[PDF] [PDF] Optimisation dune fonction dune variable

[PDF] Première S - Extremums dune fonction - Parfenoff

est le minimum de sur D si et seulement si pour tout de D, et s'il existe un réel dans D tel que • On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum

[PDF] Recherche des extremums dune fonction

C'est un minimum si f est croissante sur cet intervalle, il est strict si f est strictement croissante Il suffit d'appliquer la définition d'un extremum local avec V =]x0−α, 

[PDF] Optimisation dune fonction dune variable

On dit que f admet un minimum (resp maximum ) local au point x∗, s'il existe Figure: la fonction x ↦→ x2 présente un minimum global strict en 0 C Nazaret

[PDF] 1) Extrema dune fonction

f a nombre dérivé de f en a s'il existe 1) Extrema d'une fonction Soit a I ∈ Definition : 1 f admet un maximum (resp minimum) global ,ou dits absolu, au point 

[PDF] Savoir démontrer quune fonction admet un extrémum : - COURSES

S'agit-il d'un maximum , ou d'un minimum ? 2 Par le calcul, montrer que la fonction f admet un extremum sur , donner la nature et la valeur de cet extremum

[PDF] CHAPITRE 5 : Les fonctions

Dans ce chapitre, nous introduisons les notions de base sur les fonctions au minimum et au maximum des valeurs que peut prendre une fonction Définition 6  

[PDF] Maximum et minimum dune fonction-Cours2

Théor`eme 1 Une fonction continue définie sur un intervalle [a, b] poss`ede un minimum global et un maximum global 3 Les extrema locaux : Dans la recherche d 

[PDF] Sur le maximum et le minimum des fonctions de deux - Numdam

Scheeffer a indiqué une méthode permettant de reconnaître si la fonction z est extremum (c'est-à- dire maximum ou minimum) en ce point (f) V von Dantscher a 

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[PDF] le misanthrope acte 2 scène 1

[PDF] le misanthrope acte 2 scène 1 analyse

[PDF] le misanthrope acte 2 scène 4

[PDF] le misanthrope acte 3 scène 4 analyse

[PDF] le misanthrope alceste

[PDF] le misanthrope analyse

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOptimisation d"une fonction d"une variable

1ère année

E.N.S.T.B.B.

I.P.B.

Année Universitaire 2015-16

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

4Convexité

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherche x vérifiant

Minimiserf(x)

x2I on dit que l"on a un problème d"optimisation.

La f onctionfest

souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéC. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global

sur I au point x , si

8x2I f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) local au point x , s"il existe un intervalle ouvert JI contenant x tel que

8x2J f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un extremum en x

si et seulement si f admet un maximum ou un minimum en x .Si les inégalités des définitions précédentes sont strictes, on parle d"extremum (min ou max) strict.Remarque

Un extremum global est un extremum local.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité

Figure:la f onctionx7!x2présente un minimum global strict en 0.C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité-5

0 5 10

0.00.51.01.52.02.53.0

Maximum localMaximum global

Minimum local

Figure:

f onctionprésentant des maxim umsstr ictslocaux et globaux, un minimum local et des minima globaux non stricts sur[5;10]C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéFigure:f onctionprésentant des e xtremanon str icts.

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrethéorème de Weierstrass L"existence d"extrema n"est pas garantie pour toute fonction. Mais sur un intervalle fermé borné...Théorème Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I= [a;b]. Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I. A priori, ces extrema ne sont pas uniques (peuvent être atteints plusieurs fois sur I).

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExistence Si la recherche d"un minimum ne se limite pas à un intervalle fermé borné, on a aussi le résultat suivant:Définition Une fonction f est dite coercive surRsi " elle tend vers l"infini à l"infini » limjxj!+1f(x) = +1 ou coercive sur un intervalle ouvert]a;b[si lim x!af(x) = +1etlimx!bf(x) = +1C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreSoit

un intervalle ouvert.Théorème

Toute fonction continue et coercive sur

atteint son minimum sur .C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreCondition d"optimalité du 1er ordre

Théorème

Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert

I et si f admet en un point x

de I un extremum alors f

0(x) =0:C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreRemarque

La réciproque de ce théorème est fausse (la fonction x7!x3admet une dérivée nulle en0mais ce n"est pas un extremum).Si f

0(x) =0, on dit que xest un point critique de f. Les

extrema sur l"ouvert I sont à chercher parmi les points critiques.Si on cherche un extremum sur un intervalle fermé[a;b], on fera l"étude sur]a;b[ouvert puis on comparera à f(a)et f(b).C. NazaretOptimisation

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.

En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I. On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.

En1et1, elle n"est pas dérivable.

De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1 quand x tend vers l"infini.

En plusieurs dimensions ,les choses

seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée

nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1

quand x tend vers l"infini.

En plusieurs dimensions ,les choses

seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée

nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1

quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions, les choses seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée

nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1

quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions, les choses seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

Figure:f onctionprésentant deux minima str icten 1 et en 1 sans y

être dérivable.

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreCondition d"optimalité du second ordre

Théorème

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I et x

2I un point critique de f. Alors :Si f"(x)>0, f présente en xun minimum local strict.Si f"(x)<0, f présente en xun maximum local strict.Si f"(x) =0, on ne peut rien dire.C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe Plan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe Plan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe fonction convexe

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I

La fonction f est dite convexe sur I si

8(x;y)2I282[0;1]f(x+(1)y)f(x)+(1)f(y):f est dite strictement convexe si l"inégalité stricte est

toujours vérifiée pour x6=y et2]0;1[.Elle est dite (resp. strictement) concave sif est (resp. strictement) convexe.

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe

Figure:F onctionstr ictementcon vexe.

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Propriétés

ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe fonction convexe: interprétation graphique

Remarque

Si f est convexe sur un intervalle I alors pour tous points A(x;f(x))et B(y;f(y))de la courbe représentative de f , le segment[AB]est au-dessus de l"arc_AB de la courbe de f .Exemple La fonctions x7! jxjest convexe, x7!x2est strictement convexe.

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Propriétés

ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe

Convexité et dérivée seconde

Théorème

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I.

Alors :f est convexe sur I() 8x2I f"(x)0.f est concave sur I() 8x2I f"(x)0.La fonction f est strictement convexe sur I() 8x2I

f"(x)0et si l"ensemblefx2I;f"(x) =0gne contient aucun intervalle ouvert non vide. En particulier si8x2I f"(x)>0alors f est strictement convexe.C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe

Convexité et extremum

Théorème

Soit f une fonction convexe (resp. concave) sur intervalle ouvert I. Si x est un point critique pour f , alors f admet en x un minimum (resp. maximum) global sur I. Si la fonction est strictement convexe, le minimum est strict (et unique).

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