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2) (a) Montrer que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, 1 Ce résultat a permis de prouver que tous les nombres ζp2nq sont irrationnels Pour encadrer l'intégrale d'une fonction f sur un segment r a,b s, il est souvent utile 



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Nous allons montrer par l'absurde que le nombre π est irrationnel Supposons On exprimera F(x) sous la forme d'une intégrale faisant intervenir la fonction f



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Par contraposition, si √n n'est pas entier, alors √n est irrationnel 2 Soit p un nombre Donc In est l'intégrale d'une fonction continue, positive et non nulle On en déduit que In L'égalité à démontrer est donc vraie quand n = 0 • Soit n ⩾ 0



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26 nov 2011 · fait qu'il ne s'arrête pas prouve que e est irrationnel Cependant on ne Niven de 1947 qui démarre par l'étude des intégrales : In = 1 2 · n π



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29 jui 2017 · intégrales impropres liées à ζ(2) et ζ(3) tendant "très vite" vers zéro, qui nous On va ici démontrer que π2 est irrationnel, il en suivra auto-



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cette attente On peut montrer que l'hypothèse de Riemann est équivalente où l 'intégrale converge normalement sur tout compact contenu dans le demi-plan 



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Puisque la fonction cos est continue et non nulle sur [0, π Exercice 3 Pour tout entier naturel n, on désigne par In l'intégrale définie par In = / 1 Par récurrence , on montre alors que un ∈ N (vrai au rang n = 0 car u0 = 1, puis si un ∈ N < si x est un nombre rationnel non nul, alors ex = exp(x) est un nombre irrationnel >>



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On se propose de démontrer que le nombre π est un nombre irrationnel Pour cela, on raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe deux entiers naturels a  

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