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MDI 101 - Probabilites - Groupe 5

1. Soith:Rn!Rune fonction borelienne bornee.

E[h(T1;T2;:::;Tn)] =E[h(S1;S1+S2:::;S1++Sn)]

=Z On eectue le changement de variable suivant :t1=s1;t2=s1+s2;:::;tn=s1++sn. L'applicationT:Rn!Rnqui a (s1;s2;:::;sn) associe (t1;t2;:::;tn) est une application lineaire deRndansRndont matrice triangulaire superieure a des termes non nuls egaux a 1 : c'est donc unC1-dieomorphisme de jacobien egal a 1 de [0;+1[nsur =f(t1;t2;:::;tn)2Rn: 0t1 t

2 tng.

E[h(T1;T2;:::;Tn)] =Z

Z R Conclusion : (T1;T2;:::;Tn) admet pour densite par rapport a la mesure de Lebesgue deRnla fonction : g(t1;t2;:::;tn) =netn?(t1;t2;:::;tn):

2. Soith:R!Rune (nouvelle) fonction borelienne bornee. D'apres ce qui precede,

E[h(Tn)] =Z

R nh(tn)netn?(t1;t2;:::;tn)dt1dt2:::dtn Z 1 t n=0h(tn)netndtnZ tn t n1=0dt n1Z tn1 t n2=0dt n2:::Z t4 t 3=0dt 3Z t3 t 2=0dt 2Z t2 t 1=0dt 1 Z 1 t n=0h(tn)netndtnZ tn t n1=0dt n1Z tn1 t n2=0dt n2:::Z t4 t 3=0dt 3Z t3 t 2=0t 2dt2 Z 1 t n=0h(tn)netndtnZ tn t n1=0dt n1Z tn1 t n2=0dt n2:::Z t4 t 3=0t 232
dt3 =Z 1 t n=0h(tn)netntn1n(n1)!dtn: T nadmet donc par rapport a la mesure de Lebesgue la densite f(u) =n(n1)!un1eu?[0;+1[(u): On reconna^t queTnsuit la loiGamma(n;), ce qui etait d'ailleurs previsible puisque qu'on sait que siS1;S2;:::;Snsont des variables independantes de m^eme loiE() =Gamma(1;), leur somme suit une loiGamma(n1;). 1

3. Soit!2

. Comme la suite (Tn(!))n1est croissante, la suite?[0;t](Tn(!)) n1est decroissante, et N t(!) =k, 8n2 f1;:::;kg;?[0;t](Tn(!)) = 1 et8n > k;?[0;t](Tn(!)) = 0 , 8n2 f1;:::;kg;Tn(!)tet8n > k;Tn(!)> t ,Tk(!)tetTk+1(!)> t:

On a donc bien

fNt=kg=fTkt < Tk+1g:

4. Deux possibilites :

{ la premiere est de remarquer queP(Tkt) =P(TktetTk+1> t) +P(TktetTk+1t) =

P(Tkt < Tk+1) +P(Tk+1t), c'est-a-dire :

P(Nt=k) =P(Tkt < Tk+1)

=P(Tkt)P(Tk+1t) =Z t 0 n(n1)!un1euduZ u 0 n+1(n)!uneudu Zquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2