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´ECOLE DES PONTS PARISTECH

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,

TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,

MINES DE SAINT-´ETIENNE, MINES DE NANCY,

T´EL´ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI`ERE MP)´ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI`ERE TSI)

CONCOURS D"ADMISSION 2015

CORRIG

´E DE LA SECONDE´EPREUVE DE PHYSIQUE

Fili`ere MP

(Dur´ee de l"´epreuve: 3 heures)

PHYSIQUE II - MP.

NATURE DE LA GRAVITATION

I. - L"exp´erience d"E¨otv¨os

1 -Le principe d"inertie affirme l"existence de certains r´ef´erentiels, dit inertiels ou galil´eens, relative-

ment auxquels le mouvement d"un objet ne subissant aucune interaction est rectiligne et uniforme. Le PFD

affirme qu"en pr´esence de forces dont la r´esultante est not´ee?F, le mouvement d"un point mat´eriel de massemi

relativement `a un r´ef´erentiel inertiel est d´ecrit par la relationmid?v dt=?F.

2 -La loi de la gravitation affirme que la force exerc´ee par un corps de masse gravemasur un autre corps

ponctuel de masse gravembest?Fa→b=-Gmamb?ab ??ab?3, cette expression permet de se passer d"un dessin, si on fait appel `a un vecteur unitaire ce n"est plus le cas...

Remarque : La masse inertielle est une quantit´e physique exprim´ee en kilogrammes qui quantifie la difficult´e

de faire varier la vitesse du corps auquel elle est attach´ee. Deux objets de masses diff´erentes soumis `a la mˆeme

force verront varier leur vitesse diff´erement : celui dont la masse inertielle est la plus grande sera soumis `a la

variation de vitesse la plus faible. La masse pesante est unequantit´e physique exprim´ee en kilogrammes qui

quantifie la capacit´e d"un corps `a ressentir la force de gravitation. Il s"agit donc d"une charge gravitationnelle.

Il est tr`es ´etonant que ces deux quantit´es ait exactementla mˆeme valeur!

I.A. - Mesure de la constante de torsion

3 -Le raisonnement est asbcons mais efficace (avec des notations´evidentes...)

δW=?F·d?r=?F·?v dt=?F·?

?ω?--→OM? dt=?ω·?--→OM??F? dt =?ω·?M0=-Cθ(θ-θ0) =-dEp

Par int´egration il vient alorsEp=1

2Cθ2+cste, on choisit la constante afin queEp(θ0) = 0 ainsiEp,S=12C(θ-θ0)2.

Le moment d"inertie du solideSestJ, son centre d"inertie est au repos, ainsi

Ec,S=12Jθ2. On en d´eduit

l"´energie m´ecanique de ce solide

Em,S=12?

Jθ2+C(θ-θ0)2?.

4 -Le th´eor`eme de la puissance m´ecanique donne directementdEm,Sdt=-αθ2en d´erivant l"expression

obtenue pr´ec´edement il vientJθ¨θ+Cθ(θ-θ0) +αθ2= 0 en ´ecartant la solutionθ= 0 on obtient l"´equation

v´erifi´ee parθsous la forme

¨θ+αJθ+CJθ=CJθ0.

5 -Les oscillations apparaissent en cas de r´egime pseudo-p´eriodique correspondant `a un discriminant

de l"´equation caract´eristique du mouvement n´egatif : Δ =?α J?

2-4CJ<0 soitα2<4CJ. Les racines de

l"´equation caract´eristique sontλ±=-α

2J±i?

C

J-?α2J?

2. La solution s"´ecrit sous la forme

θ(t) =θ0+ exp?-αt2J??

Acos? t? C

J-?α2J?

2? +Bsin? t? C

J-?α2J?

2??

Physique II, ann´ee 2015 - fili`ere MPo`uAetBpourraient ˆetre d´etermin´es par la donn´ee de conditionsinitiales. Pour les courageux avecθ(0) =θm

etθ(0) = 0 on trouve

A=θm-θ0etB=α(θm-θ0)

⎷4CJ-α2 mais il ´etait recommand´e de ne pas le faire... On a bien sˆur limt→∞θ(t) =θ0, cette limite est fix´ee par la solution de l"´equation sans second membre. La pseudo-p´eriode est

T=2π?

C

J-(α2J)2, la p´eriode propre est

celle du mouvement non amorti (α= 0), elle s"´ecrit doncT0= 2π? J

Con peut donc ´ecrireT=T0⎷1-ε2avec

2⎷JC. L"hypoth`eseε?1 permet d"´ecrireT?T0?

1 +

ε22?

ainsi

δTT0=T-T0T0=ε22, en prenantT=T0

l"erreur relative commise est inf´erieure `a 1% si ε2

2<102soitε <⎷2×10-1?0,141.

6 -On a vu queT=T0= 2π?J

CetJ= 2J1+ 2mL2+J0on en d´eduit que

T2=8mπ2CL2+4π2(2J1+J0)C

La fonctionT2?L2?est une droite de pente8mπ2Cet d"ordonn´ee `a l"origine4π2(2J1+J0)C. L"ajustement lin´eaire

deT2enλL2+μ`a partir des donn´ees du tableau donneλ= 5.27·107SI etμ= 103SI. On a doncλ=8mπ2

C soitC=8mπ2

λce qui permet de calculerC=8×0,2×π25.27·107= 3,0·10-7kg·m2·s-2. Dans l"intervalle d"´etude

T

2?2.105s2?μ, on peut donc n´egliger la contribution de l"ordonn´ee `a l"origine dans le calcul deT2et se

contenter deT2?8mπ2

CL2on obtient doncm?CT28π2L2.

I.B. - R´esultats et pr´ecision de l"exp´erience

7 -Les forces appliqu´ees au syst`eme sont les poids des deux sph`eres et de la barre?Fg,1=-mg?uz,

?Fg,2=-mg?uzet?Fg,0=-Mg?uz, la force de rappel exerc´ee par le ruban de torsion, la forced"inertie appliqu´ee

sur chaque sph`ere ?Fi,j=1,2=-mid-→V dt+mi?rj?d?ωtdt+mi?ωt?(?rj??ωt) + 2mid?rjdt??ωt. La vitesse de translation

du r´ef´erentiel du laboratoire par rapport au r´ef´erentiel terrestre est nulle-→V=?0, et l"on suppose que?ωt=--→cste,

le vecteur?rj=---→GMj=Rt?uz+--→OMjest lui aussi constant, on a donc?Fi,j=mi?ωt??? R t?uz+--→OMj? ??ωt? Fixons quelques vecteurs unitaires `a l"´equilibre. axe terrestre

Méridien

terrestreb???? b?? b?? ?1

2??1b?????2Méridien

terrestre b??b?? On a donc?ωt=ωt(cosλ?uz+ sinλ?uλ),--→OM1=-L?uρet--→OM2= +L?uρainsi R t?uz+--→OM1? ??ωt=ωt(Rt?uz-L?uρ)?(cos(λ)?uz+ sin(λ)?uλ) =-sin(λ)ωtRt?uρ+ cos(λ)Lωt?uλ-sin(λ)Lωt?uz? R t?uz+--→OM2? ??ωt=ωt(Rt?uz+L?uρ)?(cos(λ)?uz+ sin(λ)?uλ) =-sin(λ)ωtRt?uρ-cos(λ)ωtL?uλ+ sin(λ)ωtL?uz ainsi 2

Physique II, ann´ee 2015 - fili`ere MP

?Fi,1=mi1?ωt??---→GM1??ωt? =mi1ω2t?-sin(λ)cos(λ)Rt?uλ-L?uρ+ sin2(λ)Rt?uz? et ?Fi,2=mi2?ωt??---→GM2??ωt? =mi2ω2t?-sin(λ)cos(λ)Rt?uλ+L?uρ+ sin2(λ)Rt?uz?

8 -Le moment enGdes forces d"inertie s"´ecrit

Mi1=--→GM1??Fi,1

=mi1ω2t?sin(λ)cos(λ)R2t?uρ-LRtcos2(λ)?uλ+ sin(λ)cos(λ)RtL?uz?

Mi2=--→GM2??Fi,2

=mi2ω2t?sin(λ)cos(λ)R2t?uρ+LRt?1 + sin2(λ)??uλ-sin(λ)cos(λ)RtL?uz?

Les poids sont selon?uz, ils n"ont donc pas de moment enG, `a l"´equilibre la composante selon?uzdu moment des

force de rappel estMr,z=-C(θ∞-θ0).La projection sur?uzdu th´eor`eme du moment cin´etique `a l"´equilibre

de la premi`ere exp´erience s"´ecrit donc -C(θ∞1-θ0) + (mi1-mi2)ω2tsin(λ)cos(λ)RtL= 0

Pour la seconde exp´erience il suffit de remplacerθ∞1parθ∞2et d"inversermi1etmi2on a donc

-C(θ∞2-θ0) + (mi2-mi1)ω2tsin(λ)cos(λ)RtL= 0 la diff´erence de ces deux ´equations fournit finalement

9 -L"expression obtenue `a la question pr´ec´edente et la relationm=CT28π2L2permettent d"´ecrire

la lunette permet une r´esolution angulaire maximale Δθmax=10-32, la valeur de la p´eriode correspondant `a

L= 6cm estT= 463s, la pulsation de la terre estωt=2π

24×3600= 7,3·10-5rad·s-1, pour la latitude 45◦on

a doncδmmax=4π2×10-3×6·10-2

2,1·105×5,3·10-9×6,4·106×1soitδmmax= 3,3·10-7.

10 -Si la d´eviation observ´ee est nulle, c"est en fait queδm< δmmaxsoit|mi1-mi2|< m×δmmaxavec

une massem= 200g

on v´erifie le principe d"´equivalence(ici l"´egalit´e des masses inertielles) `a 6,7·10-6pr`es!

Ce qui n"est pas rien...

FIN DE LA PARTIE I

II. - Vers une correction de la gravitation universelle classique

II.A. - Gravitation newtonienne, mati`ere noire

11 -L"´equation de Maxwell-Gauss div?E=ρε0et l"´equation de Maxwell-Faraday statique rot?E=?0

montrent l"analogie ´etroite existant entre la gravitation classique et l"´electrostatique. Seul le signe des charges

indique une diff´erence entre les deux mod`eles : les charges´electriques peuvent ˆetre de signe diff´erent, les charges

gravitationnelles (masses pesantes) sont toutes positives (jusqu"`a ce queGbarle confirme en tous cas...).

Les deux autres ´equations de Maxwell indiquent en statiqueque div?B= 0 et que rot?B=μ0?j: la source du

champ magn´etique n"est pas constitu´ee de monopoles magn´etiques, c"est le courant des charges ´electrique qui cr´ee

l"interaction magn´etostatique. C"est une diff´erence fondamentale avec l"´electrostatique et donc la gravitation.

En ´electrostatique?F=q?Eavec?E=-gradV, l"existence du potentiel ´electrique est garantie par le fait qu"en

´electrostatique rot?E=?0. On peut donc faire la mˆeme chose avec le potentiel gravitationnel et le champ de

gravitation ?F=m?Γ avec?Γ =-gradφ, en prenant la divergence on obtient alors div(gradφ) = Δφ= 4πGρ qui est l"´equation de Poisson pour la gravitation. 3quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5