Formule de Pascal et symétrie des coefficients binomiaux • Formule du binôme de Newton • Formule de factorisation de xn − yn Méthodes et techniques à
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Pour tout entier n ⩾ 2, on peut transformer cosn(x) et sinn(x) comme combinaison linéaire de cos(kx) et sin(kx), k ∈ {0,1, ,n} Méthode : Formules d' Euler : on écrit
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Formule du binôme de Newton Théorème Les coefficients binomiaux apparaissent dans le développement de ( )n a b + ( )a b C a b n i n i n n i i + = = − ∑
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1) Effectuer le développement de par la formule du binôme de Newton (on conservera les coefficients binomiaux sans chercher à les simplifier) On a de façon
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Démonstration de la célèbre formule du binôme de Newton Objectif : montrer par récurrence que n , a+ b ( ) n = n k C k= 0 n ak bn k Notations : a+ b ( ) n = n
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D'où la formule du binôme de Newton, (a +b)n = n ∑ k=0 ( n k ) akbn−k 2 Propriété n ◦ 12 de Pascal Soit fn(x) = (1+x)n, ∀n ∈ N∗ , En utilisant le binôme
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Soit n ∈ N∗ Les matrices 2I et N commutent (car la matrice I commute avec toutes les matrices) On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton : Tn
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0 1 Formule du binôme de Newton Les nombre Ck n s'appellent aussi les coefficients binomiaux, et on les notes Ck n = ( n k) = k · (n − k) Ils apparaissent
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27 sept 2017 · Exemple: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Exercice: Ecrire la formule pour n = 2 et n = 3 Retrouve-t-on les formules du TD1 ? Calculer
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