[PDF]

[PDF] CORRECTION de l Interrogation de MATHEMATIQUES

En déduire la nature du quadrilatère ABCD Les coordonnées des vecteurs AB et DC sont égales donc AB = DC , par conséquent le Quelle est la nature du triangle EDB ? EDB est un triangle isocèle en B En effet, CE =

[PDF] TRANSLATION ET VECTEURS - maths et tiques

La longueur d'un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur « vecteur » vient du latin A partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que : DE b) Quel est la nature du quadrilatère BECD ? Justifier

[PDF] Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde Exercice 1 Le plan

2 mai 2012 · 2/ Quelle est la nature exacte du quadrilatère ABCD Justifier Exercice 2 4/ a) Calculer les coordonnées des vecteurs et b) Que peut-on en 

[PDF] Les vecteurs - Labomath

vérifiées pour qu'elle ait lieu 2- Vecteurs et Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme AC (qui concerne des vecteurs) est vraie quels que soient les

[PDF] VECTEURS : exercices - Pierre Lux

1 ) Le triangle DEF est l'image du triangle ABC par une transformation Laquelle? 3 ) Quelle est la nature des quadrilatères OBEC et OCFD ? Justifier

[PDF] VECTEURS : exercices - page 1 http://pierreluxnet Translations et

1 ) Le triangle DEF est l'image du triangle ABC par une transformation Laquelle? vecteur ⃗ AB ? 2 ) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC (le tracer) ?

[PDF] Composantes dun vecteur - Exercices corrigés 2

b)Calculer les coordonnées des vecteurs DC et BC AB En déduire que le quadrilatère ABCD est un rectangle Quelles 6) Quelle est la nature de ABSR ?

[PDF] 5 points ABCD est un quadrilatère quelconque

Construire L'image E du point D par la translation de vecteur −−→ AC 2 Construire Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier Exercice 3:

[PDF] Exercices sur les vecteurs

(2) Quelle est la nature du quadrilatère ABGD ? Exercice 27 Soit ABC un triangle (1) Construire les points I, J et K tels que 

[PDF] évaluation multiplication ce2 ? imprimer

[PDF] multiplication posée cm1

[PDF] evaluation multiplication ce2

[PDF] evaluation multiplication ce2 pdf

[PDF] nature d'un quadrilatère définition

[PDF] évaluation multiplication posée ce2

[PDF] evaluation ce2 multiplication posée ? 1 chiffre

[PDF] evaluation ce2 multiplication posée ? 2 chiffres

[PDF] multiplication posée ce2 exercices ? imprimer

[PDF] position relative d'une courbe et d'une asymptote pdf

[PDF] relation entre adn et chromosome

[PDF] relation homme nature philosophie

[PDF] comment améliorer la sécurité alimentaire en afrique subsaharienne

[PDF] conclusion sur la sécurité alimentaire en afrique subsaharienne

[PDF] la sécurité alimentaire en afrique subsaharienne cap

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

INOTION DE VECTEUR

1PARALLÉLOGRAMME

DÉFINITION

Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu

A B CD OAB C D O parallélogramme aplati

PROPRIÉTÉS

— Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si (AB)//(DC) et (AD)//(BC). — Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.

REMARQUE

Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour

conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme. A B DC Dans le quadrilatèreABCDnous avons (AB)//(CD) etAB=CD, pourtantABCDn"est pas un parallélogramme.

2SENS ET DIRECTION

AB — Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu"elles ont même direction. — Une direction étant indiquée par la donnée d"une droite (AB), il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit deAversB, soit deBversA.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

3TRANSLATION

A M N PQ F1 B R S TU F2

Le glissement qui permet d"obtenir la figureF2à partir de la figureF1peut être décrit de façon précise par

trois caractères : — ladirectiondu glissement est donnée par la droite(AB);

— lesensdu glissement est celui deAversB;

— ladistancedu glissement est égale à la longueur du segment[AB]. On dit que la figureF2est l"image de la figureF1par la translation de vecteur# »AB.

REMARQUE

Les vecteur

# »NSet# »PTsont aussi des vecteurs de la translation de vecteur# »AB, on dit qu"ils sont égaux. On

note alors :# »AB=# »NS=# »PT

DÉFINITION

SoientAetBdeux points du plan.

[AD] et [BC] aient le même milieu. Cette translation est la translation de vecteur# »AB.

Cas général

A CD B O ABDCest un parallélogrammeCas particuler oùA,BetCsont alignésAB CD O

ABDCest un parallélogramme aplati

IIVECTEURS

On le note# »AB.

1ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS

Deux vecteurs sont égaux s"ils sont associés à la même translation.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

DÉFINITION

AB CD A,B,CetDsont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :

# »AB=# »CDsi, et seulement si,Dest l"image du pointCpar la translation de vecteur# »AB.

—# »AB=# »CDsi, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. —# »AB=# »CDsi, et seulement si,ABDCest un parallélogramme.

EXEMPLE:LES TROIS PARALLÉLOGRAMMES

ABCDetABEFsont deux parallélogrammes. Montrons queDCEFest un parallélogramme. A B C D EF —ABCDest un parallélogramme alors,# »AB=# »DC. —ABEFest un parallélogramme alors,# »AB=# »FE.

Par conséquent,

# »DC=# »FEdonc le quadrilatèreDCEFest un parallélogramme.

2REPRÉSENTATION D"UN VECTEUR

Devant des égalités du type# »AB=# »DC=# »FE= ···, on dit que les vecteurs# »AB,# »DC,# »FE, ... sont des

représentants du vecteur#»u:#»u=# »AB=# »DC=# »FE=···

Le vecteur

# »AA=# »BB=···est appelé le vecteur nul, noté#»0.

Soit O un point du plan. Pour tout vecteur#»u, il existe un un pointMunique tel que#»u=# »OM.

#»u # »OM OM

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

Si

#»un"est pas le vecteur nul, les pointsOetMsont distincts. Le vecteur#»uest caractérisé par :

— Sa direction : c"est celle de la droite

(OM).

— Son sens : c"est le sens deOversM.

— Sa norme notée??#»u??: c"est la distanceOM.

IIIADDITION VECTORIELLE

1SOMME DE DEUX VECTEURS

Soit trois pointsA,BetC.

Si on applique la translation de vecteur# »ABsuivie de la translation de vecteur# »BC, on obtient la translation

de vecteur# »AC. Le vecteur# »ACest la somme des vecteurs# »ABet# »BC # »AC=# »AB+# »BC AB C

RELATION DECHASLES

Quels que soient les pointsA,BetCon a :

AB+# »BC=# »AC

RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME

La somme# »OA+# »OBest le vecteur# »OMtel queOAMBest un parallélogramme.

CONSTRUCTION DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS

Relation de Chasles

#»u #»v#»u+#»v ABC

Règle du parallélogramme

#»u #»v#»u+#»v OAB M

PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Quels que soient les vecteurs#»u,#»vet#»w#»u+#»v=#»v+#»u;#»u+#»0=#»0+#»u=#»u;?#»u+#»v?+#»w=#»u+?#»u+#»w?

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 4 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

2DIFFÉRENCE DE DEUX VECTEURS

OPPOSÉ D"UN VECTEUR

L"opposé d"un vecteur#»uest le vecteur noté?-#»u?tel que#»u+?-#»u?=#»0. #»u -#»u

CONSÉQUENCE

L"opposé du vecteur# »ABest le vecteur# »BA:-# »AB=# »BA ?PREUVE

D"après la relation de Chasles :

# »AB+# »BA=# »AA=#»0

DÉFINITION

Étant donné deux vecteurs#»uet#»vla différence#»u-#»vest le vecteur#»u+?-#»v?.

#»u #»v -#»v #»u-#»v #»u-#»v ACB MN Quels que soient les pointsA,BetC,# »BC=# »AC-# »AB

IVMULTIPLICATION D"UN VECTEUR PAR UN RÉEL

1PRODUIT D"UN VECTEUR PAR UN RÉELk

#»u -23 #»u 5 4 #»u

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

DÉFINITION

Soit#»uun vecteur non nul (#»u?=#»0) etkun réel non nul (k?=0). Le produit du vecteur#»upar le réelk, noték#»uest le vecteur caractérisé par : — sa direction :k#»ua la même direction que le vecteur#»u;

Cas oùk>0Cas oùk<0

# »OM=k #»u # »OA= #»u OA M # »OM=k #»u # »OA=#»u OA M — son sens : le vecteurk#»uale même sens que le vecteur#»u;

— sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale

au produit de la norme du vecteur#»upar le réelk??k#»u??=k×??#»u??— son sens : le vecteurk#»uest de sens opposé au sens du vecteur#»u;

— sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale

au produit de la norme du vecteur#»upar l"opposé du réelk k#»u??=-k×??#»u??

Ce qui s"écrit de façon générale

?k#»u??=|k|×??#»u??et se lit :

"la norme du vecteurk#»uest égale au produit de la norme du vecteur#»upar la valeur absolue du réelk»

Lorsque#»u=#»0 ouk=0, on convient quek#»u=#»0 : ainsi, l"égaliték#»u=#»0 ne peut se produire que

lorsque#»u=#»0 ouk=0.

REMARQUE

SoitAetBdeux points distincts, etkun réel donné. Il existe un unique pointMdéfini par la relation# »AM=k# »AB:

—Mest un point de la droite (AB)

—Ma pour abscissekdans le repère (A;B) d"origineA

M?[Ax)

k?0M?[AB]

0?k?1M?[By)

k?1 xA By

2PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Pour tous vecteurs#»uet#»vet pour tous réelsketk?: k?#»u+#»v?=k#»u+k#»v; (k+k?)#»u=k#»u+k?#»u;k#»u=#»0??k=0 ou#»u=#»0

3VECTEURS COLINÉAIRES

DÉFINITION

Deux vecteurs#»uet#»vsont dits colinéaires s"il existe un réelktel que#»u=k#»vou#»v=k#»u

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

REMARQUES

— Comme

#»0=0#»u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. — Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.

4APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

AVEC LES MILIEUX

MILIEU D"UN SEGMENT

Étant donné un segment [AB]. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieuIdu segment

[AB] :

1)# »AI=# »IBou 2)# »I A+# »IB=#»0 ou 3)# »AB=2# »AI.

4) Pour tout pointMdu plan# »MA+# »MB=2# »MI.

?DÉMONSTRATION

1. L"égalité

# »AI=# »IBcaractérise le milieuIdu segment [AB] (conséquence de la définition de l"égalité de

deux vecteurs).

2.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??# »I A=-# »IB??# »I A+# »IB=#»0

3.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??2# »AI=# »AI+# »IB??2# »AI=# »AB

4. SiIest le milieu du segment [AB], alors pour tout pointM

MA+# »MB=?# »MI+# »I A?

+?# »MI+# »IB? =2# »MI+# »I A+# »IB? =#»0=2# »MI

Réciproquement, la propriété

# »MA+# »MB=2# »MIétant vraie pour tout pointMon peut l"appliquer au pointI. Soit :# »I A+# »IB=2#»II=#»0

Ce qui prouve queIest le milieu du segment [AB]

THÉORÈME

SoitABCun triangle,IetJles milieux respectifs de [AB] et [AC] alors# »BC=2#»IJ ?DÉMONSTRATION BC=# »BA+# »AC=2# »I A+2# »AJ=2?# »I A+# »AJ? =2#»IJ

PARALLÉLISME ET ALIGNEMENT

— Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires.

— Trois pointsA,BetCsont alignés si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »ACsont colinéaires.

?DÉMONSTRATION

— Si (AB)//(CD) alors, les vecteurs# »ABet# »CDont la même direction donc ils sont colinéaires.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 7 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

AB D C

Réciproquement si les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires alors, ils ont la même direction donc

(AB)//(CD)

—# »ABet# »ACsont colinéaires signifie donc (AB)//(AC). Deux droites parallèles ayant un point commun

sont confondues.

EXEMPLES

EXEMPLE1 :CONSTRUCTION DE POINTS

Laméthode pourconstruireunpointMdéfiniparuneégalité vectorielle estd"obtenir unerelationdu type:

OM=#»u?

origineconnue???? vecteurconnu

Soit trois points non alignés A, B etC. Construirele point M défini par# »MA-3# »MB=# »AC

— Choisissons par exempleAcomme "origine connue» # »MA-3# »MB=# »AC??# »MA-3?# »MA+# »AB? =# »AC # »MA-3# »MA-3# »AB=# »AC ?? -2# »MA=3# »AB+# »AC # »MA=-3

2# »AB-12# »AC

# »AM=3

2# »AB+12# »AC

— Nous pouvons construire le pointM:

3 2 # »AB 12 # »AC 12 # »AC# »AM ABC M

EXEMPLE2 :PARALLÉLISME,ALIGNEMENT

Montrer que des points sont aligné, ou sont sur des droites parallèles, revient à montrer que des vecteurs

sont colinéaires.

Soit ABC un triangle, I le milieu de[AC], M est le symétrique de B par rapport à C et le point N est tel que# »AN=1

3# »AB . Les points M, I et N sont-ilsalignés?

1 3 # »AB ABC I NM

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 8 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

—Iest le milieu du segment [AC] donc# »AI=1

2# »AC

—Mest le symétrique deBpar rapport àCdoncCest le milieu du segment [BM] d"où# »MC=# »CB.

Exprimons les vecteurs

# »MIet# »INen fonction des vecteurs# »ABet# »AC: # »MI=# »MC+# »CI=# »CB-1

2# »AC=# »CA+# »AB-12# »AC=# »AB-32# »AC

# »IN=# »I A+# »AN=-1

2# »AC+13# »AB

Ainsi,

# »MI=# »AB-3

2# »ACet# »IN=13# »AB-12# »ACd"où# »MI=3# »IN.

Par conséquent, les vecteurs

# »MIet# »INsont colinéaires donc les pointsM,IetNsont alignés.

VCOORDONNÉES

1REPÈRE DU PLAN

On appelle base tout couple??ı,???de vecteurs non colinéaires.

Un repère du plan est un triplet?O;?ı,???où O est un point du plan (appelé origine du repère) et??ı,???une

base.

Oxy?ı?

Repère quelconque

Oxy?ı?

IJ (OI)?(OJ)Repère orthogonal

Oxy?ı?

IJ

Repère orthonormé

(OI)?(OJ) etOI=OJ

2COORDONNÉES D"UN VECTEUR

Le plan est muni d"un repère?O;?ı,???. Soit?uun vecteur.

On appelle coordonnées du vecteur

ules coordonnées du pointM?x;y?dans le repère?O;?ı,???tel que# »OM=?u.

On note indifféremment

u?x;y?ou?u?x y? ıO M x?ı y x ?ıy u

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 9 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

—?x;y?sont les coordonnées du pointMdans le repère?O;?ı,???signifie que# »OM=x?ı+y??.

—?x

y? sont les coordonnées du vecteur ?udans le repère?O;?ı,???signifie que?u=x?ı+y??.

REMARQUE

Les coordonnées d"un vecteur dépendent du choix du repère.

EXEMPLE

ABCDest un parallélogramme de centreO.

— Dans le repère

A;# »AB,# »AC?

A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1),# »AC?11?

et# »BD?-11? ABC D O

— Dans le repère?

O;# »OA,# »OB?

A(1;0),B(0;1),C(-1;0),D(0;-1),# »AC?-2

0? et# »BD?0 -1? ABC D O

PROPRIÉTÉS DES COORDONNÉES

Soit?O;?ı,???un repère du plan,?u?x

y? et ?v?x? y deux vecteurs : ?u=?0 équivaut àx=0 ety=0. ?u=?véquivaut àx=x?ety=y?.

— Le vecteur

u+?va pour coordonnées?x+x? y+y?? — pour tout réelk, le vecteurk?ua pour coordonnées?kxky?

3COORDONNÉES DU VECTEUR# »AB

Soit?O;?ı,???un repère du plan et deux pointsA?xA;yA?etB?xB;yB?.

Les coordonnées du vecteur

# »ABdans le repère?O;?ı,???sont# »AB?xB-xA y B-yA? ıO A

B(xB-xA)?ı

yB-yA???

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 10 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

?DÉMONSTRATION

D"après la relation de Chasles

# »AB=# »AO+# »OB=# »OB-# »OA. Donc les coordonnées du vecteur# »ABsont

# »AB?xB-xA y B-yA?

4COORDONNÉES DU MILIEU D"UN SEGMENT

Soit?O;?ı,???un repère du plan et deux pointsA?xA;yA?etB?xB;yB?. Les coordonnées du milieuI?xI;yI?du segment [AB] sont : x

I=xA+xB

2etyI=yA+yB2

?DÉMONSTRATION Iest le milieu du segment [AB] d"où 2# »OI=# »OA+# »OBsoit# »OI=1 2? # »OA+# »OB?

5CONDITION DE COLINÉARITÉ

Soit?O;?ı,???un repère du plan. Les vecteurs?u?x y? et ?v?x? y sont colinéaires si, et seulement si, xy ?-x?y=0 ?DÉMONSTRATION

— Dans le cas où l"un des deux vecteurs est nul, les vecteurs sont colinéaires et la relationxy?-x?y=0 est

vérifiée carx=y=0 oux?=y?=0. — Dans le cas où les deux vecteurs sont non nuls, dire que uet?vsont colinéaires signifie qu"il existe un réelktel que?v=k?v. Soit?x?=kx y ?=kyce qui équivaut àxy?-x?y=0.

EXEMPLE

Dans la figure ci-dessous,ABCest un triangle,Kest le milieu de [BC],Lest le symétrique du pointApar

rapport àB. Déterminer la position du pointMsur la droite (AC) pour que les pointsK,LetMsoient alignés. ABC M K L

Dans le repère?

A;# »AB,# »AC?

nous avonsA(0;0),B(1;0),C(0;1). — Les coordonnées du pointKmilieu du segment [BC] sontK?1 2;12?

—Lest le symétrique du pointApar rapport àBdonc# »AL=2# »AB. Les coordonnées du pointLsontL(2;0).

—Mest un point de la droite (AC) donc# »AM=y# »ACd"oùMa pour coordonnéesM?0;y?.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 11 sur19

Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

Les pointsK,LetMsont alignés si, et seulement si, les vecteurs# »LKet# »LMsont colinéaires.

Calculons les coordonnées des vecteurs# »LKet# »LM:

LK?xK-xL

y K-yL? soit# »LK(((1 2-2 1

2-0)))

??# »LK((( -3 2 1 2))) et # »LM?xM-xL y M-yL? soit# »LK?0-2 y-0? ??# »LM?-2 y?

Les vecteurs

# »LKet# »LMsont colinéaires pourysolution de l"équation : 3

2×y-(-2)×12=0?? -32×y=-1??y=23

Ainsi,Mest le point de la droite (AC) tel que# »AM=2

3# »AC

6DISTANCE DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ

SoientA?xA;yA?etB?xB;yB?deux pointsdu plan munid"unrepèreorthonormal?O;?ı,???, la distanceAB est donné par AB=? (xB-xA)2+?yB-yA?2 ?DÉMONSTRATION

O?ı?

ABMxB-xAy

B-yA Comme?O;?ı,???est un repère orthonormal, le triangleAMBest un triangle rectangle enM.

D"après le théorème de Pythagore :

quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32