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Chapitre 24ème
Théorème de PythagoreThéorème de PythagoreThéorème de PythagoreThéorème de Pythagore
I - Vocabulaire :
Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit.Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l"angle droit s"appelle l"hypoténuse. C"est aussi le côté le
plus long.II - Théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l"hypoténuse est égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés.Intérêt du théorème de Pythagore : Il permet de calculer dans un triangle rectangle la longueur d"un
côté lorsqu"on connaît les longueurs des deux autres côtés.Exemples :
1)ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 5 cm et BC = 3 cm. Calculer la valeur
exacte de AC puis une valeur approchée à 0,1 cm près. Faire une figure.Dans le triangle ABC rectangle en B, je peux utiliser le théorème de Pythagore. L"hypoténuse est
[AC].AC² = AB² + BC²
AC² = 5² + 3²
AC² = 25 + 9
AC² = 34
AC =AC·5,8cm c"est la valeur approchée à
0,1 cm près
M. HannonAnnée 2009/10
Chapitre 24ème
approchée d"un nombre positif lorsqu"on connaît son carré.2)BUS est un triangle rectangle en U avec BU = 4 cm et BS = 6 cm. Calculer la valeur exacte
de US puis une valeur approchée à 0,01 cm près. Faire une figure.Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle BUS rectangle en U. L"hypoténuse est [BS].
BS² = BU² + US²
6² = 4² + US²
36 = 16 + US²
US² = 36 - 16
US² = 20
US =US·4,47cmc"est la valeur approchée à
0,01 cm près
III - Contraposée du théorème de Pythagore :Si le carré de la longueur du plus grand côté d"un triangle n"est pas égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n"est pas rectangle.Intérêt de la contraposée du théorème de Pythagore : Elle permet de démontrer qu"un triangle n"est
pas rectangle ou plus généralement que deux droites ne sont pas perpendiculaires. Exemple : Le triangle TIC tel que TI = 5,8 cm , TC = 3 cm et IC = 5 cm est-il rectangle? Dans le triangle TIC, le plus grand côté est [TI].D"une part, TI² = 5,8² = 33,64
D"autre part, TC² + IC² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34 pas rectangle.M. HannonAnnée 2009/10
Chapitre 24ème
IV - Réciproque du théorème de Pythagore (admise) :Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle. L"angle droit est l"angle opposé au
plus grand côté.Intérêt de la réciproque du théorème de Pythagore : Elle permet de démontrer qu"un triangle est
rectangle ou plus généralement que deux droites sont perpendiculaires. Exemple : Le triangle AIB tel que AI = 24 mm, IB = 40 mm et AB = 32 mm est-il rectangle? Dans le triangle AIB, [IB] est le plus grand côté.D"une part, IB² = 40² = 1 600
D"autre part, AI² + AB² = 24² + 32² = 576 + 1 024 = 1 600Ainsi IB² = AI² + AB² donc d"après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AIB est
rectangle en A.