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Exercice 5 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 pointsUn apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à 10000 le nombre
de ses abeilles. Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20 % des abeilles de l'année précédente.Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera c ce nombre exprimé en dizaines
de milliers.On note u0 le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude.
Pour tout entier naturel n non nul, un désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la nièmeannée. Ainsi , on a :
u0=1 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,8un+c.Partie A
On suppose dans partie seulement que c=1.
1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite (un).
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un=5-4×0,8n.
3. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1, en justifiant votre réponse.
Interpréter ces deux résultats.
Partie B
L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers 100 000. On cherche à déterminer la valeur de c qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite (vn) par, pour tout entier naturel n, vn=un-5c.1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. En déduire une expression du terme général de la suite (vn) en fonction de n.
3. Déterminer la valeur de c pour que l'apiculteur atteigne son objectif.
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CORRECTION
Partie A
On suppose dans cette partie seulement que c=1 donc u0=1 et pour tout entir naturel n :un+1=0,8un+1.
1. On calcule les premiers termes de la suite (un) en utilisant la calculatrice.
u0=1 ; u1=1,8 ; u2=2,44 ; u3=2,952 ; u4=3,3616 . . . .On conjecture que la suite est croissante.
0<0,8<1 Donc la suite (un) est convergente.
Pour conjecturer la valeur de la limite, on continue de calculer les valeurs des termes successifs de la suite
(un) à 10-4 près. u5=3,6893 ; u6=3,9514 . . . . u10=4,5705 ; u11=4,6564 . . . . u20=4,9539 ; u21=4,9631 . . . . u30=4,9950 ; u31=4,9960 . . . . u36=4,9987 : u37=4,9990 ; u38=4,9992 . . . .On peut conjecturer que la suite converge vers 5.
2. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n :
un=5-4×0,8n. . InitialisationPour n=0 u0=1 et 5-4×0,80=5-4=1
La propriété est vérifiée pour n=0
. HéréditéPour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose
un=5-4×0,8n et on doit démontrer que un+1=5-4×0,8n+1. Or un+1=0,8un+1=0,8×(5-4×0,8n)+1=4-4×0,8n+1+1=5-4×0,8n+1 . Conclusion Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, un=5-4×0,8n.3. Pour tout entier naturel n :
Donc (un) est une suite strictement croissante.
0<0,8<1 donc limn→+∞0,8n
= 0 et limn→+∞un= 5.Le nombre des abeilles augmentera tous les ans et dans un avenir " très lointain » ce nombre sera
voisin de 5 (dizaines de milliers) soit 50 000.