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Ch.1 Rappels Mathématiques:
Calcul des Incertitudes
CUAT-IST 18.10.2010 K.Demmouche (cours 1 Phys1) suite 11 Introduction
Mesurer une grandeur: c´est l´exprimer en nombre, c.à.d chercher combien de fois d´une grandeur de la même espèce choisie commeunité.Exemple: Longueur d´une tableL
L= 5m→5fois le mètre.(1)
On arrive au même résultat en fesant la somme de 5 longueur d´ 1mètre. On définit aussi le
rapport de la longueur par l´unité choisie qui donne un nombre réel 5 = L m.(2) Une grandeur est mesurable si l´on sait définir le rapport, lasomme et égalité.2 Valeur exacte et valeur approchée
La valeur exacte est un concept. Dans la plupart des cas la valeur exacte ne peut être déterminée.
Par ailleurs la valeur mesurée expérimentalement d´une grandeur physiqueAn´est qu´une valeur
approchéede la valeurexacte(vraie). La différence entre ces deux valeursδAdéfinie l´erreur absoluede la mesureδA=Amesure-Avraie=A0-Ae.(3)
Cette erreur est le résultat de plusieurs erreurs de causes diverses:A0-ΔA A0+ ΔAA0A
eErreurs systématiques: résultat de l´emploi d´une méthode déterminée ou d´instrument im-
parfait. Pour éliminer ces erreurs il faut controler les appareils demesure.Erreurs accidentelles
Elles sont comisent par l´opérateur (l´expérimentateur).3 Incertitude absolueL´erreur absolue n´étant aussi pas connue, on doit se contenter d´en chercher une limite superieur
deδA. Cette limite appelée l´Incertitude absolueet notéeΔA: |δA|?ΔA.(4)L´erreur ne peut excéder l´incertitude absolue dans le cas le plus défavorable de la mesure
Exemple: La mesure d´une longueur deux fois donne:209.5mm et210.5mm.(5)
l0= 210mm (6)
Δl= 0.5mm.(7)
Donc209.5mm?l0?210.5mm.(8)
4 Incertitude relative
Elle donne une information sur la précision de la mesure, c´est un nombre sans dimension qui est le rapportrentre l´incertitude absolue et la valeur mesurée: r=ΔA A0(9)Precision=ΔA
A0×100%.(10)
Exemple:
ΔLL0= 2.5×10-3→precision= 2.5par mille.(11)
5 La mesure indirecte
Pour mésurer une résistance Ohmique, on mesure tout d´aborddans un circuit la tensionVaux bornes de la résistance et le courant qui la traverseI.VetIsont mesués doncdirectementet indépendemment: 2I=I0±ΔI(12)
V=V0±ΔV.(13)
La résistanceRest calculée par la loi d´OhmV=RI, mais nous voulons aussi déterminerΔR ! oùR=f(V,I).(14)
Suppososns queu,v,wsont des grandeurs mesurées directement et y=f(u,v,w).(15) et on veut déterminer indirectementy0±Δy. On distigue les deux cas:A- Somme algèbrique
Siyest une somme algèbrique:
y=nu+pv+qw+cavecn,p,q,cconstantes reelles. (16)L´erreur absolue s´écrit
δy=nδu+pδv+qδw(17)
oùcn´apparait pas puisque c´est une constante qui ne subit aucune variation. L´incertitude absolue est la majoration de cette erreur en remplaçant tout lesδparΔet en prenant les constantes en valeur absolue:Δy=|n|Δu+|p|Δv+|q|Δw.(18)
B- Multiplication
Supposons que
y=cunvpwqavecn,p,q,cconstantes reelles. (19)Pour écrireδyon procède à un calcul variationnel, en commençant tout d´abord par calculer la
différentielledy: 3δy=∂y
Ceci donne pour l´incertitude absolue
Δy=∂y
On remplace les dérivées partielles dey, ça donne Si on divise de part et d´autre pary=cunvpwq, on obtient l´erreur relative ΔyOn obtient exactement le même résultat si on utilise la fonction logarithmique et puis la différen-
tielle, par exemple logy= logc+nlogu+plogv+qlogw(25) dlogy=dlogc? =0+ndlogu+pdlogv+qdlogw(26) dy y=nduu+pdvv+qdww,(27) parceque df(x) =∂f ∂xdx=f?dx.(28) Maintenant on obtient la relation de l´incertitude absolueen remplaçant: •Toutes les quantités sans leΔpar leurs valeurs absolues. •Tous les signes-par le signe+ •dparΔ. 4