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est le minimum de sur D si et seulement si pour tout de D, et s'il existe un réel dans D tel que • On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum

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C'est un minimum si f est croissante sur cet intervalle, il est strict si f est strictement croissante Il suffit d'appliquer la définition d'un extremum local avec V =]x0−α,

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Scheeffer a indiqué une méthode permettant de reconnaître si la fonction z est extremum (c'est-à- dire maximum ou minimum) en ce point (f) V von Dantscher a

Extremums d'une fonction

I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit ࢌ une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , ࢓ et ࡹ deux réels. • On appelle extremum de ࢌsur D son maximum ou son minimum (s'il existe). • Si ࢓ ou ࡹ est un extremum de ࢌ sur un intervalle I ouvert inclus dans D, on dit que ࢓ ou ࡹ est un extremum local de ࢌ sur D

Exemples

1°)

La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'intervalle

D = [-0,5 ; 4,5 ]

Sur I = ] 0 ; 4 [ intervalle ouvert contenu dans D, ݂admet un minimum local

2°)

La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'ensemble

D = ] - ; 2 [ ׫

Sur D, ݂ admet ni minimum, ni maximum.

II) Extremums et dérivée

Propriété :

Si une fonction ࢌ, dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en ࢻ sur I et si ࢻ n'est pas une borne de I alors ࢌԢ(ࢻ) = 0

Démonstration :

Supposons que ݂ admette un maximum en ߙ, ߙ

݂sur J.

௛ 0

0 et les rapports

que 0.

Démonstration analogue pour un minimum.

Attention :

que ࢌadmet un extremum en ࢻ. ( Voir exemple ci-dessous)

Exemple :

définie et dérivable sur Թ est strictement croissante sur Թ et s'annule en ݔ ൌ Ͳsans que la fonction ait d'extremum en ce point.

En revanche :

si ࢌǯs'annule en changeant de signe en un réel ࢻ, ࢻ n'étant pas une borne de I,

alors ࢌ admet un extremum local en ࢻpuisque ࢌ est : • Soit croissante avant ࢻ et décroissante après (maximum local en ࢻ) • Soit décroissante avant ࢻ et croissante après (minimum local en ࢻ)

Exemples :

݂est dérivable sur I (fonction polynôme ) dont la représentation graphique est : Graphiquement on conjecture que ݂ admet un maximum en ݔ = 1 et un minimum en ݔ = 3 (ces points n'étant pas des bornes de l'intervalle de définition). Montrons que la dérivée݂ǯ s'annule en ݔ = 1 et en ݔ = 3

La propriété est bien vérifiée.

2) Exemple montrant la nécessité de l'hypothèse " Į n'est pas une borne de

l'intervalle I » ݂ est dérivable sur I (fonction polynôme ) dont la représentation graphique est : ݂ admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d' l'intervalle de définition.

3) Exemple montrant que la réciproque est fausse

x 4 - 12 x 2 + 12 = 0 et pourtant ݔ = 2 n'est pas un extremum de ݂

4) En lisant un tableau de variation

tableau de variation.

ݔ - 4 0 2 6

Variations de

5 3

െͳ 1

La lecture de ce tableau nous permet d'affirmer :

[2 ; 6].

III) Etude d'une fonction

E 7 F 9quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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