Ce champ scalaire V (M) est le potentiel électrostatique crée au point M par la charge q 2 18 – Param`etrage utilisé dans le calcul direct du champ du fil infini
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[PDF] Calcul du champ et du potentiel électrostatiques créés par un fil
Déterminer le champ électrostatique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé (de densité linéique de charge λ) en tout point de l'espace (en dehors
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Cette charge 1 q en P modifie l'espace autour d'elle et crée en M un champ 3 0 1 4 )( r rq III Potentiel électrostatique, rotationnel du champ E A) Potentiel Ainsi, la formule devient ∫∫∫ ∫∫ = D) Fil rectiligne uniformément chargé
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Ce champ scalaire V (M) est le potentiel électrostatique crée au point M par la charge q 2 18 – Param`etrage utilisé dans le calcul direct du champ du fil infini
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champ de vecteurs dérive d'un potentiel scalaire (Cela revient à montrer que 1 un fil infini portant une distribution de charge uniforme λ 2 un plan infini portant Calculer le champ électrique créé en un point de son axe : 1 par un anneau
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5 1 1 Potentiel électrostatique créé par deux charges électriques 56 5 1 2 Champ électrique à 6 3 3 Champ créé par un circuit électrique (formule de Biot et Savart) 84 7 2 1 Circulation du champ autour d'un fil infini
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V M V M = − IV MÉTHODES DE CALCUL DU CHAMP ET POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE Si r > R, le champ est le même que celui créé par un fil illimité
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un aimant mobile produit un courant dans un fil électrique seront détectées par l'Allemand Hertz et dont le calcul montre que leur vitesse est la même que celle de est le champ électrique créé en M par toutes les charges sauf q, et Ei( M)
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Chapitre 2
Champ et Potentiel
Electrostatiques
2.1 Introduction : les interactions fondamentales
la Physique. fondamentalesµa partir desquelles se construisent a priori les interactions plus complexes entre systµemes macroscopiques.¡15m, et ne sont donc pas directement
2. Elles sont encore imparfaitement connues et font actuellement l'objet
deshadrons3. 1Voir http ://voyage.in2p3.fr
2http ://fr.wikipedia.org/wiki/Force
3Mot venant du grec \hadros" qui veut dire fort, abondant.
19Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
par un ressort, et dans les forces dites de contact entre solides, comme par exemple les forces de frottement.Vient en¯n l'interaction gravitationnelle
\pesanteur". Elle s'exerce entre des corps massifs quelconques. C'est la moins intense des inter- qui gouverne alors les mouvements des astres. Par contre, au niveau des particules, l'interaction9et d'en donner une
d'une seule et unique interaction, fondamentale celle-lµa.2.2 Charges Electriques, Champ Electrique
10. 46http ://irfu.cea.fr/Sphn/Parity/Histo/index.php
http ://en.wikipedia.org/wiki/Uni¯ed¯eld
theory8http ://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/newtongrav.html
Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
11. Le proton, le muon positif, le pion positif portent la charge
+e. Le neutron et le photon ont une charge nulle, ce qui ne signi¯e pas pour autant qu'ils n'ont Äproportionnelle au produitq1q2des deux charges, 1M2 r M1M2, dans le sens deM1versM2:
FM1=M2=q1q2
4¼²0¡!
u12 r 212(2.1)r12M 1 M 2q 1 q
2FM1M2
du vide, tandis que le facteur 1=(4¼) provient de larationnalisationdes formules qui consiste 13. 1112Voir la biographie de Charles Augustin de Coulomb :
http ://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/coulomb.html.Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
0'136¼109S:I:
(2.2) FM2=M1=¡¡!F
M1=M2(2.3)
D'aprµes la loi de Coulomb, le vecteur
¡!F
que de la valeur de la chargeq1, que nous appelleronscharge source, et de la position relative de M charges de la fa»con suivante.M1 q 1N E(N) P E(P) M 2 E(M 2)H E(H) apparu unChamp Electrique, qui est de nature vectorielle. Au point d'observationM2(¯g 2.2),E(M2) =q1
4¼²0¡!
u12 r 212(2.4) est alors soumise µa la force
F(M2) =q2¡!E(M2) =¡!F
M1=M2(2.5)
De plus, la notion de champ y est aussi indissociable descharges sources. Il en va tout autrementChapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
2.3 Les distributions de charges
individuels des diverses chargesqisur la chargeQ:F(P) =X
i¡! F i(P) =QX i¡! E i(P) (2.6)q1 iq2 qn qq 3 (P)iEPFig.2.3 { Distribution de charges ponctuelles
oµu¡!E
On a donc
E(P) =X
i¡! E i(P) =X iq i4¼²0¡!
ui S iP2 (2.7) avec¡!ui=¡!S
iP =SiP. individuels en ce point. distributions de charges sources, on peut obtenir un champuniforme(ou quasiment uniforme sur m^emes en tout point (champ de vecteurs constant).Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
Md q (P)
dt (P )d E (P,M)½(P) =dq(P)
d¿(P)(2.8) dE(P;M) =dq(P)4¼²0¡!
u PM2=½(P)d¿(P)
4¼²0¡!
PM PM3(2.9)
oµu dans la derniµere expression le vecteur unitaire comme¡!PM PME(M) =Z Z Z
¡!dE(P;M) =Z
V½(P)d¿(P)
4¼²0¡!
PM PM 3 (2.10) d¿(P) =dxdydz(2.11) d¿(P) =½d½dÁdz(2.12) 14Il s'agit ici d'une moyenne
20atomes, et qu'une goutte d'eau de 1 mm de diamµetre contient
environ 2 10Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
d¿(P) =r2sinµdrdµdÁ(2.13)Si l'une des dimensions du volumeVest trµes petite devant les deux autres, celui-ci, trµes mince,
comme une distributionsuper¯ciellede charges sur cette surface.Pd S (P) M d E (P,M) h(P) tres petit dq(P) rapport¾(P) =dq(P)
dS(P)(2.14)¾(P) =h(P)½(P) (2.15)
E(M) =Z Z
¡!dE(P;M) =Z
S¾(P)dS(P)
4¼²0¡!
PM PM 3 (2.16) En¯n, si une autre dimension du volume est elle aussi petite, il s'agira alors d'une sorte de¸(P) =dq(P)
d`(P)(2.17)¸(P) =h(P)h0(P)½(P) (2.18)
Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
E(M) =Z
¡!dE(P;M) =Z
C¸(P)dS(P)
4¼²0¡!
PM PM 3 (2.19) par exemple).rayon tres petitd l(P)Pd E (P,M)
dq(P)M pointPE(M) =q
4¼²0¡!
PM PM 3 PM PM3=¡¡!grad1
PM (2.20) PM=p (x¡xP)2+ (y¡yP)2+ (z¡zP)2 repµere. Il vient @x 1 PM @x 1 p (x¡xP)2+ (y¡yP)2+ (z¡zP)2= (x¡xP) [(x¡xP)2+ (y¡yP)2+ (z¡zP)2]3=2=¡(x¡xP) PM 3V(M) =q
4¼²01
PM + constante (2.21)Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
E(M) =¡¡!gradV(M)
(2.22) aux pointsPiestV(M) =X
iq i4¼²01
P iM+ constanteV(M) =1
4¼²0Z
V½(P)d¿(P)
PM + constante (volumique)V(M) =1
4¼²0Z
S¾(P)dS(P)
PM + constante (surfacique) (2.23)V(M) =1
4¼²0Z
C¸(P)d`(P)
PM de potentielV(A)¡V(B) : ZC¡!E(M)¢¡!dM=V(A)¡V(B) (2.24)
rot¡!E=¡!0(2.25) Cette derniµere circonstance provient du signe \-" dans la relation champ-potentiel. Ce choix Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques2.5 Potentiel Electrique et Energie Electrique haut) : dV=¡dW=Q(2.27) U e(M) =QV(M) (2.28)C'est le travail de la force que devrait exercer un observateur sur la chargeQen contre-balan»cant
jusqu'au pointM. En e®et, on a alors F obs=¡Q¡!E(M) (2.29) d'oµu W obs(M) =¡QZ M M0¡!
E(M):¡!dM=¡Q(V(M0)¡V(M)) =QV(M) =Ue(M) (2.30) M On peut faire ici un parallµele avec l'interaction gravitationnelle d'une massemdans le champ s'exprime quant µa lui en Volt par mµetre (V/m).E(M) =¡!erEr(r) , avecEr(r) =q
4¼²01
r 2 chapitre 1). Il vient div¡!E=1
r 2@r 2Er @r Par suite, dans tout domaine excluant la valeurr= 0, on aChapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
div¡!E= 0 d'intersection (pour simpli¯er) : l'une, §2, entoure complµetement l'autre, §1(¯g 2.7). L'associa-
1S2 V d© =¡!E¢¡!dS=q r 2=q 0d 4¼ oµu d = sinµdµdÁ (2.31)2¼pour le second, d'oµu
Z Z d =Z 0 sinµdµZ 2¼ 0 dÁ= 4¼(2.32) et le °ux total µa traversSest Z Z S d© =q0(2.33)
0si la
16Voir plus loin.
Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
IS¡!E¢¡!dS=QS
0 oµu le symboleGreen-Ostrogradsky, puisque
IS¡!E¢¡!dS=Z Z Z
V div¡!E dV=10Z Z Z
V½(M)dV
Comme cette relation doit ^etre vraie quelle que soit l'extension du volumeV, il vient, en passant div¡!E(M) =½(M)
0 (2.34)Puisque div
¢V+½
0= 0 (2.35)¢V= 0
(2.36) minimum.champ-potentiel (2.22), les lignes de champ de¡!Ene peuvent que diverger µa partir de ce point.
Le °ux sortant du champ µa travers une petite surface entourantMne peut qu'^etre positif, puisque
1719Voir : http ://www.math.unicaen.fr/»reyssat/laplace/
Chapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
au pointM. Si aucune charge ne se trouve enM, le potentiel ne peut donc y avoir de maximum. d© =¡!E(M)¢¡!N(M)dS(M) =14¼²0¡!
u¢¡!N dS r 2=14¼²0dScos®
r 2 oµudans le plan perpendiculaire au vecteur¡!u. Ce plan est aussi le plan tangent enMµa la sphµere
Mdans un repµere d'origineP, on a
d§ =r2sinµdµdÁetd =¡!u¢¡!N dS r2=d§
r2= sinµdµdÁ
dS, ni de sa distancerau pointP, mais plut^ot des angles d'ouverturedµetdÁ(et aussi deµ) N u dSdSa de surfacesdSetd§ construits autour deML'angle solide joue, µa trois dimension, un r^ole similaire µa celui de l'angle µa deux dimensions. En
particulier, l'angle solide total sous lequel depuis le pointPon voit une surface n'entourant pas Si la surface n'entoure pasP, lors de ce balayage le vecteur¡!PMprend la m^eme orientation un contre, si la surface entoure le pointP, le vecteur¡!PMprend la m^eme orientation un nombre que celui sous lequel depuis le pointPon voit tout l'espace environnant. Il est facile de montrer par une charge ponctuelleqa pour expressionChapitre 2. Champ et Potentiel Electrostatiques
S=Z Z¡!E¢¡!dS=q
4¼²0S(2.37)
oµu Sest l'angle solide total sous lequel la surfaceSest vue depuis le pointPoµu se trouve laS, cet angle solide vaut 4¼.
Sest vue depuisPvaut 2¼, c'est-µa-dire l'angle solide sous lequel est vu un demi-espace. On a alors S=Z Z¡!E¢¡!dS=q
2²0(2.38)
SoitAun systµeme \actif" exer»cant une actionAsur un systµeme \test"B. Le principe en question
Pour ce qui nous concerne, le systµeme actif est une distribution de charges dont l'action sera yz P1 P 2qq x Fig.2.9 { Systµeme de deux charges ponctuelles identiques des deux charges : c'est la droiteP1P2. Prenons donc cette direction comme axez0z. Ensuite,