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Deux vecteurs AB et CD sont dits orthogonaux si et seulement si l'un des deux est nul ou si (AB) -L (CD) -+ -+ AB l CD Notation: Selon la définition des 

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Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel Démonstration de la première formule : u − v 2 sont orthogonaux si et seulement si u

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Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et Alors et sont non colinéaires et 

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5 mar 2018 · C) Formules d'addition du cosinus et du sinus D) Autres Définition: Deux vecteurs et sont dit orthogonaux si =0 On note 

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Formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 − 2bccos ̂A • Aire du triangle ABC On généralise à l'espace la notion de vecteurs orthogonaux : Définition 2 Soient →u  

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Vecteurs orthogonaux Définition : On dit que deux vecteurs et sont orthogonaux lorsque Propriété Relations métriques dans le triangle : formule d'Al-Kashi

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Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ou orthogonaux est nul Cette formule est très utile pour calculer certaines longueurs de segments mais 

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Leçon n°17: Produit scalaire

Présentation: Célia Giraudeau

Questions: Léon Habert

Lundi 5 Mars 2018

2

Prérequis

Angles

Vecteurs

Repère orthonormé

On note E un espace vectoriel de dimension 2 ou 3. La présentation est pour un niveau de cycle Terminal scientifique. 3 Plan I) Définitions et expressions du produit scalaire

A) Définition avec les normes

B) Expression analytique et propriétés

C) Expression par les projetés orthogonaux

II) Applications:

D) Autres théorèmes

4 I) Définitions et expressions du produit scalaire

A) Définition avec les normes

Définition:On appelle produit scalaire des vecteurs ࢛et ࢜ Remarques:Soient ࢛et ࢜appartenant à E. Le nombre ࢛૛est appelé le carré scalaire de ࢛. 5 I) Définitions et expressions du produit scalaire

B) Expression analytique et propriétés

Théorème: Expression dans le plan

6 I) Définitions et expressions du produit scalaire

B) Expression analytique et propriétés

Règles de calcul:

1) ׊

On note ̴࢛ȁ̴࢜.

Théorème:Soit A, B et C trois points non-alignés. ABC est un 7 I) Définitions et expressions du produit scalaire

B) Expression analytique et propriétés

Remarque:

Le vecteur nul ૙est orthogonal à tout autre vecteur de E.

Propriétés: Identités remarquables

Soient ࢛et ࢜des vecteurs qui appartiennent à ࡱ, alors:

1) ࢛൅࢜૛ൌ࢛૛൅૛࢛. ࢜൅࢜૛

2) ࢛െ࢜૛ൌ࢛૛െ૛࢛. ࢜൅࢜૛

8 I) Définitions et expressions du produit scalaire

C) Expression par les projetés orthogonaux

Théorème:

Soient A et B deux points distincts.

1)Si H est le projeté orthogonal du point C sur (AB), alors

2)҃҃ğ

9 I) Définitions et expressions du produit scalaire

Théorème:

Propriétés:

10

Définition:

orthogonaleàunvecteurdirecteurde(d).

Propriétés:

directeurssontorthogonaux. directeurssontcolinéaires.

Propriété:

II) Applications

11

Définition:

Une droite (d) est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale

à toute les droites de P

Propriété:

plan P, alors d est orthogonale au plan P

Définition:

Soit P un plan, on appelle vecteur normale à P, tout vecteur

II) Applications

12

Propriétés:

vecteursnormauxsontorthogonaux. normauxsontcolinéaires.

Propriété:

ax+by+cz+d=0.

II) Applications

13

Ex 79 p313 déclic TS 2012

II) Applications

14

Propriétés:

Propriété:

x²+y²+ax+by+c=0(a,b,créels)

II) Applications

B) Détermination équation de cercle

15

Propriétés:

Exercice:

3/En déduire la formule de cos(a-b).

II) Applications

16

ğĞğğğ҃Al-Kashi:

Théorème de la médiane:

II) Applications

D) Autres théorèmes

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