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S Amérique du nord juin 2017

Exercice 3 5 points

Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme u0 est strictement supé-

rieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n>0, la somme des n premiers termes

consécutifs est égale au priduit des n premiers terms consécutifs. On admet qu'une telle suite existe et on la note (un).

Elle vérifie donc trois propriétés/

u0>1. pour tout n⩾0, un⩾0. pour tout n>0, u0+u1+...+un-1=u0×u1×...×un-1

1. On choisit

u0=3. Déterminer u1 et u2.

2. Pour tout entier

n>0, on note sn=u0+u2+;..+un-1=u0×u1×...×un-1.

On a en particulier s1=u0.

2.a. Vérifier que pour tout entier n>0, sn+1=sn+un et sn>1.

2.b. En déduire que pour tout entier

n>0, un=sn sn-1.

2.c. Montrer que pour tout n⩾0,

un>1.3. A l'aide de l'algorithme ci-dessous, on veut calculer le terme un.

Entrée : Saisir n

Saisir u

Traitement : s prend la valeur u

Pour i allant de 1 à n :

u prend la valeur . . . s prend la valeur . . .

Fin Pour

Sortie : Afficher u

3.a. Recopier et compléter la partie traitement de l'algorithme ci-dessus.

3. b. Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de

unpour différentes valeurs de l'entier n Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite un ?

4.a. Justifier que pour tout entier

n>0, sn>n

4.b. En déduire la limite de la suite

(sn) puis celle de (un).

S Amérique du nord juin 2017

CORRECTION

1. u0=3

u0+u1=u0×u1 3+u1=3×u1 3=2×u1 u1=3 2 u0+u1+u2=u0×u1×u2 3+3

2+u2=3×3

2×u2 9

2+u2=9

2×u2 9

2=9

2×u2-u2 9

2=7

2×u2

u2=9

2×2

7=9 7.

2. Pour tout entier n > 0, on note sn=u0+u1+...+un-1=u0×u1×...×un-1 donc s1=u0.

2.a. sn+1=u0+u1+...+un-1+un=sn+un.

Pour tout entier naturel n, un⩾0

donc sn=u0+u1+...+un≥u0>12.b. Pour tout entier n > 0, sn=u0+u1+...+sn-1=u0×u1×...×un-1 sn+1=sn+un=sn×un sn=sn×un-un=(sn-1)×un Or sn-1>0 un=sn sn-12.c. Pour tout entier n > 0 un-1=sn sn-1-1=sn-(sn-1) sn-1=1 sn-1>0 car sn>1 donc un>1.

3.a. Traitement : s prend la valeur u

Pour i allant de 1 à n

u prend la valeur s s-1 s prend la valeur s+u

Fin pour

3.b. Conjecture

(un) converge vers 1

4.a. Pour tout entier naturel n > 0, sn=u0+n1+...+un-1 et pour tout entier

n⩾0, un>1. sn est la somme de n termes strictement supérieurs à 1 donc sn est supérieur à n. sn>n

4.b. limn→+∞n=+∞ donc

limn→+∞ un=+∞ Pour tout entier naturel n > 0, un=sn sn-1=1+1 sn-1 limn→+∞(sn-1)=+∞ donc limn→+∞ (1 sn-1)=0 et limn→+∞un= 1.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40