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TRAVAUXDIRIGÉS DEEC4

Exercice 1 :CircuitRLCparallèle

Soit le circuit représenté ci-contre.

C ?????u+q iC iR R iL L

1. Montrer queu(t)vérifie l"équation :

d 2u(t) dt2+ω0Qdu(t)dt+ω20u(t) = 0 On donnera l"expression deω0etQen fonction deR,LetC.

2. DéterminerRc, l"expression résistance pour laquelle on ob-

serve un régime critique. ExprimerQen fonction deRetRc. Que peut-on dire deQsiR?Rccomparer avec le cas du circuitRLCsérie.

3. En supposant queCest initialement chargé sous une tensionU0et que tous les courants sont nuls,

calculer l"expression approchée deu(t)siQ?1(régime harmonique).

Soit le circuit représenté ci-contre.

C ?????u+q iC A iR R iL L

1. Une loi des mailles enApermet d"écrireiC+iR+iL= 0avec

i

C=C.duC(t)

les trois dipôles sont montés en parallèle. Pour éviter de faire apparaîtreiLsous la forme1

L?u(t)dt, on va

dériver la première équation par rapport au temps : di C(t) dt+diR(t)dt+diL(t)dt= 0?C.d2u(t)dt2+1R.du(t)dt+u(t)L= 0soit d 2u(t) dt2+1RC.du(t)dt+u(t)LC= 0. On obtient ainsi une équation différentielle du second ordre (circuit d"ordre deux), sans second membre (régime libre) àcoefficients constants et tous de même signe. On met ensuite cette équation sous la forme canonique d2u(t) dt2+ω0Q.du(t)dt+ω20.u(t) = 0avecω0=1⎷LC (comme pour le circuitRLCsérie) etQ=RCω0=R.? C

Lc"est à dire l"expression inverse de celle

obtenue pour uneRLCsérie (Qsérie=Lω0

R=1RCω0=1R?

L C).

2. Le régime permanent est atteint quandQ=1

2=R.? C

L?R=Rc=⎷

L

2⎷C.

On a ainsi?

L

C= 2Rcd"oùQ=R.?

C

L=R2Rc.

SiR?Rc,Q→ ∞et le circuit est en régime harmonique. Dans le cas d"un circuitRLCsérie, il

faut faire tendreRvers0pour obtenir un régime harmonique (circuitLCsérie,Qsérie→ ∞) alors

qu"ici, il fautR?Rc(siRtend vers l"infini, on aQ→ ∞et un circuitLCsérie).

3. Dans le cas oùR?Rc?Q?1

2, on peut considérer que le circuit est en régime harmonique,

l"équation différentielle devient d2u(t) dt2+ 0×ddu(t)dt+ω20u(t) = 0?d2u(t)dt2=-ω20u(t). La solution est du typeu(t) =Acosω0t+Bsinω0t. Comme l"équation est du second ordre, il faut deux conditions initiales pour déterminer les constantesAetB. On a déjà, par continuité de la tension aux bornes du condensateuru(0-) =U0=u(0+) =A.quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6