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Nous allons montrer par l'absurde que le nombre π est irrationnel Supposons On exprimera F(x) sous la forme d'une intégrale faisant intervenir la fonction f

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Par contraposition, si √n n'est pas entier, alors √n est irrationnel 2 Soit p un nombre Donc In est l'intégrale d'une fonction continue, positive et non nulle On en déduit que In L'égalité à démontrer est donc vraie quand n = 0 • Soit n ⩾ 0

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26 nov 2011 · fait qu'il ne s'arrête pas prouve que e est irrationnel Cependant on ne Niven de 1947 qui démarre par l'étude des intégrales : In = 1 2 · n π

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29 jui 2017 · intégrales impropres liées à ζ(2) et ζ(3) tendant "très vite" vers zéro, qui nous On va ici démontrer que π2 est irrationnel, il en suivra auto-

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2) (a) Montrer que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, 1 Ce résultat a permis de prouver que tous les nombres ζp2nq sont irrationnels Pour encadrer l'intégrale d'une fonction f sur un segment r a,b s, il est souvent utile 

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Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Vous avez Le but de ce problème est, entre autres, de montrer l'irrationalité du nombre e = exp(1) Afin de calculer les intégrales de certaines fonctions dont on ne peut pas trouver  

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cette attente On peut montrer que l'hypothèse de Riemann est équivalente où l 'intégrale converge normalement sur tout compact contenu dans le demi-plan 

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Puisque la fonction cos est continue et non nulle sur [0, π Exercice 3 Pour tout entier naturel n, on désigne par In l'intégrale définie par In = / 1 Par récurrence , on montre alors que un ∈ N (vrai au rang n = 0 car u0 = 1, puis si un ∈ N < si x est un nombre rationnel non nul, alors ex = exp(x) est un nombre irrationnel >>

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On se propose de démontrer que le nombre π est un nombre irrationnel Pour cela, on raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe deux entiers naturels a  

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Victor RAMBAUD

Une preuve de l"irrationalité de(3)Mémoire d"initiation à la recherche Sous la direction de MonsieurGuillaume VigeralCyclePluridisciplinaire d"EtudesSupérieures

Troisième année (L3)

29 juin 2017

Table des matières

1 Introduction 1

1.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 La fonctionde Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Le théorème des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Démonstration de l"irrationalité d"un nombre par méthodes

arithmétiques classiques 3

2.1 Irrationalité dep2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Généralisation du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Irrationalité de. 4

4 Irrationalité dee6

5 Irrationalité de(2)et(3):7

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.2 Quelques lemmes importants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.3 Irrationalité de(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.4 Irrationalité de(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 Introduction

Dans ce mémoire, nous allons revenir sur différentes approches permettant de démontrer l"irrationalité d"un nombre.

1.1 Historique

Pendant longtemps, les grecs - et plus particulièrement les pythagoriciens - pensaient que tous les nombres étaient rationnels. Cette vision des mathé- matiques perdura jusqu"à ce que l"un d"eux démontre par l"absurde quep2ne pouvait être écrit comme le rapport entre deux nombres entiers premiers entre eux. Cette découverte fut un véritable choc à leurs yeux, en poussant même certains aux suicide selon la légende. Cette découverte a constitué un véritable bond en avant dans l"histoire des mathématiques, puisque d"une part elle est à 1 l"origine de la notion de nombre irrationnel et que d"autre part la preuve asso- ciée est une des premières démonstrations par l"absurde de l"histoire. Découverte fondamentale puisque Georg Cantor montrera deux siècles plus tard que presque tout nombre - au sens de la mesure de Lebesgue - est irrationnel. Bien que le concept d"irrationalité soit simple à comprendre, démontrer qu"un nombre est bien irrationnel l"est cependant beaucoup moins. Beaucoup des grandes constantes des mathématiques, telles queouesont irrationnelles et ont été conjecturées comme telles bien avant la démonstration associée. Nous traiterons ici de ces démonstration.

1.2 La fonctionde Riemann

On a tous entendu parler de la fameuse fonction, rendue célèbre par l"hy- pothèse de Riemann. On rappelle la définition de cette fonction.

8s >1; (s) =+1X

n=11n s: Cette fonction est à priori définie uniquement pour des complexes dont la partie réelle est strictement supérieure à1. Il a été démontré que la fonctionzetade Riemann admet un prolongement analytique sur tout le plan complexe, avec un unique pôle en1, d"où l"ensemble de définition parfois donné deCnf1g. On sait depuis Euler que cette fonction prend des valeurs particulières pour tout entier pair. En effet, pour tout entierkstrictement positif,(2k)2Q2kce qui permet de voir qu"elle y prend des valeurs irrationnelles et même transcendantes en ces points. A l"exception du casn= 3, la situation pour des entiers impairs est totalement obscure. Le but final de ce projet est donc de démontrer l"irrationalité de(3)en dé- taillant la preuve fournie par Fritz Beukers, elle même inspirée de celle donnée à la surprise générale par Roger Apéry en 1978. Apéry n"était pas un mathémati- cien de premier plan sur la scène internationale et personne ne s"attendait à ce qu"une telle montagne soit gravit par lui. Dans cet article, F. Beukers démontre non seulement l"irrationalité de(3)mais aussi celle de(2), ce qui peut sembler étrange puisque la théorie de Fourier permet de montrer que(2) =26 , dont l"irrationalité était connue depuis longtemps. Ce qui nous intéresse ici n"est pas tant l"irrationalité de(2), mais bien la démonstration qui en est faite. Lors de la démonstration de l"irrationalité dee, nous introduiront un lemme disant que seul un nombre irrationnel peut être approché "très vite" par une suite de rationnels. Ce lemme sera utilisé dans la démonstration de l"irratio- nalité de(2)et(3), nous verrons qu"une approche très directe de ce lemme fonctionne pour l"irrationalité dee, mais qu"il est nécessaire de travailler plus astucieusement pour démontrer l"irrationalité de(2)et(3), ce qui explique qu"une démonstration ait mis si longtemps à voir le jour. (D"une façon plus générale, le fait qu"aucune démonstration n"ait été trouvée à ce jour pour(5), (7)... montre la difficulté que peut représenter la démonstration de l"irratio- nalité d"une grandeur donnée). Afin d"arriver à nos fins, nous introduirons des 2 intégrales impropres liées à(2)et(3)tendant "très vite" vers zéro, qui nous permettrons d"utiliser le fameux lemme utilisé dans la démonstration de l"irra- tionalité dee.

1.3 Le théorème des nombres premiers

Théorème 1.3.1.Soitnun entier. On note(n)le nombre de nombres pre- miers inférieurs ou égaux àn. Lorsquentend vers+1on a : (n)nln(n) Ce théorème extrêmement puissant, appelé théorème des nombres premiers, a été démontré simultanément en 1896 par Hadamard et de La Vallée-Poussin. Il ne sera pas démontré dans ce mémoire mais sera utilisé lors de l"une de nos démonstration.

2 Démonstration de l"irrationalité d"un nombre

par méthodes arithmétiques classiques Les deux démonstrations qui vont suivre sont assez élémentaires et sont faites par l"absurde.

2.1 Irrationalité de

p2

Théorème 2.1.1.

p2est irrationnel.

Démonstration.On résonne par l"absurde.

On suppose quep2est rationnel, donc qu"il existep,qdeux entiers naturels premiers entre eux tels que pq =p2: pq =p2 =)p2q 2= 2 =)p2= 2q2 =)p= 2k; k2N =)2q2= 4k2 =)q= 2k0; k02N On en déduit quepetqsont pairs, ils ne sont donc pas premiers entre eux, ce qui est absurde. Doncp2est irrationnel.2.2 Généralisation du résultat Une version plus générale de ce théorème est de montrer que la racine carrée d"un entier est rationnelle si et seulement si celui-ci est le carré d"un autre nombre entier. 3

Théorème 2.2.1.Soitn2N:

pn2Q, 9m2N; n=m2: Démonstration.L"implication réciproque est triviale. On résonne par l"absurde pour l"implication directe. Soitnun entier qui ne soit pas le carré d"un autre et supposons que sa racine soit rationnelle. Il existe donc deux entiers naturels premiers entre eux p et q tels quepn=pq petqétant premiers entre eux, leur décomposition en facteurs premiers ne comporte aucun nombre commun et par hypothèseqest différent de1. On utilise l"unicité de la décomposition en facteurs premiers. On pose : p=Y p ipremiersp ii; q=Y q jpremiersqj jji; j2N; pi6=qj8i; j pn=pq =Y p ipremiersp iiY q jpremiersqj j)n=Y p ipremiersp 2iiY q jpremiersq2j j=2N: On a doncn =2Nce qui est absurde. Doncpnest irrationnel. Ceci conclu la preuve.3 Irrationalité de. On va dans cette partie montrer l"irrationalité deet plus particulièrement celle de2, celle desuivant alors directement. Lemme 3.0.1.Soientg:R!Run polynôme à coefficients entiers etnun entier. On considère h:R!Rx7!xng(x)n!:

Alors pour tout entierk,h(k)(0)est un entier.

Démonstration.Soientkun entier etxun réel quelconques. h(x) =xng(x)n!)h(k)(x) =kX i=0 k i n(n1):::(ni+ 1)n!xnigki(x)

Sii < n, on a bien0ni= 0.

Dès quein,k

i n(n1):::(ni+ 1)n!xnig(ki)(x) =k i g (ki)(x) Orgest un polynôme à coefficients entiers donc pour toutk;pour touti; g (ki)(0)2N:On en conclut queh(k)(0)est bien un entier pour tout entierk.4

Théorème 3.0.1.est irrationnel.

Démonstration.On va ici démontrer que2est irrationnel, il en suivra auto- matiquement queest irrationnel. On résonne par l"absurde. On suppose qu"il existea,bdeux entiers premiers entre eux tels que2=ab

On introduit pour toutn2N

f n: [0;1]!Rx7!xn(1x)nn!: I n=anZ 1 0 f n(x)sin(x)dx:

On remarque que

8k2N;8x2[0;1]; f(2k)n(x) =f(2k)n(1x):

Soitkun entier :

Z 1 0 f(2k)n(x)sin(x)dx= f(2k)n(x)cos(x) 1 0 +1 Z 1 0 f(2k+1)n(x)cos(x)dx f(2k)n(1) +f(2k)n(0) +1 2 f (2k+1)n(x)sin(x) 1 0 |{z} =0 1 2Z 1 0 f(2k+2)n(x)sin(x)dx

2f(2k)n(0)

1 2Z 1 0 f(2k+2)n(x)sin(x)dx

Par récurrence évidente on obtient :

Z 1 0 f n(x)sin(x)dx=2 n1X k=0(1)k

2kf(2k)n(0) +(1)n

2nZ 1 0 f(2n)n(x)sin(x)dx 2 n1X k=0(1)k

2kf(2k)n(0) +2(1)n

2n+1f(2n)n(0)

)In= 2nX k=0(b)kankf(2k)n(0): D"après le lemme 3.0.1, pour tout entierk,f(2k)n(0)est un entier, doncIn2N:

Or on remarque que pour toutn:

0< In

Donc il existen0tel que pour toutnn0,0< In<12

ce qui est absurde car I nest un entier. On en conclut que2est irrationnel, donc queest irrationnel.5

4 Irrationalité dee

Afin de démontrer l"irrationalité dee, nous allons introduire un lemme carac- térisant l"irrationalité d"un nombre. Ce lemme dit que seul un nombre irrationnel peut être approché "très vite" par une suite de rationnels. C"est ce lemme que nous utiliserons plus tard dans la démonstration de l"irrationalité de(2)et de(3). Lemme 4.0.1.Soit2R:S"il existe(pn);(qn)2NNtelles que : lim n!+1p nq n=etjpnq nj=o(1q n)avec6=pnq n alors2RnQ:

Démonstration.Soientpq

etp0q

0deux rationnels.

pq 6=p0q

0, jpq0p0qqq

0j 1qq

0carjpq0p0qj 2N:

On résonne désormais par l"absurde.

On suppose queest rationnel, c"est à dire qu"il existe deux entiers non nuls tels que pq =et qu"il existe(pn);(qn)2NNtelles que :

8n2N;pnq

n6=;limn!+1p nq n=etjpnq nj=o(1q n)

Orjpnq

nj=jpq pnq nj 1qq n:

On a donc pasjpnq

nj=o(1q n)ce qui est absurde. Doncest irrationnel.Théorème 4.0.1.eest irrationnel. Démonstration.L"idée ici est d"encadrerepar deux suites de rationnels qui convergent suffisamment vite verse.

On sait que :

e=+1X n=01n!

SoitN2N. On aPN

n=01n!< e: 6

Majorons maintenante.

+1X n=01n!=NX n=01n!++1X n=N+11n! NX n=01n!+1(N+ 1)!

1 +1N+ 2+1(N+ 2)(N+ 3)+

NX n=01n!+1(N+ 1)!

1 +1N+ 1+1(N+ 1)2+

NX n=01n!+1(N+ 1)!N+ 1N NX n=01n!+1N:N!

On a donc :

NX n=01n!< e 0< epNN!<1N:N!

En posantqN=N!!+1on a bienjepNq

Nj=o(1q

N)ete6=pnq

n8n2N: Donc d"après le lemme 4.0.1,eest irrationnel.5 Irrationalité de(2)et(3):

5.1 Introduction

On pourrait penser ici que(2)et(3)étant commeedes sommes infinies, une approche directe pourrait nous permettre de démontrer leur irrationalité en utilisant le lemme 4.0.1 de la même manière que poure. Cependant, rappelons quee=P1 n=01n!, les termes successifs de la somme sont facteurs les uns les autres, nous permettant de majorer facilement le reste comme on l"a vu plus tôt, ce qui n"est pas le cas pour(3). En effet, essayons la même technique avec le reste de la somme : (3)NX n=11n 3=1X n=N+11n 31N
1 X n=N+11n 2

Or en remarquant que

Z n+1 ndxx 21n
Z n n1dxx 2 7 on obtient

1N+ 1=Z

1

N+1dxx

21X
n=N+11n 2Z 1 Ndxx 2=1N Donc (3)NX n=11n 31N
2

En mettant

PN n=11n

3au même dénominateur, on obtientpNd

3NoùdNest le plus

petit commun multiple de1;:::;N.

On a alors(3)pNd

3N<1N

2mais1N

2n"est évidemment pas négligeable devant

d 3

Nce qui ne permet pas de conclure dans ce cas.

Ceci montre pourquoi il est nécessaire de faire appel aux outils plus sophis- tiqués introduits par Beukers.

5.2 Quelques lemmes importants.

Soitnun entier strictement positif. On note(n)le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux àn. Soitdn= ppcm(1;2;:::;n):

Lemme 5.2.1.

9N2N;8nN; dn<3n

Démonstration.En utilisant la décomposition en facteurs premiers, il vient au- tomatiquement quedn= ppcm(1;:::;n) =Y pn ppremierp kp:oùkpest le plus grand entier tel quepkpn. Or : p a=n)ealn(p)=eln(n))a=ln(n)ln(p): k pétant un entier on en déduit quekp=bln(n)ln(p)c:En remarquant quepln(n)ln(p)=n on obtient ce qu"on voulait : d n=Y pn ppremierp bln(n)ln(p)c e. En particulier pour

a= 3, d"où le résultat.Lemme 5.2.2.Soientretsdeux entiers strictement positifs. Sir > s, alors :

J r;s=Z 1 0Z 1 0x rys1xydxdy(1) 8 est bien définie et sa valeur est un rationnel dont le dénominateur divised2r. K r;s=Z 1 0Z 1

0ln(xy)1xyxrysdxdy(2)

est bien définie et sa valeur est un rationnel dont le dénominateur divised3r.

Sir=salors,

Z 1 0Z 1 0x ryr1xydxdy=(2)11 2 1r 2(3) Z 1 0Z 1

0ln(xy)1xyxryrdxdy= 2

(3)11 3 1r 3 :(4) Démonstration.Soientretsdeux entiers strictement positifs,rs. 00x1xydxdy=Z 1 0 ln(1x)dx <1: DoncJr;sest bien définie. Commeln(xy)est écrasé parxyen(0;0), on voit que (2) est également définie. De même, (3) et (4) sont bien définies. On rappellequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40