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Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et Alors et sont non colinéaires et 

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u⋅ v est nul Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur Application Dire que deux droites (AB) et (CD) 

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Ainsi, deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si des vecteurs directeurs de ces droites sont orthogonaux Ce résultat fournit un outil très 

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On dit que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leurs directions sont orthogonales Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur 

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Définition : Soient et deux vecteurs non nuls Soient A, B et C des points tels que : et Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB) On appelle produit scalaire de

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On dit que et sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires Remarque: Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs 2 ) Théorème :

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5 mar 2018 · I) Définitions et expressions du produit scalaire B) Expression analytique et propriétés Remarque: Le vecteur nul est orthogonal à tout 

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scalaire • Produit scalaire en repère orthonormal • Projeté orthogonal d'un vecteur Le produit scalaire de deux vecteurs ⃗u et ⃗v est un nombre réel

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Deux vecteurs AB et CD sont dits orthogonaux si et seulement si l'un des deux est nul ou si (AB) -L Géométrie analytique et produit scalaire dans le plan 2 

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Vecteurs orthogonaux

2

Définition

Deux vecteurs AB et CD sont dits orthogonaux si et seulement si l'un des deux est nul ou si (AB) -L (CD).

AB.l CD

Notation:

Selon la définition des vecteurs orthogonaux, on a -+ -+-+0 E{u, v ---0 E {x.u , y'v } a) 'V {x, y} C IR*

0 ft; { u, v} et avec AB = u

b) Si -.-.et CD = v et {x, y} C R* alors -+-+x.u = AB' et B' E(AB) --Y'Y = CO' et D'e(CO) et (AB') = (AB) (CD') = (CD) ~ AB.LCD et --u.lv enfin v {x, y} c IR* (AB) .l (CD)

AB' .l CO'

(AB') .l (CD') -+ -+x.u .l Y'V

On a alors la propriété suivante

Selon la définition des vecteurs orthogonaux, on a ---Pour 0 ~{U, v] --, avec AB = u --etBC=v a) ona Géométrie analytique et produit scalaire dans le plan 2 --u.lv --Pour u = 0 , O.lv

110+-::112

0112 +

Il:112

110112

b) --Pour v = 0 , --u.LO

Il;+0112

= 11-;112 c)

On obtient ainsi pour les vecteurs une propriété analogue à celle de Pythagore pour le triangle

rectangle. --nI~ { U, v } C'v 2 --u.lv

11-; + -; 112

Il ~ Il 2 + Il :112

Définition

--i, j ) est une base orthonormée B.O.N. si et seulement si 7 7 Iii -:+J Il = 1 .l et 8 i 1. j Par la propriété des multiples de vecteurs orthogonaux, on a --x.i .iy.j -:;; 112 ~ ~2=IIX'l+Y"JII =

Ilx-? Ir+

7 2Y' J Il

= X2 Il i If + y2 Il j 112

2 2=X +y

_/2 2 =VX-+y- 11-:: On obtient ainsi, pour la norme d'un vecteur, le théorème suivant. .J~2-:7 -Il v Il =

Dans une base orthonormée, si

alors Géométrie analytique et produit scalaire dans le plan 3 Un repère ( 0, i, j ) est dit orthonormé (R.O.N.) si et seulement si la base ( i, j

Définition

est orthonormée.

Pour la distance de deux points, on a

ona --u-Lv = Il :112 + Il;112

2 2 2 2= (X + y ) + (X' + y' )

2 2 2 2= (X + y ) + (X' + y' )

= 0 = 0 = 0 On obtient ainsi un critère d'orthogonalité de deux vecteurs. Géométrie analytique et produit scalaire dans le plan 4

11-:+-:112

2 2(X + X') + (y + y')

2 2 2 2X + 2xx' + x' + y + 2yy' + y'

2xx' + 2yy'

XX' + yy'

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