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D´eveloppement d´ecimal d"un nombre r´eel

O. Simon, Universit´e de Rennes I

24 octobre 2006

Pr´erequis

- Les propri´et´es deRcomme ensemble totalement ordonn´e et archim´edien. - La partie enti`ere d"un nombre r´eelx, not´eeE(x). - La d´efinition et les propri´et´es des nombres d´ecimaux.

Rappel

Un nombre d´ecimaldest un nombre rationnel qui s"´ecrita

10no`uaest dansZetndansN. A partir

de l"´ecriture en base 10 de tout entier naturel, on va donnerune notation des nombres d´ecimaux.

Soitd=a

10naveca >0. Dans l"´ecriture `a base 10,a=br10r+...+b110 +b0avecbi? {0,...,9}et

r≥0, ainsi d=br

10n-r+...+b110n-1+b010n

Sir≥n, le nombrebr

10n-r+...+bn10n-nest dansNet vautE(d). On noted0ce nombre entier, et

d

1=bn1,...,dn-1=b1,dn=b0les chiffres donn´es par lesnderniers coefficients de l"´ecriture en base 10,

on d´efinit la notation d´ecimale avec virgule dedpar d=d0,d1d2...dn Sir < n,n=r+k, en consid´erant qued= 0×10n+...+ 0×10r+1? k termes+br10r+...+b110 +b0, on d= 0,0...0? k-1d k+1...dn Pour obtenir l"´ecriture d"un nombre d´ecimal n´egatif,d=a

10naveca <0, on utilise l"´ecriture `a base 10

de-aet la coh´erence des sommes multipli´ees par-1. On remarque que siaest n´egatif,-d0=E(a)+1.

On obtient une ´ecriture de tout nombre d´ecimal d=±d0,d1d2...dn o`ud0?Netd1,...,dnsont des entiers appartenant `a{0,...,9}, cesnnombres correspondent auxn derniers chiffres du nombre±a´ecrit en base 10.

1 Construction et d´efinition pour un nombre r´eel positif

Le but est de construire deux suites adjacentes de nombres d´ecimaux qui convergent vers le nombre

r´eel consid´er´e. Plus pr´ecis´ement,

soitxun nombre r´eel positif, on va construire par r´ecurrence deux suites (un)n?Net (vn)n?Ntelles que,

pour toutn, u 10n

La propri´et´e essentielle utilis´ee est la suivante :Rest totalement ordonn´e et archim´edien.

On a deux fa¸cons de formuler la construction de ces deux suites :

1. par analogie `a la technique de division de deux entiers, on se ram`ene `a l"intervalle [0,10[.

2. avec l"id´ee topologique de d´ecoupage en intervalles deplus en plus petits, de longueur1

10n 1 2

1.1 Par analogie `a la technique de division de deux entiers

Initialisation

. Construction deu0etv0. CommeRest totalement ordonn´e et archim´edien, il existe un et un seul entiera0tel que a

On poseu0=a0etv0=a0+ 1

H´er´edit´e.

On pose l"hypoth`ese de r´ecurrence : on suppose que pour un certain entiern, on a construit deux

nombres d´ecimauxunetvnd´efinis par les entiersa0,a1,...,ano`ua1,...,anappartiennent `a{0,...,9}

tels que u n=a0+a1 on a alorsx=a0+a1 Le nombre 10xn+1est dans [0,10[, donc il existe un unique entieran+1? {0,...,9}tel que x n+1=an+1

On poseun+1=a0+a1

10+...+an10n+an+110n+1etvn+1=a0+a110+...+an10n+an+1+ 110n+1

Conclusion.Pour toutn?N, on sait construire deux nombres d´ecimauxunetvnd´efinis par les entiers

a

0,a1,...,ano`ua1,...,anappartiennent `a{0,...,9}tels que

u n=a0+a1

1.2 Avec l"id´ee topologique de d´ecoupage en intervalles de plus en plus petits

Initialisation

: construction deu0etv0. CommeRest totalement ordonn´e et archim´edien, il existe un et un seul entiera0tel que a

On poseu0=a0etv0=a0+ 1

H´er´edit´e.

On pose l"hypoth`ese de r´ecurrence : on suppose que pour un certain entiern, on a construit deux

nombres d´ecimauxunetvnd´efinis par les entiersa0,a1,...,ano`ua1,...,anappartiennent `a{0,...,9}

tels que u n=a0+a1 On a le d´ecoupage de [un,vn[ en r´eunion disjointe de 10 intervalles de longueur ´egale: [un,vn[=9? k=0[un+k

10n+1,un+k+ 110n+1[

donc il existe un seulk? {0,...9}tel quex?[un+k

10n+1,un+k+ 110n+1[ , soitan+1ce nombre entierk.

On poseun+1=a0+a1

10+...+an10n+an+110n+1etvn+1=a0+a110+...+an10n+an+1+ 110n+1

Conclusion.Pour toutn?N, on sait construire deux nombres d´ecimauxunetvnd´efinis par les entiers

a

0,a1,...,ano`ua1,...,anappartiennent `a{0,...,9}tels que

u n=a0+a1 Proposition 1.1Les deux suites(un)n?Net(vn)n?Nconstruites ci-dessus sont deux suites adjacentes convergeant vers le nombre r´eelxconsid´er´e.

D´efinition 1.2On appelle d´eveloppement d´ecimal d"un nombre r´eelxpositif, la suite des nombres entiers

(an)n?Nconstruite ci-dessus, d´efinissant les deux suites adjacentes. On ax=?∞k=0a k

10ket on note

x=a0,a1...an...

Cette suite est unique, par construction.

Pourn≥1, le chiffreanest appel´e lan`emed´ecimale du r´eelx. 3 Sixest un nombre r´eel n´egatif, on consid`ere (an)n?N, le d´eveloppement d´ecimal de-x, comme-x=?∞k=0a k

10k, on a

x=-∞?k=0a k

10k=∞?k=0-ak10k

On notex=-a0,a1...an....

Proposition 1.3Une suite(an)n?Nd"entiers o`ua1,...,anappartiennent `a{0,...,9}est le d´eveloppement

d´ecimal, ainsi d´efini, d"un nombre r´eel si et seulement sielle n"est pas constante `a "9" `a partir d"un certain

rang.

Ceci signifie qu"´etant donn´e un d´eveloppement d´ecimal (an)n?N, pour toutp?N, il existen > ptel que

a n?= 9. La d´emonstration se fait par l"absurde, en utilisant les intervalles semi-ouverts `a droite.

Proposition 1.4Six=?∞k=0b

k

10ktel qu"il existep?Navecbp?= 9et pour toutn > p,bn= 9alors

a p=bp+ 1et pourn > p, an= 0.

Pour le d´emontrer, on peut utiliser la somme de la s´erie g´eom´etrique de terme g´en´eral1

10n´egale `a

10 9. Exemples :x1= 0,99999.....= 1 ,x2= 12,3334569999999.....= 12,333457

Proposition 1.5Six=a

b,a,bdansZ, pour obtenir le d´eveloppement d´ecimal, on effectue la division deaparb, avec chiffres apr`es la virgule.

Remarque

Dans la construction des suites pr´ec´edentes, on a pour chaquen: 10 donc, 10 nun=E(10nx) ainsi on trouve des expressions deunet devn, non ´evidentes : u n=E(10nx)

10netvn=E(10nx+ 1)10n

2 Applications

QuestionComment obtient-on les d´eveloppement d´ecimal de1

7,⎷2,π...?

Proposition 2.1Caract´erisation des nombres

- Un nombre r´eel est rationnel si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est p´eriodique `a partir

d"un certain rang. - Un nombre rationnel est d´ecimal si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est fini, - Un nombre rationnel est d´ecimal si et seulement si il s"´ecritp qavecq= 2k5l, k,l?N - Six=a b,a,bdansZ, pour obtenir le d´eveloppement d´ecimal, on effectue la division deaparb, avec

chiffres apr`es la virgule. Ayant fait la division euclidienne deaparb, on obtient la partie enti`ere

q 1: a=bq1+r1

10r1=bd1+r2,

et ainsi de suite, la division de 10rkparbdonne lak`emed´ecimale. Comme on a un nombre fini de restes, il existei?=javecri=rj, d"apr`es l"unicit´e de la division euclidiennedi=dj, on voit apparaˆıtre la p´eriodicit´e.

Exemples :9

14= 0,6428571428571..., on a une p´eriode de longueur 6

440

17= 2,35294117647058823529411764705882...., on a une p´eriode de longueur 16, tous les restes

non nuls sont utilis´es.1

17= 0,058823529411761176..., on a une p´eriode de longueur 4, 14 restes sont utilis´es, onar11=

r

15= 2.

- On d´emontrequ"un nombre rationnel est d´ecimal si et seulement si il s"´ecritp qavecq= 2k5l, k,l?N, en utilisant le th´eor`eme de Gauss.

Exercice

: Ecrire sous forme de fraction les nombres rationnels ayantles d´eveloppements d´ecimaux sui- vants : *a= 0,55555...(r´eponse 10a-a= 5, d"o`ua=5 9) *b= 12,123123123...(r´eponse 1000b-b= 12111, d"o`ub=12111

999=4037333)

Proposition 2.2L"ensembleRn"est pas d´enombrable. Pour montrer queRn"est pas d´enombrable, on fait un raisonnement par l"absurde : supposons qu"il y ait une bijectionfdeNsurR, tous les ´el´ements deRsont atteints,R={f(n)|n?N}

Rpeut s"´ecrire comme une suite.

On construit un nombre r´eelxqui n"est pas dans cette suite, en donnant son d´eveloppement d´ecimal :

x=a0,a1a2a3...ai...aveca0entier etaientre 0 et 9, lesai´etant d´efinis ainsi, pouri?N - si lai`emed´ecimale ou la partie enti`ere def(i) est 0 alorsaiest ´egale `a 1

- si lai`emed´ecimale ou la partie enti`ere def(i) est diff´erente de 0 alorsaiest ´egale `a 0.

Ce nombrexn"est ´egal `a aucun desf(n), doncfn"est pas surjective. Cette construction s"appelle proc´ed´e diagonal.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19