30 sept 2009 · 1 Développement décimal des rationnels Théorème 1 1 Soit x = a b ∈ Q Il existe une unique suite (an)
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On voit sur l'exemple choisi que cette suite approche la valeur de a de façon de plus en plus fine par des nombres décimaux Vérifions cela plus en détail en
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En particulier il ne faut pas confondre nombre décimal et développement décimal illimité d'un nombre rationnel ou réel (cf ci-dessous) 2 Développement décimal
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Nombres décimaux, développement décimal d"un rationnel
Renaud Coulangeon
30 septembre 2009
1 Développement décimal des rationnels.
Théorème 1.1.Soit x=ab
2Q. Il existe une unique suite(an)n2Nvérifiant :
1. a 02Z. 2. a n2 f0,,9gpour n1.3. Pour tout n2Non a :
a0+a110
++an10 nxtement positif(on peut même rajouter cette hypothèse dans l"énoncé...). On construit récursive-
ment deux suites(an)n2Net(rn)n2Nde la façon suivante :a0etr0sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne deaparb, autrement dit a=ba0+r0, 0r010rn1=ban+rn, 0rnOn vérifie (récurrence), que pour toutn2N, l"entierrnest le reste de la division euclidienne de
10 naparb, et que le quotient de cette division est l"entierqn:=åni=0ai10ni. Ainsi, on a, pour tout n2N 10 na=b nå i=0a i10ni! +rn, 0rn0rn=10nab nå i=0a i10ni! nce qui équivaut à (1). Clairement, la suite(an)n2Nainsi construite vérifie donc (1), (2) et (3).
suite vérifiant (1), (2) et (3), alors pour toutn2N, l"entierq0n:=åni=0a0i10niest le quotient de la
division euclidienne de 10 naparb, ce qui permet (unicité du quotient de la division euclidienne)de conclure récursivement quea0n=anpour toutn.Le développement décimal d"un rationnel jouit de la propriété remarquable suivante :
Proposition 1.1.Soit x=ab
2Q, avec b>0, de développement décimal x=a0,a1a2. Alors, la suite
(an)n2Nest ultimement périodique, ce qui signifie qu"il existe N1et T1tel que8nN,an+T=an.
De plus, les nombres décimaux sont caractérisés par le fait que leur développement décimal est fini,i.e.
9N2NjnN)an=0.
Preuve.En reprenant les notations de la démonstration précédente, et en constatant qu"il y ab
restes possibles pour la division euclidienne d"un entier parb, on conclut qu"il existe deux entiers distinctssett, mettonss>t, tels quers=rt. Par définition même de la suitern, il suit que r s+k=rt+kpour toutk0, puis queas+k=at+kpour toutk0. La suite(an)n2Nest donc périodique à partir du rangt, et sa période est au plus égale àb.La caractérisation des décimaux par la finitude de leur développement décimal se démontre
de la façon suivante : tout d"abord, six=ab est décimal, il existeN2Ntel que 10nab soit entier pour toutnN. Par conséquent,rnest nul pournN, puisque c"est le reste de la division euclidienne de 10 naparb, etanégalement, pournN+1. Inversement, si le développementdécimal d"un rationnelxvérifie le propriété qu"il existeN2Ntel queansoit nul pour toutnN,
alors on conclut grâce à la relation (1) que 0x a0+a110
++aN10 N <110 n pour toutnN. Ceci n"est possible que six a0+a110
++aN10 N =0, car le membre de droitede l"inégalité ci-dessus peut être rendu arbitrairement petit pournarbitrairement grand (en toute
rigueur, on a besoin du fait queQestarchimédienpour conclure, ce qui se montre facilement avec la définition de la relation d"ordre dansQ...). Ainsix=a0+a110 ++aN10Nest décimal.On peut préciser la proposition précédente en déterminant explicitement les entiersNetTde
la façon suivante : 2Proposition 1.2.Soit x=pq
un rationnelnon décimalavec p et q étrangers. On pose q=2a5bq1, avec q1étranger à10, et l"on noteg:=max(a,b)etn:=l"ordre de10dans le groupe multiplicatif(Z/q1Z),
i.e.le plus petit entier naturel non nul tel que10n1 modq1. On a alors : x=a0,a1aga g+1ag+n, la notationaga g+1ag+nsignifiant que le motifa g+1ag+nse répète à l"infini. Qui plus est,nestle plus petit entier vérifiant cette propriété,i.e.tout entier m tel que le développement de x se termine par
un motif récurrent de longueur m est un multiple den. Si x estdécimal, son développement est fini d"après la proposition précédente. Preuve.Il revient au même de montrer que le développement dexou de 10gxest ultimement périodique (la multiplication par 10 gconsiste à "décaler" la virgule degpositions vers la droite).On se ramène ainsi sans difficulté au cas oùqest étranger à 10,i.e.g=0. Dans ce cas, 10 est
inversible moduloq, et l"on notenson ordre dans(Z/qZ). On doit alors montrer que x=a0,a 1an.On écrit
x=a0,a1an(2) 10 nx=a0a1an,an+1(3)La condition 10
n1 modqimplique que 10nxx=kqpq =kpappartient àZ, ce qui, vu les équations (2) et (3) ci-dessus, implique quea1=an+1,a2=an+2, etc. Inversement, il est clair, en "retournant" le raisonnement précédent, que six=a0,a1am, on doit avoir 10m10
modq, doncndivisem.Exemple :10 est d"ordre 6 dans(Z/7Z), ce qui permet d"affirmera priorique le développement
décimal d"un rationnel de la forme a7 ,aétranger à 7, est périodique de période 6. Par exemple : 227=3,142857142857,37 =0,428571428571, etc. Pour plus de détails sur ces questions, voir par exemple [1], chapitre IX.
2 Est-ce que 0.9999...=1?
La seule réponse valable, eu égard au paragraphe précédent, est : "0.9999...n"est pasle déve-
loppement décimal d"un rationnel! ". En effet, on a la proposition suivante :Proposition 2.1.Soit x=ab
2Q, avec b>0, de développement décimal x=a0,a1a2. Alors, les
termes de la suite(an)n2Nne peuvent pas être tous égaux à9à partir d"un certain rang, autrement dit
8N1,9nNjan6=9. (4)
3 Preuve.Par l"absurde : on suppose qu"il existeNtel que8nN,an=9. Pour toutnN, les inégalites (1) s"écrivent :N1å
i=0a i10i+9nå i=N10ix0<1101N(xN1å
i=0a i10i)10n+N1ce qui est absurde : il n"existe pas de nombre rationnelstrictementpositif qui soit inférieur à
10 n+N1pour toutnNpuisque pournarbitrairement grand 10n+N1est arbitrairement pe-tit (pour être tout à fait rigoureux, il faut utiliser le fait queQestarchimédien, voir plus haut).Attentioncependant,certainsauteursautorisentlesdéveloppementsdécimauxdutype0.9999...
(c"est le cas notamment dans [2]). Ces auteurs énoncent en général une proposition un peu plus
faible que notre Proposition 1.1. précisément, le développement décimala0,a1a2d"un ration-
nelxest seulement assujetti aux inégalités a0+a110
++an10 nxa0+a110 ++an10 n+110 n. (5)unicitédu développement décimal. Certains rationnels ont deux développements décimaux : ce
sont précisément les nombres décimaux, qui ont un développementpropre(qui vérifie (1)) et un
développementimpropre.Exemple :x=14
est un décimal de développement propre 0,25 et de développement impropre0,2499999....
dique vérifiant les propriétés (1) et (2) de la Proposition (1.1) est le développement décimal (éven-
tuellement impropre) d"un rationnel, et même le développement décimalpropred"un rationnel si
l"on suppose en outre que la suite(an)2Nvérifie la condition (4). Si l"on oublie la propriété de
périodicité, on obtient une construction possible du corps des réels, mais c"est une autre histoire...
Références
[1] G. H. Hardy and E. M. Wright,An introduction to the theory of numbers.Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979.[2] D. Perrin,Mathématiques d"école : nombres, mesures et géométrie, Cassini, Paris, 2005.
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