[PDF] [PDF] Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

[PDF] Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions trigonométriques Observons ceci sur  

[PDF] Fonctions trigonométriques - UQAC

des phénomènes vibratoires, on retrouve les fonctions trigonométriques 8 1 DÉFINITIONS ET calcul d'une limite importante Angle Ami د د د د د 94 - 1

[PDF] Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

26 jui 2013 · 1 3 Signe des lignes trigonométriques 3 2 Application aux calculs de limites Théorème 1 : Équations trigonométriques • L'équation cos x 

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Limites remarquable Fonctions trigonométrique lim x→0 sin(x) x = 1 lim x→0 1 − cos(x) x2 = 1 2 lim x→0 arcsin(x) x = 1 lim x→0 tan(x) x = 1 Fonctions 

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4 Fonctions trigonométriques réciproques Propriétés dans l'ensemble des réels e) De la borne sup/inf vers la limite Maîtrise des techniques de calculs

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Exercice 2 Placer sur le cercle trigonométrique les nombres complexes suivants : Z1 = ei0 Calculer sin(x+y), cos(x+y) et tan(x+y) en fonction des sinus, cosinus et de 2 et montrer, en utilisant les théor`emes sur les limites, que lim x→2

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Révisions : fonctions trigonométriques, équations trigonométriques - Dérivées des fonctions trigonométriques ; études de Calculer la limite suivante lim x→ 0 cos(a + x) - cos(a) www deleze name/marcel/sec2/ex-corriges/4s/4s-trigo-cor pdf

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Série d'exercices (limites et formules trigonométriques) niveau 3émetech Exercice n°1 1)f(x)=x Déterminer le domaine de définition de f et calculer la limite de f 

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Généralités : représentations graphiques, calculs et limites I 1 et le nombre de points du cercle trigonométrique nécessaires pour les représenter) : a cos

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DERNIÈRE IMPRESSION LE26 juin 2013 à 15:06

Les fonctions sinus et cosinus

Table des matières

1 Rappels2

1.1 Mesure principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Signe des lignes trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fonctions sinus et cosinus3

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 Périodicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.3 De sinus à cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Étude des fonctions sinus et cosinus4

3.1 Dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Application aux calculs de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 Courbes représentatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Application aux ondes progressives6

4.1 Onde sonore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

PAULMILAN1 TERMINALES

1 RAPPELS

1 Rappels

1.1 Mesure principale

Définition 1 :On appelle mesure principale d"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervalle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :

17π

4et-31π6

kde tours (2π) pour obtenir la mesure principale :

17π

4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2

•-31π6est une mesure trop petite(?-π), il faut donc lui rajouter un certain nombrekde tours (2π) pour obtenir la mesure princimale :

31π

6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3

1.2 Résolution d"équations

Théorème 1 :Équations trigonométriques •L"équation cosx=cosaadmet les solutions suivantes surR: x=a+k2πoux=-a+k2πaveck?Z •L"équation sinx=sinaadmet les solutions suivantes surR: x=a+k2πoux=π-a+k2πaveck?Z Exemple :Résoudre dansRles équations suivantes : a)⎷

2cosx-1=0 b) 2sinx-⎷3=0

On obtient les solutions :x=π

4+k2πoux=-π4+k2πaveck?Z

b) 2sinx-⎷

3=0?sinx=⎷3

2?sinx=sinπ3

On obtient les solutions :

x=π

PAULMILAN2 TERMINALES

1.3 SIGNE DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

1.3 Signe des lignes trigonométriques

Théorème 2 :On a sur]-π;π],

sinx>0?x?]0 ;π[ cosx>0?x??

2;π2?

O0π

2 2π sinx>0 cosx>0

2 Fonctions sinus et cosinus

2.1 Définition

Définition 2 :À tout réelx, on as-

socie un point unique M du cercle unité ou cercle trigonométrique de centre O, dont les coordonnées sont :

M(cosx; sinx)

sinx cosx xM O Définition 3 :On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x?→sinxetx?→cosx

Remarque :?x?R-1?sinx?1 et-1?cosx?1

2.2 Propriétés

2.2.1 Parité

Théorème 3 :D"après les formules de trigonométrie, •La fonction sinus est impaire :?x?Rsin(-x) =-sinx •La fonction cosinus est paire :?x?Rcos(-x) =cosx ConséquenceLa courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l"origine, et la courbe représentative de la fonction cosinus est symé- trique par rapport à l"axe des ordonnées.

PAULMILAN3 TERMINALES

3 ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

2.2.2 Périodicité

Théorème 4 :D"après la définition des lignes trigonométriques dans le cercle, les fonctions sinus et cosinus sont 2πpériodiques :T=2π ?x?Rsin(x+2π) =sinxet cos(x+2π) =cosx ConséquenceOn étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple]-π;π].

2.2.3 De sinus à cosinus

Théorème 5 :D"après les formules de trigonométrie, on a : sin 2-x? =cosxet cos?π2-x? =sinx Exemple :Résoudre dans l"intervalle]-π;π], l"équation suivante : sin x+π 4? =cosx On transforme par exemple le cosinus en sinus, l"équation devientalors : sin? x+π 4? =sin?π2-x? DansR, on trouve les solutions suivantes :?????x+π

4=π2-x+k2π

x+π

4=π-?π2-x?

+k2π??????2x=π

4+k2π

0x=π-π

2-π4+k2π

La deuxième série de solutions étant impossible, on trouve alors dansR x=π

8+kπ

Dans l"intervalle]-π;π], on prendk=-1 etk=0 , soit les solutions x=-7π

8oux=π8

3 Étude des fonctions sinus et cosinus

3.1 Dérivées

Théorème 6 :Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables surR: sinquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6