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14 mar 2016 · Pour simplifier, disons qu'Achille est deux fois plus rapide que la tortue Beau joueur, Achille laisse la tortue partir avec un mètre d'avance

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3 oct 2014 · Le paradoxe d'Achille et de la tortue, formulé par Zénon d'Élée, dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent 

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

LE PARADOXE DE ZENON

Commentaire : Démontrer qu'une suite est majorée en appliquant la notion de somme d'une suite géométrique. Pour introduire l'activité avec humour : Kid Paddle de Midam : A priori, la somme d'un nombre infini de longueurs serait une longueur infinie. Au V

ème

siècle avant JC, le grec Zénon d'Elée (-490 ; -425) nous exprime qu'il peut en être autrement. Achille, célèbre pour sa rapidité, court à vitesse constante sur un chemin de longueur 1. Achille doit d'abord parcourir la moitié de la longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante (1/4) et ainsi de suite en poursuivant ce processus de division à l'infini.

1) a) Calculer la distance parcourue après le 2

e

étape de sa course, puis après la 3

e et la 4 e

étape. Que constate-t-on ?

b) Exprimer en fonction de n, la distance d n parcourue après la énième étape.

2) Démontrer que pour tout entier n, on a : í µ

=1-

3) a) En déduire que pour tout entier n, d

n est inférieur à un entier à déterminer. b) Expliquer alors le paradoxe donné par Zénon.

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