On voit sur l'exemple choisi que cette suite approche la valeur de a de façon de plus en plus fine par des nombres décimaux Vérifions cela plus en détail en
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Mais comme nos mains nous offrent dix doigts, c'est le nombre dix qui a été choisi 1 Développement décimal Écriture décimale des nombres entiers positifs
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Montrer que pour tout entier n ≥ 2, ce tableau comporte exactement un nombre de n chiffres III Développement décimal des entiers 1◦ Calculer en moins de 15
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Elle admet donc une limite dans R □ Soit l la limite de la suite pn On dit que l admet un développement décimal illimité donné par la suite (an) et on écrit
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On voit sur l'exemple choisi que cette suite approche la valeur de a de façon de plus en plus fine par des nombres décimaux Vérifions cela plus en détail en
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Elle admet donc une limite dans R □ Soit l la limite de la suite pn On dit que l admet un développement décimal illimité donné par la suite (an) et on écrit
[PDF] Décimaux au CAPES
En particulier il ne faut pas confondre nombre décimal et développement décimal illimité d'un nombre rationnel ou réel (cf ci-dessous) 2 Développement décimal
[PDF] 4 Développement décimal dun réel
Développement décimal d'un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d'y définir la fonction partie entière En utilisant
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30 sept 2009 · 1 Développement décimal des rationnels Théorème 1 1 Soit x = a b ∈ Q Il existe une unique suite (an)
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Université Paris 7 - Denis DiderotAnnée 200/2008
Licence 2MA 3
Compléments sur les séries
1 Le développement décimal d"un nombre réel
1.1 La fonction " partie entière »
Nous partons de la propriété suivante : pour tout réela?Ril existe un unique entier relatif entier relatif contenu dans]- ∞,a]. Définition-On appellepartie entière deal"entier relatif notéE(a)et défini par1.2 Le développement décimal d"un nombre réel
Soita?R, considérons la suite de nombres rationnels u n=E(10n·a)10n,pourn?N.
Par exemple, sia=π, on a :
u 0= 3 u1= 3,1
u2= 3,14
u3= 3,141
etc. On voit sur l"exemple choisi que cette suite approche la valeur deade façon de plus en plus finepar des nombres décimaux. Vérifions cela plus en détail en étudiant les propriétés de la suite
(un)n?N.1.2.1unest croissante
Mais comme le plus grand entier qui est plus petit ou égal à10n+1·aestE(10n+1·a), on en déduit queDivisant par10n+1, on obtient
E(10n·a)
11.2.2unfournit un encadrement deade plus en plus fin
par10n, u10n.(3)
On voit au passage que la suite(un)n?Nest majorée paraet donc, comme elle est croissante, elle converge vers une limite??R. En passant à la limite dans (3), on obtient Mais on a mieux : en utilisant encore (1) (une fois pour10n+1·a, une fois pour10n·a), on a Mais comme les valeurs aux deux extrémités dans cette suite de relations sont desentiers, cela u10n+1.(4)
1.2.3 Une série associée àa
Posonsa0=u0=E(a)et
a n=un-un-1,?n≥1.On voit quea0peut être a priori un entier relatif quelconque, et quean=E(10n·a)-10·E(10n-1·a)
10n= d n10n, oùdnest a priori un entier relatif. Mais les inégalités (2) et (4)entraînent
10n,?n≥1??dn?[[0,9]],?n≥1.
Donc, à partir du rangn= 1, lasuite(an)n?Nest une suitepositiveetmajoréepar la suite?9 10n? n?N.A présent considérons lasérie de terme généralan: cela consiste à associer à la suite(an)n?Nla
suite(sn)n?Ndes sommes partielles s n=a0+a1+···+an=n? j=0a j.Les théorèmes du cours
1nous garantissent que cette série estconvergente, c"est à dire que la
suite des sommes partiellessnconverge (en utilisant notament le fait que la série géométrique
de raison 110est convergente, ce qui entraîne que la série9·?110nest convergente). En fait, il
est immédiat que s n=a0+n? j=1u j-uj-1=un et donc que la limite desnest∞? j=0a j= limn→∞un=a.1Exercice : lesquels?
2Nous en déduisons l"écriture
a=∞?n=0a n=a0+∞?n=1d n10n=a0+d110+d2102+d3103+···
notée dans la vie courante sous la forme du développement décimal a=a0,d1d2d3···. Exercice pour réfléchir :montrer que le cas où?n0?Ntel que?n > n0,dn= 9ne se produit jamais (indication : montrer que si cela était vrai alorsa=a0+??n0-1 j=1d j 10j? +dn0+110n0).2 Produit de deux séries absolument convergentes
Théorème-Soit(an)n?Net(bn)n?Ndeux suites à valeurs dansCet soit(cn)n?Nla suite de terme général c n=a0bn+a1bn-1+···+an-1b1+anb0=? p+q=na pbq,?n?N. Supposons que les séries de terme généralanetbnsontabsolument convergentes,alors la série de terme généralcnest aussi absolument convergente et, de plus n=0c n=? n=0a n?? n=0b n? .(5) Preuve- Nous poseronsA=?∞n=0|an|etB=?∞n=0|bn|et nous considérons les sous-ensembles suivants deN×N: pour toutN?N, -QN= [[1,N]]2 q p 0N 2N N2NΔ
NQ N T NT' N a) Montrons d"abord que la série?∞n=0cnest absolument convergente. Pour toutN?N, N n=0|cn|=N?n=0|? p+q=na pbq|N?n=0?
p+q=n|ap||bq| (p,q)?ΔN|ap||bq| (p,q)?QN|ap||bq| N? p=0|ap|))(( N? q=0|bq|)) 3Et comme|cn| ≥0cela prouve que la série?∞n=0|cn|converge, c"est à dire que la série?∞n=0cn
est absolument convergente. b) Etablissons à présent la relation (5). Noter qu"il s"agitde montrer qu"une certaine limite(?∞n=0cn) est égale à un produit de deux limites. Pour cela, nous choisissonsN?Net évaluons
2N? n=0c n-(( N? p=0a p))(( N? q=0b q)) (p,q)?Δ2Na pbq-? (p,q)?QNa pbq| (p,q)?TNa pbq+? (p,q)?T?Na pbq| (p,q)?TN|ap||bq|+? (p,q)?T?N|ap||bq| 2N? p=N+1|ap|))(( N? q=1|bq|)) N? p=1|ap|))(( 2N? q=N+1|bq|)) p=N+1|ap|)) B+A(( q=N+1|bq|)) Or la dernière quantité tend vers 0 lorsqueN→+∞. On en déduit que limN→+∞2N?
n=0c n= limN→+∞(( N? p=0a p))(( N? q=0b q)) limN→+∞N p=0a p))(( limN→+∞N q=0b q))Noter que, puisquelimN→+∞c2N+1= 0(exercice : le démontrer), on a aussitôtlimN→+∞?2N+1
n=0cn= limN→+∞?2N
n=0cn. On en déduit (5).Exemple :sian=αn
n!etbn=βnn!, oùα,β?C, alors les séries?∞n=0αnn!et?∞n=0βnn!sont absolument convergentes pour toutes les valeurs deαetβ. De plus on calcule quecn=(α+β)n n!.On en déduit que, si on pose
f(x) =∞? n=0x n n!, alorsf(α)f(β) =f(α+β),?(α,β)?C2.3 Un résultat hors programme : le théorème de resommation de
Riemann
Ce résultat dit que, si une série estabsolument convergente, alors l"ordre dans lequel on somme ne change pas le résultat.Théorème-Soit(un)n?Nune suite à valeurs dansC. Supposons que la série?∞n=0unsoit ab-
solument convergente, i.e.?∞n=0|un|<+∞, alors, pour toute bijectionφ:N-→N,?∞n=0uφ(n)
est absolument convergente et limN→∞N
n=0uφ(n)=∞?
n=0u n.(6) Preuve- Observons d"abord que, en posantm=φ(n), on a N m=0|um|<∞, 4ce qui entraîne le fait que?∞n=0uφ(n)est absolument convergente. Prouvons maintenant (6) :
fixonsε >0et choisissonsM?Ntel que?∞m=M+1|um|< ε. Alors, commeφest une bijection il existeN?Ntel que[[0,M]]?φ([[0,N]])(il suffit de prendre pourNle suprémum de l"ensemble finiφ-1([[0,M]])) et donc à partir de la décomposition N n=0uφ(n)=M?
m=0u m+?φ(n),
on obtient m=0u m-N? n=0uφ(n)|=|∞?
m=M+1u m-?φ(n)|
m=M+1|um|< ε, ce qui prouve bien (6).Notons que, dans ce résultat, l"hypothèse que la série est absolument convergente est vraiment
capitale. Le résultat suivant, assez spectaculaire mais plus difficile, prouve en effet que l"addition
des termes dans les séries convergentes mais non absolumentconvergentes n"est pas commutative!4 Un résultat hors programme et difficile
Théorème-Soit(un)n?N?une suite à valeurs dansR. On suppose que la série?∞n=1un estconvergentemaisnon absolument convergente. Alors, pourn"importe quellevaleurλ?R, il existe une bijectionφ:N?-→N?telle que la série?∞n=1uφ(n)soit convergente et telle
que∞? n=1uφ(n)=λ.
Remarque :on a choisi une suite définie surN?=N\{0}pour alléger les notations dans la suite. Preuve- Soitu+n= sup(0,un)etu-n=-inf(0,un)de sorte que?n?N?,un=u+n-u-n,|un|= un+u-netu+n≥0,u-n≥0. Commençons par remarquer que les séries?∞n=1u+net?∞n=1u-ndivergent toutes les deux, puisque si par exemple?∞n=1u+nconvergeait, alors?∞n=1|un|=
2?∞n=1u+n-?∞n=1unconvergerait, ce qui est contradictoire (même raisonnement pour?∞n=1u-n).
L"idée est alors que l"on dispose d"" un réservoir infini de termes positifs » (?u+n) et d"" un
réservoir infini de termes négatifs » (?u-n) et que l"on peut piocher alternativement dans un des
réservoirs. Voyons la mise en oeuvre de cette idée, qui est unpeu délicate à écrire. SoitA={n?N?|un≥0}etB={n?N?|un<0}. On aA∩B=∅etA?B=N?et de plus ces deux ensembles sont infinis dénombrables (à causede? n?Aun=?∞n=1u+n= +∞ et? n?Bun=-?∞n=1u-n=-∞). Soitα:N?-→Aetβ:N?-→Bles uniques bijectionsmonotones croissantes entre les ensembles considérés. Supposons pour fixer les idées queλ >0.