Pour tout entier n ⩾ 2, on peut transformer cosn(x) et sinn(x) comme combinaison linéaire de cos(kx) et sin(kx), k ∈ {0,1, ,n} Méthode : Formules d' Euler : on écrit
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[PDF] Binôme de Newton
Pour tout entier n ⩾ 2, on peut transformer cosn(x) et sinn(x) comme combinaison linéaire de cos(kx) et sin(kx), k ∈ {0,1, ,n} Méthode : Formules d' Euler : on écrit
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Formule du binôme de Newton Théorème Les coefficients binomiaux apparaissent dans le développement de ( )n a b + ( )a b C a b n i n i n n i i + = = − ∑
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1) Effectuer le développement de par la formule du binôme de Newton (on conservera les coefficients binomiaux sans chercher à les simplifier) On a de façon
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Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton Objectif : montrer par récurrence que n , a+ b ( ) n = n k C k= 0 n ak bn k Notations : a+ b ( ) n = n
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D'où la formule du binôme de Newton, (a +b)n = n ∑ k=0 ( n k ) akbn−k 2 Propriété n ◦ 12 de Pascal Soit fn(x) = (1+x)n, ∀n ∈ N∗ , En utilisant le binôme
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Soit n ∈ N∗ Les matrices 2I et N commutent (car la matrice I commute avec toutes les matrices) On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton : Tn
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0 1 Formule du binôme de Newton Les nombre Ck n s'appellent aussi les coefficients binomiaux, et on les notes Ck n = ( n k) = k · (n − k) Ils apparaissent
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27 sept 2017 · Exemple: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Exercice: Ecrire la formule pour n = 2 et n = 3 Retrouve-t-on les formules du TD1 ? Calculer
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Binˆome de Newton
Aim´e LachalBinˆome de Newton
Sommaire
1Factorielle
2Combinaison
3Formule du binˆome
4Applications trigonom´etriques
5Application aux probabilit´es
Aim´e LachalBinˆome de Newton
1. Factorielle
Aim´e LachalBinˆome de Newton
1. Factorielle
D´efinition (Factorielle)
Soit n?N?. On appelle" factorielle »de n le nombre n! = 1×2×3× ··· ×n=n k=1k. Par convention, on pose0! = 1.Exemple (Les 10 premi`eres factorielles)1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 1206! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
Aim´e LachalBinˆome de Newton
1. Factorielle
Proposition (Permutations)
n!est le nombre depermutationsd"un ensemble contenant n el´ements.Exemples (Permutations) Casn= 3 :il y a 3! = 6 permutations de 3´el´ements.123 132 213 231 312 321Casn= 4 :il y a 4! = 24 permutations de 4´el´ements.
1 2341 243
1 324
1 342
1 423
1 432
2 134
2 143
2 314
2 341
2 413
2 431
3 124
3 142
3 214
3 241
3 412
3 421
4 123
4 132
4 213
4 231
4 312
4 321
Aim´e LachalBinˆome de Newton
1. Factorielle
Exemples (Factorielles)
50!46!
= 50×49×48×47 = 5527200(2n+ 3)!(2n+ 1)!=(2n+ 3)(2n+ 2)×(2n+ 1)!(2n+ 1)!= (2n+ 3)(2n+ 2) (n+ 1)!(n-2)!+n!(n-1)!= (n+ 1)n(n-1) +n=n3 (n-1)!n!-n!(n+ 1)!=1n -1n+ 1=1n(n+ 1)(2n)!n!=(2n)(2n-1)...(n+ 1)×n!n!= (n+ 1)(n+ 2)...(2n) Pourn= 1,2,3,4 on obtient respectivement : 2,12,120,1680.Une minoration den!:pourn>10, n! =n???? >10×(n-1)???? >10×(n-2)???? >10× ··· ×10???? >10×9!>9!×10n-9Aim´e LachalBinˆome de Newton
1. Factorielle
Exemples (Factorielles)
Produit des premiers nombres pairs :partant den?
k=1(2k)= n? k=12×n? k=1k, on trouve nk=1(2k) = 2×4×6× ··· ×(2n) =2 nn!Produit des premiers nombres impairs :partant den?
k=0(2k+ 1)×n? k=1(2k)= 1 ×2× ··· ×(2n+ 1) =(2 n+ 1)! on trouve n? k=0(2k+ 1)= 1 ×3×5× ··· ×(2n+ 1) =(2n+ 1)!2 nn!Partant de, pour toutk>1,k!>2k-1:n? k=11k!6n k=112 k-1=1-12 n1-12<11-12= 2Aim´e LachalBinˆome de Newton
1. Factorielle
Exemple (Arrangements(facultatif))On dispose denobjets discernables. On en pr´el`eve successivementp
les uns apr`es les autres. Il y a :nchoix possibles pour pr´elever le 1erobjet;(n-1) choix possibles pour pr´elever le 2eobjet;(n-2) choix possibles pour pr´elever le 3eobjet;...
(n-p+ 1) choix possibles pour pr´elever lepeobjet. On obtient ainsin×(n-1)×(n-2)×···×(n-p+1) pr´el`evements possibles. On an(n-1)(n-2)...(n-p+ 1) =n!(n-p)!. C"est le nombre d"arrangementsdepobjets parmin. On le noteApn.Aim´e LachalBinˆome de Newton1. Factorielle
Exemple (Le tierc´e hippique(facultatif))Letierc´eest un principe de pari hippique dans lequel le parieur est
invit ´e`a pronostiquer les trois chevaux arriv´es en tˆete d"une course, soit dans l"ordre pour un gain maximal, soit dans un ordre diff´erent.
Un pronostic detierc´e ordonn´erevient`a d´esigner 3 num´eros parmi n(effectif total des partants). Il y en aA3n=n×(n-1)×(n-2). Pour une course de 10 partants, il y aA310= 10×9×8 = 720 tierc´es ordonn ´es possibles, pour une course de 20 partants, il y en a A320= 20×19×18 = 6840.Aim´e LachalBinˆome de Newton
2. Combinaison
Aim´e LachalBinˆome de Newton
2. Combinaison
Une´epreuve de Bernoulliest une exp´erience al´eatoire`a deux issues possibles (par exemple " succ `es » et "´echec »).Unsch´ema de Bernoulliest une r´ep´etition d"´epreuves deBernoulli identiques et ind
´ependantes.D´efinition (Combinaison)
Soit n?Net p? {0,1,...,n}.
On appelle" combinaison »de p parmi n le nombre de chemins dans l"arbre binaire repr´esentatif d"un sch´ema de n´epreuves de
Bernoulli conduisant
`a p succ`es.On note ce nombre?n
p? (" p parmi n »). ?n p? est aussi le nombre de pr´el`evementssimultan´es(sans remise)
de p objets parmi n.Aim´e LachalBinˆome de Newton
2. Combinaison
Arbre binaire
succ `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echec´ epreuve no1´ epreuve no2´ epreuve no3´ epreuve no4••Aim´e LachalBinˆome de Newton
2. Combinaison
Arbre binaire : 2 succ`es sur 4 ´epreuves
succ `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echecsucc `es´ echec´ epreuve no1´ epreuve no2´ epreuve no3´ epreuve no4•• •X XX XX X? 4 2? =6Aim´e LachalBinˆome de Newton
2. Combinaison
Proposition (Combinaison)
Soit n?Net p? {0,1,...,n}. On a
?n p? =n!p!(n-p)!=n(n-1)···(n-p+ 1)p!En effet : ´etant donn´epobjets discernables pr´elev´es simultan´ement, leursp! permutations g´en`erent tous les pr´el`evements successifs pos- sibles de ces objets. Comme il y aApnpr´el`evements successifs distincts (arrangements) de pobjets parmin, il y ap! fois moins pr´el`evements simultan´es, soit A pnp!=?n p?Aim´e LachalBinˆome de Newton
2. Combinaison
Exemple (Jeu du loto(facultatif))Le jeu duloto(version 1976) consiste`a cocher 6 num´eros sur une grille de 49 cases num´erot´ees de 1`a 49.
Le tirage s"effectue par des pr
´el`evements successifs de 6 boules d"une
gigantesque urne rotative. Cela dit, l"ordre des num´eros tir´es n"a pas
d"importance, le tirage est ´equivalent`a un pr´el`evement simultan´e de6 boules.
Il y a donc 1 seule combinaison gagnante parmi?49
6? combinaisons possibles avec ?49 6? =49×48×47×46×45×446! = 13983816. Il y a ainsi 1 chance sur environ 14 millions de remporter le gros lot, soit une probabilit ´e de 7×10-8...Aim´e LachalBinˆome de Newton2. Combinaison
Proposition (Valeurs particuli`eres, sym´etrie)1Pour tous p,n?Ntels que p6n,?n
n-p? =?n p? .2? n 0? =?n n? =1?n 1? =?n n-1? =n?n 2? =?n n-2? =n(n-1)2Exemples (Combinaisons)
5 2? =5×42 = 10?50 2? =50×492 = 1225 ?50 49?=?50 50-1?
=?50 1? = 50