[PDF] [PDF] SADIK Omar CPGE FES Corrigé du concours Mines ponts 2015 A
SADIK Omar CPGE FES Corrigé du concours Mines ponts 2015 A Opérateur de Volterra 1) On a V (f ) = f et V ∗(f ) = −f Par intégration par parties < V (f ),g >
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE) MINES DE SAINT– ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE CONCOURS D' ADMISSION 2015 CORRIGÉ DE LA SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Fili` ere MP
SADIK Omar CPGE FES Corrigé du concours Mines ponts 2015
A. Opérateur de Volterra
1)On aV(f)?=fetV?(f)?=-f
Par intégration par parties
= -[V(f)V?(g)]π/20+?
π/2
0 f(t)V?(g)(t)dt=. car
V(f)(0)=V?(g)(π/2)=0.
obtient : V(g)>. DoncV?◦Vest un endomorphisme symétrique. suppose que=0, alorsV(f) est nulle, doncV(f)?=f=0, alorsV?◦Vest défini positif. Soitλune valeur propre deV?◦Vqui existe car elle est symétrique, il existe alorsfnon nulle deEtelle queV?◦V(f)=λf, alors : =<λf,f>=λ. Comme les deux quantitésetsont strictement positif, alorsλ>0.
3)On a alorsV?◦V(f)(fλ)=λfλ.
CommeV?◦V(fλ) estC1et (V?◦V(fλ))?=-(V(fλ)) et puisqueV(fλ) est C
1aussi etV(fλ)?=fλ:
alorsfλ=1λ
V?◦V(f)(fλ) estC2etλf??
λ=-fλ.
De plusV?◦V(f)(π/2)=0 et queV(f)(0)=0, alorsfλ(π/2)=f?
λ(0)=0.
4)D"après la question précédente, siλest une valeur propre deV?◦Valors
f
λvérifie???
?y ??+1λ y=0 y ?(π2 )=y(0)=0
Réciproquement sifλvérifie
?y ??+1λ y=0 y ?(π2 )=y(0)=0 1 Comme ?V?◦V(fλ)???=-fλ, alors (λfλ-V?◦V(fλ))??=0 Donc (λfλ-V?◦V(fλ))?=cte, en évaluant enπ2 ,cte=0 Alorsλfλ-V?◦V(fλ)=cte, en évaluant en 0,cte=0, par conséquent
λfλ-V?◦V(fλ)=0
Ainsiλest une valeur propre deV?◦Vsi et seulement sifλ?vect(x→ cos(
1?λ
x),x→sin(1?λ x)) etfλ(π/2)=0=f?
λ(0) ceci est équivalent àfλ?
vect(x→cos(1?λ x)) etfλ(π/2)=0=f?
λ(0) si et seulement si cos(1?λ
π2
0 si et seulement si il existen?Ztq1?λ
π2 =π2 +nπsi et seulement si il existen?Ntel queλ=1(2n+1)2. et dans ce casE1(2n+1)2=vect(x?-→cos((2n+1)x)) qui est de dimension 1.
B. Théorème d"approximation de Weirstrass
5)Il est évident queSn(Ω)={0,1,...,n} et queSnsuit une loi binômiale de
-x|≥α =?ω?(|Snn -x|≥α) Donc |kn -x|≥α(Sn=k)?(|Snn -x|≥α), donc P(? |kn -x|≥α) 2
OrP(|Snn
2α2
c"est d"après l"inégalité de Bienaymé-Tchibychev. Mais
V(Sn)n
2α2=nx(1-x)n
7)D"une partf(x)=n?
tème complet d"événements, alors :Bn(f)(x)=n? k=0Cknxk(1-x)n-kf(kn
EtE(Sn)=n?
k=0kCknxk(1-x)n-k, donc :E(Snn )=n? k=0kn
P(Sn=k)
Par application du théorème de Transfert, on a : E f?Snn =n? k=0f?kn
P(Sn=k)=n?
k=0f?kn C knxk(1-x)n-k=Bn(f)(x) Donc B n(f)(x)-f(x)=n? k=0Cknxk(1-x)n-k? f(kn )-f(x)? fest continue sur le segment [0,1] donc uniformément continue, alors pour?>0,?α>0 tq|x-y|<α=?|f(x)-f(y)|D"autre part si on considère I=? k?{0,1,...,n}/|kn -x|<α? etJ=? k?{0,1,...,n}/|kn -x|≥α? , on aI?J={0,1,...,n}etI?J=Ø.
[PDF] Mines Chimie MP 2015 — Corrigé