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?Baccalauréat A1 et B 1994?
L"intégrale d"avril à décembre 1994
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bleus
Pondichéry A1 avril 1994
.................................3 Pondichéry B avril 1994..................................5 Amérique du Nord A1 juin 1994......................... 7 Amérique du Nord B juin 1994...........................9 Aix-Marseille A1 et B juin 1994......................... 11 Amiens A1 juin 1994....................................13 Amiens B juin 1994..................................... 15 Besançon A1 et B juin 1994.............................18 Bordeaux A1 juin 1994..................................21 Bordeaux B juin 1994...................................24 Antilles-GuyaneA1 et B juin 1994...................... 26 Centres étrangers A1 juin 1994......................... 29 Centres étrangers B juin 1994.......................... 31 Asie A1 et B juin 1994...................................33 Polynésie A1 juin 1994.................................. 36 Polynésie B juin 1994....................................38 Antilles-GuyaneB septembre 1994.....................41 Inde-Liban A1 et B septembre 1994.....................43 Métropole A1 et B septembre 1994.....................45 Polynésie A1 et B septembre 1994.......................47 Sportifs de haut-niveau A1 octobre 1994................49 Amérique du Sud A1 décembre1994...................52 Amérique du Sud B décembre 1994.................... 54 Nouvelle-Calédonie A1 et B décembre 1994............56
A. P. M. E. P.
L"année 20012
?Baccalauréat ES (A1) Pondichéry avril 1994?
EXERCICE14 points
Soit les fonctionsfetgdéfinies sur l"intervalle [0; 1] par : f(x)=x2
4-x2etg(x)=ln?4-x2?.
1.Soit I=?
1 0 f(x)dx. a.Quel est le signe de I? b.Montrer que, pour toutxde l"intervalle [0; 1] f(x)=-1+1
2-x+12+x
c.Calculer la valeur exacte de I.
2.En utilisant une intégration par parties, montrer que?
1 0 g(x)dx=ln3+21.
EXERCICE25 points
Le jeune Éric, trois ans, s"amuse à taper sur les touches du minitel.
1.Il frappe au hasard sur une touche du clavier, chaque touche ayant la même
probabilité d"être frappée. Ce clavier comporte 57 touchesdont 26 repré- sentent les 26 lettres de l"alphabet français. a.Quelle est la probabilité pour qu"il frappe une lettre? b.Quelle est la probabilité pour qu"il frappe une lettre de sonprénom?
2.Éric frappe successivement 4 touches, distinctes ou non.Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants:
a.Éric frappe son prénom. b.Éric frappe les 4 lettres de son prénom. c.Éric frappe 4 touches différentes. d.Éric frappe son prénom sachant qu"il a frappé 4 touches différentes. On donnera les résultats approchés sous la formea×10-noùnest un entier naturel etaun nombre entier tel que 0
PROBLÈME11points Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]-∞; 1] par : f(x)=3 2e2x-ex-2x-4.
On appelle (C) sa représentation graphique dans un repère? O,-→ı,-→??
Unités graphiques : 4 cm sur l"axe des abscisses, et 2 cm sur l"axe des ordonnées. PartieA
1.Déterminer la limite defen-∞.
2.Soitg(x)=ex?3
2ex-1?
Montrer queg(x) s"annule pourx=ln3.
Étudier le signe deg(x) sur l"intervalle ]-∞; 1]. Baccalauréat ES (A1)A. P. M. E. P.
3. a.Montrer quef(x)-(-2x-4)=g(x).
b.En déduire que la droite (D) d"équationy=-2x-4 est asymptote à (C). Étudier la position de (C) par rapport à (D). 4.Calculerf?(x). Montrer que, pour toutxde l"intervalle ]-∞; 1],
f ?(x)=?3ex+2??ex-1?. En déduire le signe def?(x).
Dresser le tableau de variation de la fonctionf.
PartieB
1.Justifierquel"équationf(x)=0admetunesolutionx0dansl"intervalle[-3; 0].
En utilisant la calculatrice donner un encadrement d"amplitude 10-1dex0. 2. a.Résoudre l"équation 3e2x-ex-2=2 en posantX=ex.
b.En déduire qu"il existe un point A unique de (C) où la tangente a pour coefficient directeur 2 et que l"abscisse de A est égale à ln 4 3. 3.Tracer la droite (D), la courbe (C) et la tangente à (C) en A.
Pondichéry4avril 1994
?Baccalauréat ES (B) Pondichéry avril 1994? EXERCICE14 points
1.SoitPle polynôme défini surRpar
P(x)=x3-x2-14x+24.
a.CalculerP(2). En déduire une factorisation deP(x). b.Résoudre dansRl"équationP(x)=0. 2.En déduire les solutions dans des équations suivantes :
a.2lnx+ln(x-1)=ln(14x-24) b.e2x-ex+24e-x-14=0. EXERCICE24 points
Dans cet exercice tous les résultats seront donnés sous forme de fractions. Une urne contient trente boules numérotées de 1 à 30 indiscernables au toucher. 1.On tire au hasard une boule de l"urne. Calculer :
a.la probabilité que le numéro de la boule tirée soit multiple de 3 et de 5; b.la probabilité que le numéro de la boule tirée soit multiple de 3 ou de 5. 2.On tire au hasard 3 boules successivement et avec remise.Calculer la probabilité d"obtenir au moins une fois un numéro multiple de 3
et de 5. PROBLÈME12points
Soit la fonction numérique f définie sur ]0+∞[ par f(x)=(lnx)3-3lnx. On note (C) la courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère ortho- normal? O,-→ı,-→??
(unité graphique : 2 cm). PartieI
1.Après avoir factoriséf(x), déterminer les limites defaux bornes de son en-
semble de définition. 2.Prouver que pour toutxréel strictement positif on a
f ?(x)=3(lnx-1)(lnx+1) oùf?désigne la dérivée de la fonctionf. Étudier le signe def?(x) sur ]0+∞[.
3.Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
4.Résoudre l"équationf(x)=0 sur ]0+∞[. Que représentent pour (C) les solu-
tions de cette équation? 5.Construire (C).
Baccalauréat ES (B)A. P. M. E. P.
PartieII
SoientI,J, etKles intégrales définies par :
I=? 1 1/lne lnxdx,J=? 1 1/lne (lnx)2dx,K=? 1 1/lne (lnx)3dx. 1.Soit la fonctionGdéfinie sur ]0+∞[ par :
G(x)=xlnx-x.
lnx. En déduire la valeur deI.
2.Soit la fonctionHdéfinie sur ]0+∞[ par :
H(x)=x(lnx)2-2(xlnx-x).
Montrer queHest une primitive de la fonctionhdéfinie sur ]0+∞[ par h(x)=(lnx)2. En déduire la valeur deJ. 3. a.Démontrer à l"aide d"une intégration par parties queK=1
e-3Jet en dé- duire queK=6 e-6. b.En utilisantIetKcalculer? 1 1/lne f(x)dx. 4.En déduirel"aire, en cm2, del"ensemble despointsM(x;y)duplan tels que :
1 e?x?1 et 0?y?f(x). On donnera la valeur exacte du résultat puis la valeur approchée à 10-2près par défaut. Pondichéry6avril 1994
?Baccalauréat ES (A1)Amérique du Nord juin 1994? EXERCICE4 points
Une population est constituée de 100 personnes (40 hommes et60 femmes), telles que : 50 ont les yeux bleus,
60% des hommes ont les yeux bleus.
On tire au sort une personne. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d"être choisies. Calculer, sous forme de fractions, les probabilités des évènements suivants : A : "avoir choisi un homme»
B : "avoir choisi un homme aux yeux bleus»
C : "avoir choisi une femme aux yeux bleus»
D : "avoir choisi une personne aux yeux bleus, sachant que c"est une femme» E : "avoir choisi une femme, sachant que c"est une personne ayant les yeux bleus». PROBLÈME10points
Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par : f(x)=ln?2x+1 x? Soitgla fonction définie sur ]ln2 ;+∞[ par : g(x)=1 ex-2. Le plan P est rapporté à un repère orthonormal O,-→ı,-→??
(unité graphique : 3 cm). On appelleCfetCgles courbes représentatives defetgdans P. PARTIEA
Étude de la fonctionf
1.Calculer les limites defen 0 et en+∞.
Quelles sont les conséquences graphiques de ces résultats? 2.Calculerf?(x), oùf?désigne la fonction dérivée def.
En déduire le sens de variation defsur ]0 ;+∞[. 3.Dresser le tableau de variation def.
4.ConstruireCf.
PARTIEB
Étude de la fonctiong
1.Calculer les limites de la fonctiongen ln2 et en+∞. Quelles sont les consé-
quences graphiques de ces résultats? 2.Calculerg?(x), oùg?désigne la fonction dérivée deg. En déduire le sens de
variation degsur ]ln2 ;+∞[. 3.Dresser le tableau de variation deg.
4.ConstruireCg, sur la même figure queCf.
PARTIEC
TangentesàCfetCg
Baccalauréat ES (A1)A. P. M. E. P.
1.Soit A le point deCfd"abscisse12. Écrire une équation de la tangente en A à
C f. 2.Déterminer l"abscisse du point B deCgoù la tangente a pour coefficient di-
recteur-1. En déduire l"équation de cette tangente. Que remarque-t-on? 3.Construire cette droite sur la figure précédente.
PARTIED
Calculd"aire
1.En utilisant une intégration par parties, calculer :
I=? 2 1 2ln?2x+1x?
dx. 2.En déduire une valeur décimale approchée à 10-2près de l"aire, en cm2, de
la partie du plan limitée par les droites d"équationsx=1,x=2, l"axe des abscisses et la courbeCf. Amérique du Nord8juin 1994
?Baccalauréat ES (B) Amérique du Nord juin 1994? EXERCICE16 points
Un pion se déplace par sauts successifs sur la droiteΔmunie du repère? O ;-→ı?
O-→ı
Sonpoint de départest le pointO.
Deux types de sauts sont possibles :
D : 2 unités vers la droite,
G : 1 unité vers la gauche.
Les sauts successifs sont supposés indépendants les uns desautres, et chaque type de saut a la même probabilité d"être effectué. On suppose que le pion va effectuer 3 sauts successifs. 1.Donner laliste desdifférents parcourspossibles. Onpourra, éventuellement,
dessiner " l"arbre des parcours », et désigner chaque parcours à l"aide d"un triplet, par exemple : (D, D, G) signifie que le pion s"est déplacé d"abord deux fois vers la droite, puis une fois vers la gauche. 2.Pour chaque parcours trouvé, préciser l"abscisse du point occupé par le pion
après les 3 sauts. 3.SoitXlavariablealéatoirequi, àchaque parcours,associel"abscisse dupoint
où aboutit le pion. Donner la loi de probabilité deX, et son espérance ma- thématique. EXERCICE24 points
On a noté, entre 1982 et 1990, le nombrexde parcours de golf et le nombreyde licenciés de la Fédération Française de Golf. (Source : "L"Équipe Magazine», août 1993.) Les résultats ont été rassemblés dans le tableau suivant : Année19821984198619881990
Nombrede parcours
de golfx134141176249458 Nombre de licenciés
y471596369697019135146181147 le plan muni d"un repère orthogonal, avec, pour unités graphiques : 1 cm pour 30 parcours en abscisses,
1 cm pour 10000 licenciés, en ordonnées.
Déterminer et représenter le point moyen G de cette série. 2.Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série. Un ajustement
linéaire se justifie-t-il? Préciser. 3.Déterminer une équation de la droite de régression D deyenx.
Construire D, sur le graphique précédent.
de parcours en 1992 conduit l"équation précédente? Baccalauréat ES (B)A. P. M. E. P.
PROBLÈME10points
Le but de ce problème est l"étude de la fonction définie sur ]0 ;+∞] par : f(x)=(x-1)lnx x, sa représentation graphique et le calcul d"une aire qui lui est liée. Le plan P est rapporté à un repère orthonormal? O,-→ı,-→??
(unité graphique : 2 cm). La courbe représentative defdans P est notéeC. PARTIEI
Étude def
1. a.Calculer la limite defen 0.
Quelle en est la conséquence graphique?
b.Calculer la limite defen+∞. 2.On notef?la fonction dérivée def. Montrer que :
f ?(x)=x-1+lnx x2. 3.Déterminer le signe de la somme (x-1)+lnxlorsque 0 x>1. 4.En déduire le tableau de variations def
PARTIEII
Courbe représentativedef
1.Déterminer, selon les valeurs dex, le signe de la différenced(x)=f(x)-lnx.
2.SoitΓla courbe représentative, dans P, de la fonction ln.
Interpréter géométriquement le nombred(x), et déduire, de la question pré- cédente, la position relative des courbesCetΓ. 3.TracerΓ, puisC.
PARTIEIII
Calculd"une aire
quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
LE BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE ET SON CONTEXTE