtel que, pour tout, on ait ou, avec des quantificateurs, 0N On dit qu"une suitedivergesi elle ne converge pas. Ceci se traduit de la fa¸con suivante : pour tout 0 (arbitrairement petit), il existe un rang (l"entier) `a partir duquel tous les termes de la suite sont `a une distanceinf´erieure `ade. Insistons sur le fait qued´epend de!Exemples.a) Montrons que la suite (1
)1converge vers 0. Soit 0, on cherche un entiertel que, pour tout, on ait1 , c"est-`a-dire1. On constate que, si l"on pose=(1 ) + 1, alors1et donc, pour tout, on a bien1. Ainsi, pour montrer que () converge vers`a partir de la d´efinition, on fixe 0 et on cherche `a traduire la condition en une condition de la forme, l"entier´etant construit au cours du raisonnement. b) Probl`eme concret : comment calculer? Plus pr´ecis´ement, comment calculer des valeurs approch´ees deavec une pr´ecision arbitraire? Commeest irrationnel, son 3´ecriture d´ecimale n"est ni finie, ni p´eriodique. Une m´ethode naturelle est de construire
une suite () dont on sait calculer les termes et qui converge vers. Alors, par d´efinition de la convergence, pour tout 0, il existe un rang`a partir duquelest une valeur approch´ee de`apr`es. Siest explicite en fonction de, alors on sait calculer une valeur approch´ee deavec une pr´ecision arbitraire. Pour exprimer le fait que () converge vers, nous dirons queest lalimitede () quandtend vers +, et nous noterons lim +=ou lim=ou encore+ Pour que cette notation ait un sens, il faut montrer qu"une suiteconvergente admet une unique limite! Proposition 1.2.2.Si une suite converge, sa limite est unique. D´emonstration.Soit () une suite convergeant vers deux limiteset. Soit 0. Alors, comme () converge vers 1N1 et, comme () converge vers, 2N2Alors, pourMax(12), nous avons
=() + () + 2 Ceci ´etant vrai pour tout, on en d´eduit que= 0, donc que=. (Nous avons utilis´e le fait (trivial) suivant : si un r´eel positif est plus petit que toute quantit´e strictement positive, alors il est nul.)Nous avons clairement les ´equivalences :
lim=lim() = 0lim= 0 Si () converge, que peut-on dire des suites extraites de ()? Proposition 1.2.3.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la mˆeme limite. D´emonstration.Soit () une suite convergente, de limite. Soit (k) une suite extraite de (). Comme la suiteest une suite strictement croissante d"entiers, nous avons pour tout. Soit 0, alors, comme () converge vers, il existetel que, pour tout, on ait . Mais alors, pour tout, nous avons et par cons´equentk , d"o`u le r´esultat. 4Ceci fournit des crit`eres de divergence :- si on peut extraire de () une suite divergente, alors () diverge
- si on peut extraire de () deux suites convergeant vers des limites diff´erentes, alors () diverge Par exemple, la suite= (1)diverge : la suite des termes pairs converge vers 1, la suite des termes impairs converge vers1. Remarquons aussi que la modification d"un nombre fini de termes n"aaucune incidence sur la convergence d"une suite. D´efinition 1.2.4.On dit qu"une suite () estborn´ees"il existe un r´eel 0 tel que l"on ait N La proposition suivante fournit un autre crit`ere de divergence. Proposition 1.2.5.Toute suite convergente est born´ee. La r´eciproque est fausse. D´emonstration.Soit () une suite convergente, de limite. D"apr`es la d´efinition de la limite, et en fixant= 1, on trouve qu"il existe un entier1tel que, pour tout1, on ait 1 d"o`u, pour tout1, =+ () + 1On en d´eduit que, pour toutN,
Max(+ 10111)
ainsi la suite () est born´ee. Pour voir que la r´eciproque est fausse, il suffit de consid´erer
la suite= (1), qui est born´ee mais divergente.1.3 Op´erations sur les limites
Nous allons montrer que le passage `a la limite est compatible avec les lois du corpsK.Commen¸cons par ´enoncer un lemme.
Lemme 1.3.1.Le produit d"une suite born´ee par une suite tendant vers0tend vers0. D´emonstration.Soit () une suite born´ee, alors il existe un r´eel 0 tel que : N 5 Soit () une suite tendant vers 0, montrons que () tend vers 0. Soit 0, alors en consid´erant le r´eel il existeNtel que, pour tout, . Nous avons donc, pour tout d"o`u le r´esultat. Th´eor`eme 1.3.2.Soient()et()deux suites convergentes de limites respectiveset . Alors (1)La suite(+)converge vers+ (2)La suite()converge vers (3)Supposons= 0. Alors la suite(1 n)est bien d´efinie `a partir d"un certain rang, et converge vers 1 D´emonstration.(1) Soit 0. Comme () converge vers, nous avons 1N1 2 et, comme () converge vers, 2N2 2Soit=(12). Alors, pour, nous avons
2et 2 d"o`u, par l"in´egalit´e triangulaire ce qui montre que (+) converge vers+. (2) On peut ´ecrire La suite´etant convergente, elle est born´ee (proposition 1.2.5). Comme () tend vers 0, le lemme 1.3.1 nous dit que le produit() converge vers 0. De mˆeme, le produit ()converge vers 0. Ceci montre, d"apr`es (1), queconverge vers0, ce qu"on voulait. (3) Non d´emontr´e.
Proposition 1.3.3.Soit()une suite complexe. Alors()converge versCsi et seulement si les suites r´eellesRe()etIm()convergent respectivement versRe()et Im(). 6 D´emonstration.La d´emonstration repose sur le fait suivant : soit=+un nombre complexe, alorsMax() +
l"in´egalit´e de droite d´ecoule de l"in´egalit´e triangulaire, celle de gauche d´ecoule de l"´ecriture
2+2.