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Correction Baccalauréat S Amérique du Nord

I5 points

Commun à tous les candidats

PartieA

Dans le cadrede son activité, une entreprise reçoit régulière- mentdesdemandesdedevis.Lesmontants decesdevissontcal- culés par son secrétariat.Une étude statistique sur l"année écou- lée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoireXqui suit la loi normale d"espéranceμ=2900 euros et d"écart-typeσ=1250 euros.

1.P(X?μ)=P(μ?X?4000)+P(X?4000) doncM(X?

4000)=0,5-P(2900?X?4000).

À la calculatrice, on trouve :

P(X?4000)≈0,189.

2. Onchercheàlacalculatrice lenombreαtel queP(x?α)?

0,1 (Sur TI82, on tape FracNormale(0.1,2900,1250).

On trouve

α≈1298.

Pour qu"un devis soit pris en compte, son montant mini- mal doit être de 1298e

PartieB

Ce même entrepreneur décide d"installer un logiciel anti- spam, Ce logiciel détecte les messages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé "dossier spam». Le fabricant affirme que

95% des spams sont déplacés. De son côté, l"entrepreneur sait

que 60% des messages qu"il reçoit sont des spams. Après instal- lation du logiciel, il constate que 58,6% des messages sont dé- placés dans le dossier spam. Pour un message pris au hasard, on considère les évènements suivants :

•D: "le message est déplacé»;

•S: "le message est un spam».

D"après l"énoncé, on a :

?p(S)=0,6 p

S(D)=0,95

p(D)=0,586. Récapitulons la situation par un arbre pondéré : S 0,6? D 0,95 D0,05 S0,4? D ?D

2. On choisit au hasard un message qui n"est pas un spam.

Montrer que la probabilité qu"il soit déplacé est égale à 0,04.

PS(D)=P?

D∩

S? P?S?

OrD=(D∩S)??

D∩

S? (réunion d"événements incompa- tibles) doncP(D)=P(D∩S)+P?

D∩

S? d"oùP?

S∩D?

P(D)-P(S∩D)=0,586-0,57=0,016.

On en déduit :P

S(D)=0,0160,4=0,164=0,04 :

PS(D)=0,04.

3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est

la probabilité que ce message soit un spam? P

D(S)=P?

S∩

D? P?D? =P S? D?

×P(S)

P?D? =0,6×0,051-0,586=0,030,414= 30

414=569;PS(D)=569.

4. Pour le logiciel choisi par l"entreprise, le fabricant estime

que 2,7% des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l"efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés. Il trouve 13 une semaine. La proportionde messages fiables déplacés estp=2,7%=

0,027. La taille de l"échantillonnage estn=231.?????n=231?30

numprint=231×0,027=6,237?5 n(1-p)=231×0,973=224,763?5. Les conditions pour trouver l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont réunies :

Cet intervalle est :

I

0,95=?

p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?≈[0,0061 ; 0,0479] La fréquence (observée) de messages fiables déplacés est f=13

231≈0,056?I0,95.

Le résultat du contrôle

remet en questionl"hypothèse au seuil de 95 %

II5 points

Commun à tous les candidats

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L"ouverture du mur d"enceinte (non encore tué de deux vantaux de largeuratelle que 0Page 1/4 courbe. a1ervantail 2evantailmurmurA B C DS Cette portion de courbe est une partie de la représentation gra- phique de la fonctionfdéfinie sur [-2 ; 2] par : f(x)=-b 8? ex b+e-xb? +94oùb>0.

Lerepèreestchoisi defaçonqueles

points A, B, C et D aient pour coor- données respectives (-a;f(-a)), (a;f(a)), (a; 0) et (-a; 0) et on note Sle sommet dela courbedef, comme illustré ci-contre. 12

1 2-1-2

A B CDS

Partie A

1. Pour toutx?[-2 ; 2],f(-x)=-b

8(( e-xb+exb)) +94=f(x),
doncf(-x)=f(x). La fonctionfest donc paire et la courbe représentative de fest symétiruqe par rapport à l"axe des ordonnées.

2.fest dérivable comme somme et composée de fonctions

dérivables sur [-2 ; 2].

On sait que la dérivée de e

wsur un intervalleIestw?ewsi west une fonction dérivable surI.

On en déduit quef?(x)= -b

8?? 1bex b-1be-x b??+0 donc f?(x)=-18? ex b-e-xb?

3.f?(x)=0?exb=e-xb?xb=-xb?2xb=0?x=0.

f ?(x) est du signe opposé à celui de (ex b-e-xb. Or (e x b-e-xb>0??(exb>e-xb?xb>-xb(car la fonction exp est croissante), doncx>0. f(0)=9-b 4.

Le tableau de variation defest donc :

x-2 0 2 f?(x)+0- f(x) f(-2)?? ??9-b

4????f(2)

Le sommetSa donc pour coordonnéesS?

0 ;9-b4?

Partie B

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à

2 m du sol. On cherche alors les valeurs deaetb.

1. On doit avoir9-b4=2 donc 9-b=8 d"oùb=1.

2. Lafonction aalorspour expression :f(x)=-1

8?ex+e-x?+

9 4. •fest continue comme somme et composée de fonc- tions continues.

•f(0)=2>1,5

•f(2)≈1,34<1,5

D"après le théorème des valeurs intermédiaires , l"équa- tionf(x)=1,5 admet une solution sur l"intervalle [0 ; 2]; cell-ci est unique carfest monotone sur cet intervalle.

Notons-laa.

À la calculatrice, on trouve

α≈1,76(soit par encadre-

ments syccessifs, soit en demandant à la calculatrice de résoudre de manière approchée l"équation ).

3. Dans cette question, on choisita=1,8 etb=1. Le client

décide d"automatiser son portail si la masse d"un vantail excède 60 kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à 20 kg.m -2.On calculel"aired"unvantail;celle-civautA=? a 0 f(x) dx(en unités d"aire).

Une primitive defestFdéfinie parF(x)=-1

8?ex+e-x?+

9 4x.

On en déduit :

A=F(a)-F(0)= -1

8? e a+e-a+94a? -14? 1 8? e

1,8+e-1,8+94a?

-14? ≈3,314m2.

La densité est de 20 kg par m

2donc la masse d"un vantail

estm≈20×3,314≈

66,28kg, donc plus de 60.

Le client doit faire automatiser son portail.

Partie C

On conserve les valeursa=1,8 etb=1.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécou- pées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonc- tionfau point F d"abscisse 1. OS E B C vantailOS G H B C vantail Forme 1 : découpe dans un rectangle Forme 2 : découpe dans un tr

Page 2/4

Avec la forme 1, l"aire de bois utilisée estOL×OS=1,8×2=3,6.

L"aire perdue estA1≈3,6-3,314≈0,286 m2.

Avec la forme 2 :

L"équation réduite de la tangente au point d"abscisse 1 est y=f?(1)(x-1)+f(1). Ordonnée deG: on remplacexpar 0 :yG=f(1)-f?(1)= 1

8?e+e-1?+94+18?e-e-1?=9-e-14≈2,158.

OrdonnéedeH: onremplacexpar1,8 dansl"équation delatan- gente : y

H=f?(1)(1,8-1)+f(1)= -1

8?e+e-1?+94-0,88?e-e-1?=

-1,8e-0,2e-1+18

8≈1,629.

On déduit que l"aire du trapèze OCGH vaut environ

1,8×(2,158+1,629)

2≈3,408.

L"aire perdue est alorsA2≈3,408-3,414≈0,084 m2. On économise doncA1-A2≈0,286-0,094=0,191 m2de bois en choisissant la forme 2.

Exercice35 points

Commun à tous lescandidats

Le but de cet exercice est d"étudier les suites de termes positifs dont le premier termeu0est strictement supérieur à 1 et pos- sédant la propriété suivante : pour tout entier natureln>0, la somme desnpremiers termes consécutifs est égale au produit desnpremiers termes consécutifs.

On admet qu"une telle suite existe et on la note

(un). Elle vérifie donc trois propriétés :

•u0>1,

•pour toutn?0,un?0,

•pour toutn>0,u0+u1+···+un-1=u0×u1×···×un-1.

1. On choisitu0=3.

•On doit avoiru0+u1=u0u1donc 3+u1=3u1d"où

2u1=3 qui donneu1=

3 2

•On doit avoiru0+u1+u2=u0u1u2donc 3+32+u2=

3×3

2×u2donc92+u2=92u2.

On en déduit

7

2u2=92doncu2=

9 7.

On a pouru0=3 :

u1=32etu2=97.

2. Pour tout entiern>0, on notesn=u0+u1+···+un-1=

u

0×u1×···×un-1.

On a en particuliers1=u0·

(a) Pour toutn?1,sn+1=u0+u1+ ··· +un-1+un= s n+un; sn+1=sn+un Commesn=u0u1··· ×un-1, on remarque que sn+1=sn×un. Tous les termes de la suite sont positifs, doncsn= u

0+u1+···+un-1?u0>1 donc

sn>1. (b) Pour toutn?1,sn<=1=sn+un=snundoncsn= s nun-un=(sn-1)un.

On en déduit que :

un=snsn-1(pour toutn?1) (c) Pour toutn?1,un-1=sn sn-1-1=1sn-1>0 puisquesn>1 donc un>1.

3. À l"aide del"algorithme ci-contre,on veut calculer le terme

u npour une valeur dendonnée. (a) Complétons l"algorithme :

Entrée: Saisirn

Saisiru

Traitement:sprend la valeuru

Pouriallant de 1 àn:

uprend la valeurs s-1sprend la valeurs+u

Fin Pour

Sortie: Afficheru

millième deunpour différentes valeurs de l"entiern: n0510203040 un31,1401,0791,0431,0301,023 Il semble que la suite soit convergente et converge vers 1.

4. (a) Démontrons par récurrence surnquesn>npour

toutn?1. •Initialisation :s1=u0>1 par hypothèse donc la propriété est vraie pourn=1. •Hérédité : on suppose la propriété vraie pour unn quelconque (n?1), doncsn>n.

Alorssn+1=sn+un>n+und"après l"hypothèse

de récurrence; orun>1 doncsn+1>n+un>n+1 puisqueun>1.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40