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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie?

17 novembre 2016

EXERCICE1 Communà tous les candidats 4 points

On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle[0 ;+∞[parf(x)=xe-x-0,1.

1.D"après le cours, on sait que limx→+∞e

x x=+∞; donc limx→+∞xe-x=limx→+∞xex=0 et donc lim x→+∞f(x)=-0,1.

2.La fonctionfest dérivable sur[0 ;+∞[etf?(x)=1×e-x+x×(-1)e-x-0=(1-x)e-x.

Pour toutx, e-x>0 doncf?(x) est du signe de 1-xsur[0 ;+∞[. f(0)=-0,1;f(1)=e-1-0,1≈0,27>0

On construit le tableau de variations def:

x0 1+∞

1-x+++0---

f?(x)+++0--- e-1-0,1 f(x) -0,1-0,1

3.f(0)=-0,1<0 etf(1)≈0,27>0; on complète le tableau de variations

x0 1+∞ e-1-0,1 f(x) -0,1-0,1 0α D"après le tableau de variations, l"équationf(x)=0 admet une unique solution sur l"inter- valle[0; 1]. On admet l"existence du nombre réel strictement positifβtel queα<βetf(β)=0.

On noteCla courbe représentative de la fonctionfsur l"intervalle[α;β]dans un repère ortho-

gonal etC?la courbe symétrique deCpar rapport à l"axe des abscisses. Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral enforme de flamme de bougie sur le- quel seront plantées des tulipes.

4.SoitFla fonction définie sur l"intervalle[α;β]parF(x)=-(x+1)e-x-0,1x.

La fonctionFest dérivable sur[α;β]et

F Donc la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur[α;β].

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

-0,1 -0,20,1

0,20,30 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,000,10,20,3

xy C C?

5.La fonctionfest positive sur[α;β]donc l"aire du domaine compris entre la courbeC,

l"axe des abscisses et les deux droites d"équationsx=αetx=βest? f(x)dx. Pour des raisons de symétrie, l"aire du domaine compris entre les courbesCetC?estA= 2? f(x)dx.

A=2×?

F(β)-F(α)?

≈2×?

F(3,577)-F(0,112)?

≈1,04 L"aire du domaine compris entre les deux courbes est approximativement de 1,04 unité d"aire.

6.L"unité sur chaque axe représente 5 mètres, donc une unité d"aire est égale à 25 m2.

L"aire dudomaine entreles deux courbesest doncapproximativement de1,04×25=26 m2. On peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré donc sur26 m2on en disposera 26×

36=936 plants de tulipes.

EXERCICE2 Communà tous les candidats 4 points

La société "Bonne Mamie» utilise une machine pour remplir à la chaà®ne des pots de confiture.

qu"il contient, exprimée en grammes. Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet queXsuit une loi normale de moyenneμ=125 et d"écart-typeσ.

1. a.La fonction de Gauss est symétrique par rapport à la droite d"équationx=μc"est-à-

direx=125. On a donc, pour tout réeltpositif,P(X?125-t)=P(X?125+t). b.On sait que 2,3% des pots de confiture contiennent moins de 121grammes de confi- ture, doncP(X<121)=0,023.

P(121?X?129)=P?

(X<121)?(X>129)? =1-P(X<121)-P(X>129) =1-P(X?121)-P(X?129) les évènements (X?121) et (X?129) étant incompatibles.

129); on en déduit :P(121?X?129)=1-2P(X?125-4)=1-2P(X?121)=

1-0,046=0,954.

Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna217 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On cherche une valeur arrondie à l"unité près deσtelle queP(123?X?127)=0,68.

On se ramène à la loi normale centrée réduite deXen posantZ=X-125

123?X?127??123-125?X-125?127-125??-2

σ?X-125σ?2σ

On a alors :P(123?X?127)=0,68??P?

-2

σ?Z?2σ?

=0,68. à?la calculatrice, on trouve l"intervalle centré en 0 correspondant soit2

σ≈0,994. à?l"unité

près, on prendra doncσ≈2

0,994≈2 (ce qui est la valeur deσsupposée juste après dans

l"énoncé!).

3.On estime qu"un pot de confiture est conforme lorsque la massede confiture qu"il contient

est comprise entre 120 et 130 grammes. a.À la calculatrice, la probabilité qu"un pot soit conforme correspond àP(120?X?

130)≈0,9876.

b.Laprobabilité qu"un potne soit pasconforme parmiceux qui ontune masse deconfi- ture inférieure à 130 grammes correspond à P (X?130)?

120?X?130?=P?(120?X?130)∩(X?130)?

P(X?130)

P(X?120)

P(X?130)≈0,006210,992379

≈6,1×10-3.

4.Comme 900?30, 900×0,988?5 et 900×(1-0,988)?5, les conditions d"application du

théorème de Moivre-Laplace sont vérifiées et un intervalle de fluctuation au seuil de 95%

est : I 95%=?
p-1,96? p(1-p) n;p+1,96? p(1-p) n?

0,988-1,96?

0,988(1-0,988)

900; 0,988+1,96?

0,988(1-0,988)

900?
[0,980; 0,996].

Commefobs=871

900≈0,968?I95%, on rejette l"hypothèse "La machine est bien réglée» au

seuil des 95%.

EXERCICE3 Communà tous les candidats 4 points

On se place dans le plan complexe rapporté au repère

O ;-→u,-→v?

Soitfla transformation qui à tout nombre complexeznon nul associe le nombre complexef(z) défini par :f(z)=z+1 z. On noteMle point d"affixezetM?le point d"affixef(z).

1.On appelle A le point d"affixea=-?

2 2+i? 2 2. Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna317 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

a.|a|2=? -?2 2? 2 2 2? 2 =12+12=1; donc|a|=1

Onchercheleréelαtelque?

?cosα= -? 2 2 sinα=? 2

2Doncα=3π

4+k2πaveckentier relatif

La forme exponentielle deaest e3π

4i. b.On sait que, pour tout complexez,z z=|z|2doncaa=|a|2=1. f(a)=a+1 a=a+ a aa=a+a=-?2 2+i? 2 2+? 2 2-i? 2 2? 2 2+i? 2 2-? 2 2-i? 2 2= 2

La forme algébrique def(a) est-?

2.On résout, dans l"ensemble des nombres complexes non nuls, l"équationf(z)=1 :

f(z)=1??z+1 z=1??z2+1z=zz??z2-z+1z=0??z2-z+1=0 Δ=1-4= -3 donc l"équation admet deux solutions conjuguéesz1=1 2+i? 3

2etz2=12-

i? 3 2.

3.SoitMun point d"affixezdu cercleCde centre O et de rayon 1.

a.Le nombre complexezs"écrit sous forme exponentielle :|z|eiθ. Le pointM(z) est sur le cercle de centre O et de rayon 1 donc OM=1 ce qui veut dire que|z|=1.

Donczpeut s"écrire sous la forme eiθ.

b.f(z)=z+1 z=eiθ+1eiθ=eiθ+e-iθ

Les deux nombres complexes e

iθet e-iθsont deux nombres complexes conjugués donc leur somme est un réel (le double de leur partie réelle).

Doncf(z) est un réel.

4.On chercheM(z) tel quef(z) soit réel.

Posonsz=x+iy:

f(z)=z+1 x?x2+y2+1? x2+y2+iy?x2+y2-1?x2+y2 f(z) est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, autrement dit siy?x2+y2-1?=0.

Ce qui signifie que soity=0 soitx2+y2-1=0.

•y=0 veut dire que la partie réelle dezest nulle donc que le pointMse trouve sur l"axe des abs- cisses. Mais il ne faut pas oublier de retirer l"ori- gine O du repère carzdoit être non nul. •x2+y2-1=0??x2+y2=1 est l"équation du cercle de centre O et de rayon 1.

L"ensemble des pointsMd"affixeztels quef(z) soit

réel est la réunion de l"axe des abscisses privé du point

O, et du cercle de centre O et de rayon 1.

xy O Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna417 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE4 Communà tous les candidats 3 points

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On définit les points I et J respectivement par -→HI=3

4--→HG et-→JG=14--→CG.

1.On trace la section du cube par le plan (IJK) :

FE H G D C BA? II JJ KK

2.On trace la section du cube par le plan (IJL) :

E H GF B D C A? II JJ? LL

×MM

3.On cherche s"il existe un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP)

soit un triangle équilatéral. On regarde la configuration de la question précédente et on sedemande s"il n"y a pas une position dupoint L sur la droite(BF)telle que les points B, Fet L soient danscet ordre,pour laquelle le triangle IJM serait équilatéral.

Soit K le point de [GF] tel que--→GK=1

4--→GF.

Les trois triangles GIJ, GJK et GIK sont superposables donc IJ=JK=KJ; le triangle IJK est donc équilatéral. Soit P le point d"intersection des droites (JK) et (BF). Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna517 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

D"après le théorème de Thalès dans les triangles KGJ et KFP, on aFPGJ=KFKG.

Par construction du point K, on a

KF KG=3 et on sait que, si on appelleala longueur d"une arête du cube, GJ=a

4; on en déduit que FP=3a4.

Le point P tel que le triangle IJK est équilatéral, est défini par la relation vectorielle-→FP=

4-→BF.

C BF G JKP E H GF B D CA? II JJ? PP

×KK

EXERCICE5 Candidats n"ayant pas suivil"enseignementde spécialité5 points

Un apiculteur étudie l"évolution de sa population d"abeilles. Au début de son étude, il évalue à

10000 le nombre de ses abeilles.

Chaque année, l"apiculteur observe qu"il perd 20% des abeilles de l"année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On noteracce nombre ex- primé en dizaines de milliers. On noteu0le nombre d"abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l"étude. Pour tout entier naturelnnon nul,undésigne le nombre d"abeilles, en dizaines de milliers, au bout de lan-ième année. Ainsi, on au0=1 et, pour tout entier natureln,un+1=0,8un+c.

PartieA

1.On calcule, à la calculatrice,unpour les premières valeurs den(valeurs deunarrondies) :

n012345678... un11,82,442,953,363,693,954,164,33... Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna617 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

n...202122232425262728 La suite(un)semble croissante et semble converger vers le nombre 5.

2.SoitPnla propriétéun=5-4×0,8n.

•InitialisationPourn=0,u0=1 et 5-4×0,80=5-4=1. Donc la propriétéP0est vérifiée. •HéréditéSoitnun entier naturel quelconque. Onsuppose quelapropriété estvraie pour lerangnc"est-à-direun=5-4×0,8n(c"est l"hypothèse de récurrence), et on veut démontrer qu"elle est encore vraie pour le rang n+1. u n+1=0,8un+1. Or, d"après l"hypothèse de récurrenceun=5-4×0,8n; donc : u

Donc la propriété est vraie au rangn+1.

On a démontré que, pour tout entier natureln,Pn=?Pn+1. La propriétéPnest donc héréditaire pour toutn. •ConclusionLa propriété est vraie pourn=0.

Elle est héréditaire à partir du rang 0.

Donc, d"après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel n. On a donc démontré que, pour tout entier natureln,un=5-4×0,8n. =4×0,8n×0,2>0 Pour toutn, on a démontré queun+1>undonc la suite (un) est croissante. •-1<0,8<1 donc la suite géométrique (0,8n) de raison 0,8 converge vers 0. lim

Donc la suite (un) est convergente vers 5.

On peut donc dire que si l"apiculteur rachète chaque année 10000 abeilles, le nombre d"abeilles va augmenter chaque année et va tendre vers 50000.

PartieB

L"apiculteur souhaite que le nombre d"abeilles tende vers 100000. On cherche à déterminer la valeur decqui permet d"atteindre cet objectif.

Ondéfinitlasuite

•v0=u0-5c=1-5c

La suite

(vn)est donc géométrique de raisonq=0,8 et de premier termev0=1-5c.

2.La suite(vn)est géométrique de raisonq=0,8 et de premier termev0=1-5cdonc, pour

toutn, v n=v0×qn=(1-5c)0,8n. Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna717 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.La suite (vn) est géométrique de raison 0,8; or-1<0,8<1 donc la suite (vn) est conver-

gente et a pour limite 0. Pour toutn,un=vn+5cdonc la suite(un)est convergente et a pour limite 5c. L"apiculteur veut que le nombre d"abeilles tende vers 100000; il faut donc que 5c=10, autrement dit quec=2. Pour que le nombre d"abeilles tende vers 100000, il faut que l"apiculteur rachète chaque année 20000 abeilles. EXERCICE5 Candidats ayant suivi l"enseignementde spécialité 5 points On observe la taille d"une colonie de fourmis tous les jours. Pour tout entier naturelnnon nul, on noteunle nombre de fourmis, exprimé en milliers dans cette population au bout dun-ième jour. Au début de l"étude la colonie compte 5000 fourmis et au bout d"un jour elle compte 5100 four- mis. Ainsi, on au0=5 etu1=5,1. On suppose que l"accroissement de la taille de la colonie d"un jour sur l"autre diminue de 10% chaque jour. En d"autres termes. pour tout entier natureln,un+2-un+1=0,9(un+1-un).

1.D"après le texte,u2-u1=0,9(u1-u0)donc

2.Pour tout entier natureln, on poseVn=?un+1

u n? etA=?1,9-0,9 1 0? 0,9un

On a :?un+2=1,9un+1-0,9un

u n+1=un+1+0×un, système qui s"écrit sous la forme matri- cielle : un+2 u n+1? =?1,9-0.9 1 0?? un+1 u n? ??Vn+1=AVn, avecA=?1,9-0.9 1 0? On admet alors que, pour tout entier natureln,Vn=AnV0. b.On poseP=?0,9 1 1 1? . On admet que la matricePest inversible. Avec la calculatrice, on trouveP-1=?-10 10 10-9? P -1A=?-10 10

10-9??

1,9-0,9

1 0?

10×1,9-9×1 10×(-0,9)-9×0?

=?-9 9 10-9? P -1AP=?-9 9

10-9??

0,9 1 1 1? =?-9×0,9+9×1-9×1+9×1

10×0,9-9×1 10×1-9×1?

=?0,9 0 0 1?

DoncD=?0,9 0

0 1? c.SoitPnla propriétéAn=PDnP-1. •InitialisationOn appelleI2la matrice identité d"ordre 2 :I2=?1 00 1? A

0=I2etD0=I2doncPD0P-1=PI2P-1=PP-1=I2

Donc la propriétéP0est vérifiée.

Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna817 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

•HéréditéSoitnunentier naturel quelconque; supposons que la propriétéest vraie aurang

n, c"est-à -dire queAn=PDnP-1(hypothèse de récurrence). On veut démontrer que la propriété est vraie au rangn+1. A

La propriété est donc vraie au rangn+1.

On a démontré que, pour toutn,Pn=?Pn+1.

La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0.

•ConclusionLa propriété est vraie au rang 0; elle est héréditaire à partir du rang 0, donc,

d"après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier natureln. On a donc démontré que, pour tout entier natureln,An=PDnP-1. Pour tout entier natureln, on admet queAn=?-10×0,9n+1+10 10×0,9n+1-9 -10×0,9n+10 10×0,9n-9? d.Pour tout entiern, on aVn=AnV0c"est-à -dire?un+1 u n? =An?u1 u 0? D"où :un=?-10×0,9n+10?×u1+?10×0,9n-9?×u0 =-52×0,9n+51+50×0,9n-45 =6-0,9n

3.La taille de la colonie au bout du 10ejour estu10=6-0,910≈5,651.

Au bout du dixième jour, il y aura donc environ 5651 fourmis.

4.Comme 0<0,9<1, limn→+∞0,9n=0.

D"après les théorèmes sur les sommes de limite de suites, la suite (un) converge donc vers 6. Le nombre de fourmis dans la colonie tendra 6000 individus. Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna917 novembre2016quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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A. P. M. E. P.

17 novembre 2016

EXERCICE1 Communà tous les candidats 4 points

1.D"après le cours, on sait que limx→+∞e

2.La fonctionfest dérivable sur[0 ;+∞[etf?(x)=1×e-x+x×(-1)e-x-0=(1-x)e-x.

On construit le tableau de variations def:

1-x+++0---

3.f(0)=-0,1<0 etf(1)≈0,27>0; on complète le tableau de variations

4.SoitFla fonction définie sur l"intervalle[α;β]parF(x)=-(x+1)e-x-0,1x.

La fonctionFest dérivable sur[α;β]et

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

0,20,30 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,000,10,20,3

5.La fonctionfest positive sur[α;β]donc l"aire du domaine compris entre la courbeC,

A=2×?

F(β)-F(α)?

F(3,577)-F(0,112)?

6.L"unité sur chaque axe représente 5 mètres, donc une unité d"aire est égale à 25 m2.

36=936 plants de tulipes.

EXERCICE2 Communà tous les candidats 4 points

1. a.La fonction de Gauss est symétrique par rapport à la droite d"équationx=μc"est-à-

P(121?X?129)=P?

129); on en déduit :P(121?X?129)=1-2P(X?125-4)=1-2P(X?121)=

1-0,046=0,954.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On cherche une valeur arrondie à l"unité près deσtelle queP(123?X?127)=0,68.

123?X?127??123-125?X-125?127-125??-2

σ?X-125σ?2σ

On a alors :P(123?X?127)=0,68??P?

σ?Z?2σ?

σ≈0,994. à?l"unité

0,994≈2 (ce qui est la valeur deσsupposée juste après dans

3.On estime qu"un pot de confiture est conforme lorsque la massede confiture qu"il contient

130)≈0,9876.

120?X?130?=P?(120?X?130)∩(X?130)?

P(X?130)

P(X?120)

P(X?130)≈0,006210,992379

4.Comme 900?30, 900×0,988?5 et 900×(1-0,988)?5, les conditions d"application du

0,988-1,96?

0,988(1-0,988)

900; 0,988+1,96?

0,988(1-0,988)

Commefobs=871

900≈0,968?I95%, on rejette l"hypothèse "La machine est bien réglée» au

EXERCICE3 Communà tous les candidats 4 points

O ;-→u,-→v?

1.On appelle A le point d"affixea=-?

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Onchercheleréelαtelque?

2Doncα=3π

4+k2πaveckentier relatif

La forme exponentielle deaest e3π

La forme algébrique def(a) est-?

2.On résout, dans l"ensemble des nombres complexes non nuls, l"équationf(z)=1 :

2etz2=12-

3.SoitMun point d"affixezdu cercleCde centre O et de rayon 1.

Donczpeut s"écrire sous la forme eiθ.

Les deux nombres complexes e

Doncf(z) est un réel.

4.On chercheM(z) tel quef(z) soit réel.

Posonsz=x+iy:

Ce qui signifie que soity=0 soitx2+y2-1=0.

L"ensemble des pointsMd"affixeztels quef(z) soit

O, et du cercle de centre O et de rayon 1.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE4 Communà tous les candidats 3 points

4--→HG et-→JG=14--→CG.

1.On trace la section du cube par le plan (IJK) :

2.On trace la section du cube par le plan (IJL) :

×MM

3.On cherche s"il existe un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP)

Soit K le point de [GF] tel que--→GK=1

4--→GF.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Par construction du point K, on a

4; on en déduit que FP=3a4.

4-→BF.

×KK