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Table de transformées de Laplace f (t) F(s) P1 1 ou u(t) 1 s P2 t 1 s2 P3 tn (n entier positif ) n sn+1 P4 e−a t 1 s +a P5 t e−a t 1 (s +a)2 P6 sin(ωt) ω

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14 oct 2016 · On appelle transformée de Laplace de f la fonction de variable réelle ou complexe Si l'on fait tendre h vers 0+ dans cette formule, on obtient :

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On appelle transformée de Laplace l'application définie par : de Laplace est analytique sur le domaine de sommabilité {z ∈ C/Re(z) > s0} et on a la formule :

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12 CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LAPLACE AU SENS DES FONCTIONS D Formule de Bromwich-Wagner Soit G une fonction holomorphe donnée

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30 avr 2003 · La transformée de Laplace est un opérateur linéaire : L(f + g) = L(f) + L(g) l' original est donné par la formule de Heaviside : f(t) = n ∑ i=1

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I Impulsion δ(t) de durée t0 → 0, d'amplitude A et d'intensité I = A t0 e -τp Impulsion unitaire retardée δ(t-τ) 1 p Echelon unitaire u(t) E p Echelon d' amplitude 

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On utilise aussi l'expression F(s) pour décrire la transformée de Laplace : F(s) = L {f (t)} (1 2) 1 Page 2 CHAPITRE 1 LA TRANSFORM ´EE DE LAPLACE Cette 

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Pour les Transformée de Laplace, le signal ne commence son existence qu'à un On prétend que cette formule est gravée sur la tombe de Boltzmann

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Condition nécessaire d'existence de la transformée de Laplace : La formule (1) est valide lorsque Re(p) > α0, où α0 est l'abscisse de convergence, avec 

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Transform´ees de Laplace

des fonctions et des distributions

Cours et exercices

IFIPS-Universit´e de Paris-Sud - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr 2 Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

Chapitre 1Transformation de Laplaceau sens des fonctionsIntroductionD´efinition de la transform´ee de LaplaceCaract´erisation et holomorphiePropri´et´es de la transform´ee de LaplaceComportements asymptotiquesInversion de la transform´ee de LaplaceExercices1.1 Introduction

La transform´ee de Laplace appartient `a la famille tr`es vaste des transform´ees int´egrales, qui ´etablissent une relation entre une fonctionfet sa transform´eeF sous la forme :

F(ω) =?

I

K(ω,t)f(t)dt

Une transform´ee particuli`ere n´ecessite donc la d´efinition du noyauK(ω,t) et de l"intervalle d"int´egrationI. Les transformations les plus utilis´ees sont celles de

Fourier, pour laquelle on a :

I=RetK(ω,t) =e-iωt, ω?R(Fourier),

et celles de Laplace, pour laquelle on a : I=R+etK(ω,t) =e-ωt, ω=ωr+iωi?C(Laplace). Puisqueωest complexe, la tranformation de Laplace peut ˆetre vue comme une g´en´eralisation de la transformation de Fourier, restreinteaux fonctions d´efinies sur 3

4CHAPITRE 1. TRANSFORMATION DE LAPLACE

AU SENS DES FONCTIONS

R +. La restriction `aR+n"est gu`ere contreignante dans les applications r´ealistes o`uf(t) repr´esente un signal physique `a l"instanttqui ne peut exister de toute ´eternit´e. Il est en effet toujours possible de choisir l"instanto`u on d´emarre les mesures comme l"origine des temps. De ce point de vue, l"analysede Fourier est plus adapt´ee `a l"´etude des r´egimes forc´es, tandis que l"analyse de Laplace convient davantage pour l"´etude des r´egimes transitoires. En revanche, il est extrˆemement b´en´efique de passer de la variable r´eelle `a la variable complexe qui rajoute le facteur de convergence e-ωrtdans l"int´egrale, au moins dans une partie du plan complexe. Il en r´esulte qu"ungrand nombre de fonctions admettent une transform´ee de Laplace, ce qui n"est pas le cas des transform´ees de Fourier. Pour peu qu"ils soient lin´eaires, la transform´ee de Laplace est un outil tr`es simple d"emploi pour r´esoudre les probl`emes d"´evolution (´equations diff´erentielles

ou aux d´eriv´ees partielles, ´equations aux diff´erences ouint´egrales ...). Le prin-

cipe g´en´eral d"action de la transform´ee de Laplace sur les op´erateurs d"´evolution

consiste en une r´eduction de l"ordre des op´erateurs. Par transform´ee de Laplace, les ´equations diff´erentielles deviennent des ´equationsalg´ebriques, tandis que les

´equations aux d´eriv´ees partielles se transforment en des ´equations diff´erentielles.

Il en r´esulte une simplification efficace des probl`emes qui permet souvent leur r´esolution analytique.

1.2 D´efinition de la transform´ee de Laplace

D´efinition 1.2.1Soitfune fonction de la variable r´eelle, la trans- form´ee de Laplace def, lorsqu"elle existe, est la fonctionFde la variable complexezd´efinie par l"int´egrale :

F(z)≡?

R +f(t)e-ztdt

Remarques

1. On appellef,l"originaleet sa transform´eeF,l"image.

2. Les notations utilis´ees pour les transform´ees de Laplace sont tr`es vari´ees et

d´ependent du domaine d"application. Afin de souligner sa nature d"´el´ement deC, nous avons not´e la variable ind´ependante parz. Les lettrespetssont

´egalement utilis´ees.

3. On remarquera que les valeurs defpoutt <0 n"interviennent pas dans la

d´efinition. Une fonctionfest ditecausalesif(t) = 0 pourt <0. On peut toujours rendre une fonction causale en la multipliant par lafonction de Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

1.2. D´EFINITION DE LA TRANSFORM´EE DE LAPLACE 5

HeavisideH, ce que nous ferons couramment dans la suite. La transform´ee de Laplace d"une fonction n"existe en g´en´eral que dans une partie du plan complexe. Pozonsz=x+iy, l"existence deF(z) impose que : t?→ |f(t)e-zt|=|f(t)|e-xt?L1(R+) Introduisons d"abord la notion d"abcisse de sommabilit´e.

D´efinition 1.2.2Le nombre r´eel :

x

0≡inf{x?R|t?→f(t)e-xt?L1(R+)}

est appel´e l"abcisse de sommabilit´e def. On peut maintenant donner le th´eor`eme d"existence suivant : Th´eor`eme 1.2.1Sifest une fonction d"abcisse de sommabilit´ex0, alors, la transform´ee de LaplaceFexiste dans le demi-plan ouvert?z > x0.

En effet, posonsz=x+iy,

R +|f(t)|e-xtdt x0.

En cons´equence,Fest born´ee pour?z > x0.

?Exemples

1.Fonction de HeavisideH.

L"abcisse de sommabilit´e estx0= 0, puisquet?→H(t)e-xt?L1(R+) pourx >0. Le calcul de la transform´ee est imm´ediat : f(t) =H(t)L-→F(z) =? R +e -ztdt=1 zpour?z >0.

2.Fonction puissancet?→tn.

Commen¸cons par le cas lin´eaire :t?→te-xt?L1(R+) pourx >0. On effectue le calcul par parties : f(t) =tL-→F(z) =? R +t e-ztdt=1 z? R +1 e-ztdt=1z2pour?z >0.

Puis, par r´ecurrence, pourn?N,

f(t) =tnL-→F(z) =? R +t ne-ztdt=n z? R +t n-1e-ztdt=n!zn+1pour?z >0. Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

6CHAPITRE 1. TRANSFORMATION DE LAPLACE

AU SENS DES FONCTIONS

3.Fonction exponentiellet?→eat.

f(t) =eatL-→F(z) =? R +e ate-ztdt=1 z-apour?z >?a.

4.Fonctiont?→1/⎷

t. t -1/2e-xt≂t-1/2quandt→0 ett-1/2e-xt≂e-xtquandt→+∞, doncF(z) converge pourx=?z >0. f(t) =1 ⎷tL-→F(z) =? R +1⎷te-ztdt=? R e -zu2du=? zpour?z >0,

(la derni`ere ´egalit´e est obtenue en calculant le carr´e de l"int´egrale). Pour le calcul

dez1/2, on choisira la d´etermination principale du logarithme detelle sorte qu"on obtienne le r´esultat usuel sizest r´eel.

1.3 Holomorphie

Commen¸cons par pr´eciser la relation entre la transform´ee de Fourier et la transform´ee de Laplace. Six0est l"abcisse de sommabilit´e def, la fonctiont?→ H(t)f(t)e-xtest sommable surRpourx > x0. La transform´ee de Laplace de fpeut alors s"´ecrire comme une transform´ee de Fourier. En effet, posonsz= x+i2πy:

F(x+i2πy) =?

R +f(t)e-xte-i2πytdt=? R?

H(t)f(t)e-xt?e-i2πytdt

soit encore :

F(x+i2πy) =F?H(t)f(t)e-xt?(y),pourx > x0

o`uFd´esigne la transform´ee de Fourier. Cette remarque facilitera certaines d´emonstrations. Ainsi une transposition directe du r´esultat connu sur les transform´ees de Fou- rier conduit au r´esultat suivant, important dans la pratique, l"´egalit´e des images par TL implique l"´egalit´e des originaux (presque partout 1) :

F(z) =G(z) pour?z > x0,?f(t) =g(t) (p.p.),

o`ux0est la plus grande des 2 abcisses de sommabilit´e des fonctionsfetg.

1C"est-`a-dire `a l"exception d"un ensemble de mesure nulle.

Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

1.4. PROPRI´ET´ES DE LA TRANSFORM´EE DE LAPLACE 7

Concernant les propri´et´es d"holomorphie, on a le r´esultat suivant : Th´eor`eme 1.3.1Soitfune fonction d"abcisse de sommabilit´ex0: - L"abcisse de sommabilit´e de la fonctiont?R+?→(-t)mf(t)estx0. -Fest holomorphe dans le demi-plan?z > x0, et dF m(z) dzm=? R +(-t)mf(t)e-ztdt En effet, les 2 fonctionst?→f(t)e-xtett?→(-t)mf(t)e-xtont le mˆeme comportement `a

l"infini, donc la mˆeme abcisse de sommabilit´e. Il faut justifier la d´erivation sous le signe somme,

ce qui r´esulte de l"in´egalit´e : pour toutz=x+iytel quex > x0. La fonction majorante ´etant int´egrable, on peut permuter

la d´erivation et le signe int´egral, d"o`u le r´esultat.F?(z) est fini en tant que TL : on en d´eduit

donc l"holomorphie deF. ?Exemples

1.1(z+a)2=-ddz?

1z+a?

L←-f(t) =te-at.

2. sintL-→=1

z2+1donc,tsintL-→ -ddz?

1z2+1?

=2z(z2+1)2.

1.4 Propri´et´es de la transform´ee de Laplace

Outre la propri´et´e de lin´earit´e qui d´ecoule de la d´efinition int´egrale de la

transform´ee de Laplace, les propri´et´es de translation, conjugaison et dilatation qui suivent sont obtenues par de simples changements de variables (le v´erifier). ?Lin´earit´e λf(t) +μg(t)L-→λF(z) +μG(z),avecλ,μ?C. ?Translation2

H(t-t0)f(t-t0)L-→e-zt0F(z), t0?R+.

e -atf(t)L-→F(z+a). ?Conjugaison

¯f(t)L-→

F(¯z).

2Les propri´et´es associ´ees `a la translation des variables sont parfois appel´ees " th´eor`emes du

retard ". Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

8CHAPITRE 1. TRANSFORMATION DE LAPLACE

AU SENS DES FONCTIONS

?Dilatation

λ >0, f(λt)L-→1

λF?zλ?

?Exemples

1.Fonctiont?→tneat.

t n n!L-→1zn+1, donctneatn!L-→1(z-a)n+1, et pour finirtneatL-→n!(z-a)n+1.

2.Original de1

z2-2z+5. 1 z2-2z+5=1(z-1)2+4L←-etsin2t2.

3.Fonctiont?→e-atsinat.

e -tsintL-→1 (z+1)2+1, donce-atsinatL-→1a1(z/a+1)2+1=a(z+a)2+a2 ?D´erivation Une des applications importantes de la transformation de Laplace ´etant la r´esolution des ´equations diff´erentielles, le th´eor`eme suivant est capital. Th´eor`eme 1.4.1Soitfune fonction continue surR+, sauf ´eventuellement ent= 0o`ulimt→0+f(t)≡f(0+)existe. On suppose en outre quef?est une fonction continue par morceaux qui admet une transform´ee de Laplace, alors : f ?(t)L-→zF(z)-f(0+),

La d´emonstration se fait par parties.

Ce r´esulat se g´en´eralise ais´ement (par r´ecurrence) pour les d´eriv´ees d"ordres

sup´erieurs : f (n)(t)L-→znF(z)-zn-1f(0+)-zn-2f?(0+)- ··· -f(n-1)(0+). L"apparente complication de la formule vient des sauts possibles `a l"origine et de ses d´eriv´ees. On verra que ces termes sont pris automatiquement en compte dans le cadre des distributions. Notons enfin que l"hypoth`ese de continuit´e pour les (n-1) premi`eres d´eriv´ees pourt?= 0 est obligatoire pour une utilisation correcte de cette formule (cf. exercices). ?Exemple Soit `a r´esoudre l"´equation diff´erentielle y ??(t) +y(t) = cost, y(0) = 1, y?(0) = 0. Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

1.4. PROPRI´ET´ES DE LA TRANSFORM´EE DE LAPLACE 9

La transform´ee de LaplaceY(z) s"´ecrit

Y(z) =z

z2+ 1+z(z2+ 1)2?y(t) =H(t)? cost+t2sint? ?Int´egration Ainsi, prendre la TL d"une d´eriv´ee revient essentiellement `amultiplier parz. On ne sera pas surpris du r´esultat r´eciproque : une division parzcorrespond `a une int´egration de la fonction.

Th´eor`eme 1.4.2Soit?t

0f(t?)dt?la primitive defqui s"annule en0, alors

t 0 f(t?)dt?L-→F(z) z,

Posonsg(t)≡?t

0f(t?)dt?. On a manifestementg?(t) =f(t) etg(0) = 0. On a donc `a la fois

f(t)L-→F(z) etg?(t)L-→zG(z) par application du th´eor`eme pr´ec´edent. L"identifica-

tion de ces 2 r´esultats conduit au th´eor`emeg(t)L-→G(z) =F(z)/z. ?Exemple

Original de1z⎷z

1 z⎷z=1/⎷ z zL←-?t

01⎷πt?dt?= 2?

t ?Convolution Venons en maintenant au propri´et´es li´ees au produit de convolution. On rappelle que le produit de convolutionf ? gde 2 fonctions int´egrablesf etgest d´efini par la relation : (f ? g)(t)≡? R f(t?)g(t-t?)dt? Supposons maintenant quefetgsoient des fonctions causales. On a doncf(t?) =

0 poutt?<0 etg(t-t?) = 0 pourt?> t. Le domaine d"int´egration est donc

restreint `a l"intervalle [0,t] dans le cas de fonctions causales : (f ? g)(t) =t 0 f(t?)g(t-t?)dt?(f et g causales). Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

10CHAPITRE 1. TRANSFORMATION DE LAPLACE

AU SENS DES FONCTIONS

On remarquera quef ? gest elle-mˆeme causale, puisquef(t?) = 0 pourt?<0.

Le th´eor`eme central est le suivant.

Th´eor`eme 1.4.3Soientfetg2 fonctions causales qui admettent des TL, alors (f ? g)(t)L-→F(z).G(z)pour?z > x0, o`ux0est la plus grande des 2 abcisses de sommabilit´es defetg. C"est une cons´equence du th´eor`eme de Fubini. ?Exemples

1.Calcul deH(t)t ? H(t)t2.

t ? t

2L-→1

z2.2z3=2z5L←-2t44!=t412

2.Original de1

(z-1)(z-2). 1 (z-1)(z-2)=1z-1.1z-2L←-et?e2t=?t

0e2(t-u)eudu=e2t-et.

1.5 Comportements asymptotiques

?Comportement `a l"infini On sait d´ej`a que les transform´ees de Laplace sont born´ees etholomorphes pour?z > x0. Montrons en outre que la transform´ee de Laplace tend vers 0 `a l"infini. Th´eor`eme 1.5.1Soitfune fonction d"abcisse de sommabilit´ex0, alors lim |z|→+∞F(z) = 0,pour?z > x0. En effet, posonsz=x0+Reiθ. Prenons d"abord|θ|< π/2, alors lim|z|→+∞|f(t)e-zt|= lim

R→+∞|f(t)|e-x0te-Rcosθt= 0, puisque cosθ >0. On obtient le r´esultat par application du

th´eor`eme de convergence domin´ee. Lorsqueθ=π/2, on exprime la TL comme une TF et on utilise le lemme de Riemann-Lebesgue. ?Th´eor`eme de la valeur finale Comme pour la transform´ee de Fourier, il existe une correspondance entre le comportement d"une fonctionfent= +∞(ou ent= 0), et le comportement Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

1.6. INVERSION DE LA TRANSFORM´EE DE LAPLACE 11

de sa transform´ee de LaplaceFenz= 0 (ou enz= +∞). On le voit empiri- quement `a partir de la d´efinition de la transform´ee de Laplace, o`u l"on constate que l"int´egrandf(t)e-zt→0 lorsquet→+∞, sauf pour les petites valeurs dez, de la valeur finales"´enonce : Th´eor`eme 1.5.2Soitf?L1(R+). Sifa une limitef(+∞)lorsquet?→+∞, alorsFv´erifie : lim |z|→0+z F(z) =f(+∞) min´ee, on a lim |z|→0?? R +f?(t)e-ztdt?=? R +f?(t)dt=f(+∞)-f(0+). Par ailleurs le th´eor`eme sur la TL def?(t) donnez F(z)-f(0+). On obtient donc´egalement lim|z|→0?? R +f?(t)e-ztdt?= lim |z|→0z F(z)-f(0+), d"o`u le r´esultat. ?Th´eor`eme de la valeur initiale Th´eor`eme 1.5.3Soitf?L1(R+). Sifa une limitef(0+)lorsquet?→0, alors

Fv´erifie :

lim |z|→+∞z F(z) =f(0+) f ?(t) a pour TLz F(z)-f(0+). Or toute TL doit tendre vers 0 lorsque|z| →+∞. Donc lim |z|→+∞(z F(z)-f(0+)) = 0, d"o`u le r´esultat. ?Exemples

1.f(t) =H(t),

F(z) = 1/z,f(0+) =f(+∞) = 1,

on a bien lim |z|→∞zF(z) = 1, et lim|z|→0+zF(z) = 1.

2.f(t) = cost,

F(z) =z/(z2+ 1),f(0+) = 1 et on a bien lim|z|→∞zF(z) = 1. Le th´eor`eme de la valeur finale ne peut pas ˆetre utilis´e carf(+∞) n"existe pas.

Un calcul direct montre que lim

|z|→0+zF(z) = 0.

1.6 Inversion de la transform´ee de Laplace

On se pose maintenant le probl`eme de d´eterminer l"originalflorsque la trans- form´ee de LaplaceFest connue. Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

12CHAPITRE 1. TRANSFORMATION DE LAPLACE

AU SENS DES FONCTIONS

?Formule de Bromwich-Wagner SoitGune fonction holomorphe donn´ee. Le th´eor`eme suivant donne des condi- tions suffisantes surGpour que celle-ci soit la transform´ee de Laplace d"une fonction. Th´eor`eme 1.6.1SoitGune fonction de la variable complexe telle que -Gsoit holomorphe dans le demi-plan ouvert?z > x0, -lim|z|→+∞|G(z)|= 0, pour?z > x0, - Pour toutx > x0, la fonctiony?R?→G(x+iy)est sommable surR. SoitBune droite parall`ele `a l"axe imaginaire d"abcissex > x0. Cette droite est appel´ee droite de Bromwich. L"originale de la fonctionG est donn´ee par l"int´egrale : 1

2iπ?

B

G(z)e+ztdz.

Cette formule s"appelle la formule de Bromwich-Wagner. Soitgl"original associ´e `a la fonctionG. Pourxdonn´e tel quex > x0,G(z) peut s"exprimer comme une transform´ee de FourierG(x+i2πy) =F[H(t)g(t)e-xt](y). En utilisant la formule d"inversion de Fourier, on obtient :

H(t)g(t) =e+xt?

R

G(x+i2πy)e+i2πytdy=1

2iπlimy→+∞x+i2πy?

x-i2πyG(z)e+ztdz≡12iπ? B

G(z)e+ztdz.

Remarques

1.G´etant holomorphe pourx > x0, toutes les singularit´es deGsont `a gauche

deB.

2. Par application du th´eor`eme de Cauchy, la droite de Bromwich peut ˆetre

d´eform´ee continument en n"importe quelle courbe pour peuqu"aucune des singularit´es deLne soient franchies. En particulier le r´esultat ne doit pas d´ependre de l"abcissexde la droite de Bromwich.

3. Le fait queG(z)→0 lorsque|z| →+∞est essentiel. L"int´egrale d´efinie

dans le th´eor`eme peut exister sans correspondre pour autant `a l"originale d"une transform´ee de Laplace. Par exemple, l"int´egrale 1

2iπ?

B e +z2e+ztdz=e+xt? R e (x+i2πy)2e+i2πytdy, existe comme transform´ee de Fourier d"une gaussienne, mais ne peut pas ˆetre l"originale d"une transform´ee de Laplace, puisque lim |z|→+∞ez2?= 0. Transform´ees de Laplace - 2008 - raimbault@lptp.polytechnique.fr

1.6. INVERSION DE LA TRANSFORM´EE DE LAPLACE 13

?Exemples

1.G(z) = 1/zn(n?N?).

Gest holomorphe dansC?, tend vers 0 lorsqueztend vers l"infini, et on a bieny?→1/|zn|= 1/(x2+ 4π2y2)n/2?L1(R) pourn >1. Pour ´evaluer l"int´egrale `a calculer, soit : 1

2iπ?

Be +ztzndz, on utilise les contours dits de Bromwich repr´esent´es sur la figure 1.1. Pour tt

Fig.1.1 - Contours de Bromwich.

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