vérifiées pour qu'elle ait lieu 2- Vecteurs et Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme AC (qui concerne des vecteurs) est vraie quels que soient les
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En déduire la nature du quadrilatère ABCD Les coordonnées des vecteurs AB et DC sont égales donc AB = DC , par conséquent le Quelle est la nature du triangle EDB ? EDB est un triangle isocèle en B En effet, CE =
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La longueur d'un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur « vecteur » vient du latin A partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que : DE b) Quel est la nature du quadrilatère BECD ? Justifier
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2 mai 2012 · 2/ Quelle est la nature exacte du quadrilatère ABCD Justifier Exercice 2 4/ a) Calculer les coordonnées des vecteurs et b) Que peut-on en
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1 ) Le triangle DEF est l'image du triangle ABC par une transformation Laquelle? 3 ) Quelle est la nature des quadrilatères OBEC et OCFD ? Justifier
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1 ) Le triangle DEF est l'image du triangle ABC par une transformation Laquelle? vecteur ⃗ AB ? 2 ) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC (le tracer) ?
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b)Calculer les coordonnées des vecteurs DC et BC AB En déduire que le quadrilatère ABCD est un rectangle Quelles 6) Quelle est la nature de ABSR ?
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Construire L'image E du point D par la translation de vecteur −−→ AC 2 Construire Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier Exercice 3:
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(2) Quelle est la nature du quadrilatère ABGD ? Exercice 27 Soit ABC un triangle (1) Construire les points I, J et K tels que
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Vecteurs
Exercice 1
On considère le parallélogrammeABCDreprésenté ci- dessous où les pointsIetJsont les milieux respectifs des segments[AB]et[CD].A BCD IJ Pour chaque question, donner sans justifification un vecteurégal à l"expression proposée :
a. !AD+!IB b. !AI+!CJ c.2!AJ+ 2!CB
Correction 1
a.AD+!IB=!AD+!DJ=!AJ
b.AI+!CJ=!AI+!IA=!0
c.2!AJ+ 2!CB= 2(!AJ+!CB)= 2(!AJ+!JI)
= 2!AI=!ABExercice 2
1.Tracer un triangleABCrectangle enB.
2.Placer le pointTtel que :!AB=!CT.
Quelle est la nature du quadrilatèreABTC?
3.Placer le pointMtel que :!BC=!MT.
Justifier que le quadrilatèreBCTMest un rectangle.Correction 2
2.Puisque
!AB=!CT, le quadrilatèreABTCest un parallé- logramme. 3. Le pointMétant placé tel que!BC=!MT, on en déduit que le quadrilatèreBCTMest un parallélogramme. D"après la question précédente,ABTCest un parallélo- gramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles entre eux.On en déduit :(AB)==(CT)
Le triangleABCétant rectangle enB:(AB)?(BC).
On a :(AB)==(CT);(AB)?(BC).
Si deux droites sont parallèles entre elles et si une troi- sième est parallèle à l"une d"elle alors elle est parallèle à l"autre.On en déduit :(CT)?(BC).
On en déduit que l"angle
ÕBCTest un angle droit.
Si un parallélogramme possède un angle droit alors c"est un rectangle.BCTMest un rectangle.ABC
MTExercice 3
On considère le dessin ci-dessous :ABCD E
FGHI J
KLMN OP
QR S T
Recopier et compléter convenablement les pointillés : a.BM+!KB=!K :::
b.MG+!CD+!IQ=!:::P
c.UM+!:::=!0
d.FL+!:::I=!FN
Correction 3
a.BM+!KB=!KM
b.MG+!CD+!IQ=!MP
c.UM+!MU=!0
d.FL+!GI=!FN
Exercice 4-6 -4 -2 2 4 6I
-4-22 4 J O A B CD EF GH K L M N http://chingatome.fr1.Graphiquement, déterminer les coordonnées des vecteurs
!AB,!CDet!EF.2.a.Donner les coordonnées des pointsG,H,K,L,M etN. b. En déduire, par le calcul, les coordonnées des vecteur !GH,!KLet!MN.Correction 4
1.On a les coordonnées des vecteurs :
!AB(1;5);!CD(6;0;5);!EF(2;2)2.a.Voici les coordonnées des points : G (6;0;5);H(3;3);K(1;5;3) L (3;2;5);M(1;5;1);N(3;2)b.On a les coordonnées de vecteurs :GH(xHxG;yHyG)
(36;30;5)(3;2;5)KL(xLxK;yLyK)
(31;5;2;53)=(4;5;0;5)MN(xNxM;yNyM)
(3(1;5);2(1))=(4;5;1)Exercice 5
A,BetCsont trois points du plan. Reproduiser une figure analogue à celle ci-dessous et compléter-la avec les questions suivantes :A B C 1. Construire le pointMimage deApar la translation de vecteur!BC. 2.Donner un vecteur égal au vecteur
!MA. 3.ConstruireKtel que :!CA+!CB=!CK
4.Justifier l"égalité :
!CB=!AK. 5.Démontrer que :
!MA=!AK.Que peut-on dire pour le pointA?
Correction 5A
B C M K 2.MA=!CB.
4. Le pointKa été construit à partir de la relation :!CK=!CA+!CB !CK!CA=!CB !CK(!CK+!KA)=!CB !KA=!CB !AK=!CB 5.D"après la question
2. et 3. , on a les égalités : !MA=!CB;!CB=!AKOn en déduit l"égalité suivante :
!MA=!AK. On en déduit que le pointAest le milieu du segment [MK].Exercice 6
On munit le plan d"un repère
(O;I;J)orthonormal. 1.On considère les points :
A (5;3);B(17;6);C(3;1)Montrer que les pointsA,BetCsont alignés.
2.On considère les points :
D (5;2);E(3;10);F(3;2);G(3;11) Montrer que les droites(DE)et(FG)sont parallèles.Correction 6
1.On a les coordonnées de vecteurs suivants :
AB(xBxA;yByA)
(175;63)=(12;3)AC(xCxA;yCyA)
(35;13)=(8;2)En remarquant l"égalité :
!AB=2 3 !AC.On en déduit que les vecteurs
!ABet!ACsont colinéaires. Ainsi, les deux droites(AB)et(AC)sont parallèles et possèdentAcomme point commun : on en déduit que ces deux droites sont confondues. Les pointsA,B,Cappartenant à une même droite : ils sont alignés. 2.On a les coordonnées de vecteurs :
DE(xExD;yEyD)
(35;10(2))=(8;12)FG(xGxF;yGyF)
(3(3);11(2))=(6;9) A l"aide des coordonnées de ces vecteurs, on remarque l"égalité vectorielle suivante :!DE=4 3 !FG Cette égalité signifie que ces deux vecteurs sont coli- http://chingatome.fr néaires : on en déduit que les droites(DE)et(FG)sontcolinéaires.Exercice 7
Le plan est muni d"un repère orthonormé. On considère les pointsA(2;5;0;5),B(1;5;2;5)etC(0;5;1).-5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5I -2-12 34J O 1. Placer les pointsA,BetCdans le repère ci-dessous. 2. Déterminer, par le calcul, les coordonnées des vecteurs !ABet!AC. 3.
Placer le pointDtel que :!AD=!AB+!AC
(On fera apparaître les traits de construction) 4. a. Donner les coordonnées du vecteur obtenu par la somme :!AB+!AC. b. En déduire, par le calcul, les coordonnées du pointD.Pour la suite, on admet queD(1;5;1).
5. a.Déterminer les coordonnées du vecteur
!CD. b. En déduire que le quadrilatèreABDCest un parallé- lograme. 6.ABDCest-il un rectangle? Justifier.
7. 3 4 ;4 . Les pointsA,BetEsont-ils ali- gnés?Correction 7
2.Déterminer par le calcul :
AB=(xBxA;yByA)
(1;5(2;5);2;50;5)=(1;5 + 2;5;2) (1;2)AC=(xCxA;yCyA)=(0;5(2;5);10;5)
(0;5 + 2;5;1;5)=(3;1;5) 4. a. D"après les coordonnées de vecteurs obtenues à la question 2. !AB(1;2);!AC(3;1;5) On en déduit les coordonnées du vecteur :!AB+!AC(1 + 3;2 + (1;5))=(4;0;5) b.Le vecteur
!ADa pour coordonnés :!AD(xDxA;yDyA)Par définition du pointD, les coordonnées du vecteur!ADs"exprime également par :!AD(1 + 3;2 + (1;5))=(4;0;5)Par identification des coordonnées du vecteur
!AD, on obtient les deux égalités suivantes : x