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Durée : 4 heures
?Baccalauréat C Nouvelle-Calédoniedécembre 1992?
EXERCICE14 points
On donne, dans le plan, un quadrilatère convexe ABCD. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en E.
Soit F le point tel que :--→DF=-→BE .
1.Comparer les distances BD et EF, puis les aires des trianglesABD et AEF.
2.Montrer que le quadrilatère ABCD et le triangle AFC ont même aire.
3.Démontrer l"égalité :--→AC?-→AF=--→AC?--→BD .
En déduirel"aire du quadrilatère ABCD à l"aide d"une expression faisant inter- venir les vecteurs--→AC et--→BD .
EXERCICE24 points
Enseignementobligatoire
O,-→u,-→v?
(unitégraphique:
2 cm).
1.Déterminer et représenter dans le plan P,l"ensemble D des pointsMdont l"af-
fixezvérifie : z-i z=0.
2.Au pointMd"affixez=x+iy(xetydésignant des nombres réels distincts),
on fait correspondre le pointM?d"affixez?définie par : z ?=f(z)=z+ z-i z-iz. a.Calculer le module def(i). Donner un argument def(i). En déduire que [f(i)]8est un nombre réel positif>. b.Déterminer les parties réelle et imaginaire du nombre complexezvéri- fiantf(z)=i.
3. a.Calculer les coordonnées du pointM?en fonction de celles du pointM.
b.Déterminer et représenter dans le plan P l"ensemble des pointsMtels quez?soit un imaginaire pur.
EXERCICE24 points
Enseignementde spécialité
Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé direct?
A,-→u,-→v?
, soit ABCD un pa- rallélogramme tel que
AB=--→DC=-→u.
On note E le point d"affixe : 1+1
?3i. Soit F l"image de C par la similitude directefde centre B, de rapport1
2, et d"angle
3.
Baccalauréat CA. P.M. E. P.
A B
CD-→
u-→ v
1.Vérifier que?--→AB ,-→AE?
6et montrer que le triangle BCF est rectangle en F.
Faire une figure soignée.
2.On notetla translation de vecteur-→uetgla similitude directe de centre E qui
transforme A en B. Montrer queg=f◦t: on pourra, pour cela, soit utiliser les transformations vectorielles associées àgetf◦t,soitdéterminer leursexpressions analytiques complexes.
3.Montrer quegtransforme D en F.
En déduire la nature et les angles du triangle EDF.
PROBLÈME12points
Le but de ce problème est d"étudier certaines fonctionsfkde la variable réellex définies sur l"intervalle [0 ;+∞[ par f k(x)=xe-x+kx oùkest un réel donné quelconque, et de construire leurs courbesreprésentatives C k.
Partie A
1.Étude defk
a.Déterminer selon les valeurs du réelk, limx→+∞fk. Montrer que la droiteDkd"équationy=kxest asymptote en+∞à la courbeCk?
Préciser la position deCkpar rapport àDk.
b.Calculerf? k(x) etf?? k(x). Donner selon les valeurs du réelk, limx→+∞f? k(x).
Donner le sens de variations defk.
2.Donner les tableaux de variations def0etf1.
3.Le plan est rapporté au repère orthonormal?
O,-→ı,-→??
. Pour le dessin, on choisit pour unité 5 cm. a.Donner les coefficients directeurs des tangentes à l"origineT0etT1res- pectivement àC0etC1. b.Construire les tangentesT0etT1les asymptotesD0,D1et les courbesC0 etC1.
4.Pour toutade [0 ;+∞[, on poseF(a)=?
a 0 f0d(x). a.À l"aide d"une intégration par parties, calculerF(a). b.Déterminer limx→+∞F(a).
Nouvelle-Calédonie2décembre 1992
Baccalauréat CA. P.M. E. P.
Partie B
Le but de cette partie est d"étudier la fonctionfkobtenue pourk=-1
2, c"est-à-dire
la fonctionf-1
2définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par
f -1
2(x)=xe-x-12x.
1. a.Calculerf-1
2(x). Montrer que l"équation
(1-x)e-x-1 2=0 admet une solution unique dans l"intervalle [0 ;+∞[. On noteαcette solution (que l"on ne demande pas de calculer). b.Vérifier l"encadrement : 0?α?0,5.
2.Soithla fonction définie sur l"intervalle I=?
0 ;1 2? par h(x)=1-1 2ex. a.Montrer queαest l"unique solution sur I de l"équationh(x)=x. encore à I. c.Prouver que pour tout élémentxde I on a -0,83?h?(x)?0.
En déduire l"inégalité
|h(x)-α|?0,83|x-α|.
3.Soit(un)la suite d"éléments de I, définie paru0=0 etun+1=h(un)pour tout
ndeN. a.Montrer que pour tout entiern, positif ou nul, on a un+1-α|?0,83|un-α|. b.En déduire que pour tout entiern, positif ou nul, on a un-α|?1
2(0,83)n.
c.Déterminer la limite de la suite(un). d.Préciser un entierptel que :??up-α??<10-2. Calculerupà l"aide de votre calculatrice (on donnera la partie entièreet les deux premières décimales).
4.Donner le tableau de variations de la fonctionf-1
2.
Construire l"asymptoteD-1
2, la tangenteT-12, et la courbeC-12.
Nouvelle-Calédonie3décembre 1992
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LE BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE ET SON CONTEXTE