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Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J) L'unité de longueur est le centimètre 1/ Placer les points A(-2 ; 1) , B(3 ; 2) , C(-3 ; -2) et G(7 ; 0) 2-a) Placer le 

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Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J) (unité graphique : 1 cm ou un grand carreau), on considère (b) Prouver que ABC est un triangle rectangle (c) Soit D(3; Exercice 7 Pour chaque question, cocher la seule réponse exacte

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Le plan est muni un repère orthonormal ( O , I , J ) Construire un triangle BCD rectangle en B tel que BD = 2 et BC = 6 , l'unité étant Justifier votre réponse

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Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; −→u , −→v ) d'unités −→ı , − → ) dont l'unité graphique est 3 cm, on a tracé la courbe P représentative

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1 6 est la courbe représentative d'une fonction f défi- nie sur [- 4;2], dans le plan muni 4 Le plan est muni d'un repère orthogonal (unités graphiques: 1 cm sur l' axe Le plan est rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 0,5 cm)

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Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; −→ i ; −→ j ) (unité graphique : 2 cm) Soit (C) la courbe représentative de f dans ce re- père Déduire du tableau  

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Exercice 1 :

Dans le plan muni d"un repère ( O , I , J ) , placer les points : A( - 2 ; 2 ) ; B( 3 ; 5 ) ; C( - 3 ; - 1 ) ; D( 4 ; - 2 ) et E( 3 ; 2 )

Calculer les coordonnées des vecteurs

CD et EC , EA , BE , DA , AC , AB . Vérifier sur le dessin.

Exercice 2 :

Soient A( - 5 ; 1 ) ; B( - 3 ; 2 ) et C( 1 ; 4 )

a)Calculer les coordonnées du vecteur AB b)Calculer les coordonnées du point D tel que :

CD AB=

Exercice 3 :

Soient A( - 1 ; - 2 ) , B( 4 ; 0 ) , C( 4 ; 4 ) et D( - 1 ; 2 ) . Montrer que le quadrilatère ABCD est un

parallélogramme.

Exercice 4 :

Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) . Soient les points A( - 2 ; 1 ) , B( 2 ; 2 ) et C( 1 ; 4 ) .

a)Calculer les coordonnées du point D tel que

BD AC=

b) Calculer les coordonnées du point E tel que

BC AE=

c) Calculer les coordonnées du point F tel que

AC FB=

Exercice 5 :

Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) .

Soient les points A( 1 ; 2 ) , B( 2 , 0 ) et C( 1 ; 4 ) a)Calculer les coordonnées du point D afin que ABCD soit un parallélogramme. b) Calculer les coordonnées du point E afin que ABEC soit un parallélogramme . c) Calculer les coordonnées du point F afin que BCAF soit un parallélogramme .

d)Calculer les coordonnées des milieux des segments [ED] , [DF] et [FE] . Que constate-t-on ? Pourquoi ?

Exercice 6 :

Dans un repère ( O , I , J ) , on donne les points A( - 2 ; 4 ) , B( 3 ; 5 ) , C( - 4 , 0 ) et D( 4 ; - 3 ) .

Calculer les coordonnées du point M vérifiant

CD MB MA=+

Exercice 7 :

Dans le plan muni d"un repère ( O , I , J ) , on considère les points A( 3 ; 2 ) , B( - 1 ; - 2 ) , C( 3 ; 0 ) et le

vecteur

u ( 3 ; - 1 ) . Calculer les coordonnées des points A", B" et C", images respectives des points A ,

B et C dans la translation de vecteur

u .

THEME :

CALCUL VECTORIEL

COMPOSANTES D"UN VECTEUR - EXERCICES

Exercice 8 :

Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) . Soient les points: A( - 1 ; 3 ) , B( 4 ; 2 ) , C( 5 , 0 ) et D( 3 ; - 1 )

a)Calculer les coordonnées du vecteur BA

Calculer les coordonnées du point E tel que

BA DE= . Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ?

b)Calculer les coordonnées du milieu M du segment [EB] et les coordonnées du point F , symétrique de C

par rapport à M . Quelle est la nature du quadrilatère ECBF ? c)Montrer que

AC FD=

Exercice 9 :

Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) .

Placer les points M( 3 ; 5 ) , E( - 4 ; 6 ) et R( 2 ; - 2 ). a)Calculer les coordonnées des vecteurs

RE et MR , ME puis les distances ME , MR et RE .

b)Quelle est la nature du triangle MER ? Pourquoi ? Donner la mesure de ses angles. c)Calculer les coordonnées des points T et S tels que :

SR ME et RT ME==

Quelles sont les natures respectives des quadrilatères METR et MERS ?

Exercice 10 :

Dans un repère orthonormal ( O , I , J ) , placer les points

A( - 4 ; 3 ) , B( 0 ; 5 ) et C( 2 ; - 1 ) .

a)Calculer les coordonnées du vecteur AB

b)Calculer les coordonnées des points D et E sachant que les quadrilatères ABCD et ABEC sont des

parallélogrammes . c)Calculer les coordonnées des points R et S, milieux respectifs des segments [BD] et [AE] . d)Montrer que les droites (RS) et (AB) sont parallèles. Exercice 11 : d"après Brevet des Collèges - 1991 Le plan est muni un repère orthonormal ( O , I , J ) . a)Placer les points A( 2 ; 5 ) , B( 8 ; 2 ) et C( - 2 ; - 3 ) b)Calculer les valeurs exactes des distances AB, AC et BC. En déduire la nature du triangle ABC. c)Quelles sont les coordonnées de D image de C dans la translation de vecteur

AB? En déduire que le

quadrilatère ABDC est un rectangle. d)Déterminer les coordonnées du point M centre du cercle circonscrit à ce rectangle . Exercice 12 : d"après Brevet des Collèges - 1991 Soient A , B et D trois points du plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J )

A( 1 ; 4 ) , B( - 1 ; 8 ) et D( 9 ; 8 )

a)Quelles sont les coordonnées des vecteurs ? BD et AD , AB b)Calculer les longueurs des segments [AB] , [AD] et [BD] . c)Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A . d)Construire le point C tel que

AD AB AC+=

e)Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle . f)Déterminer les coordonnées du point C . Exercice 13 : Brevet des Collèges - Dijon - 1992 Dans le plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J ), on considère les points A( 5 ; 0 ) , B( 7 ; 6 ) , C( 1 ; 4 ) et D( - 1 ; - 2 ) . a)Faire une figure. b)Calculer les coordonnées des vecteurs

DC et AB

c)Calculer les distances AB et AD . d)Démontrer que ABCD est un losange . Exercice 14 : Brevet des Collèges - Rouen - 1992 ( O , I , J ) est un repère orthonormal du plan. a)Placer les points A( 4 . 2 ) , B( 6 ; - 4 ) , C( 0 ; - 2 ) , E( - 2 ; 4 ) b)Démontrer que le quadrilatère ABCE est un parallélogramme . c)Calculer les longueurs AB et BC. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCE ?

Exercice 15 :

. ) 1 ; 1 - (u et ) 2 ; 3 M( Soient a)Déterminer les coordonnées du point M" image de M dans la translation de vecteur u. b)Déterminer les coordonnées du point M" image de M dans la symétrie de centre A( 1 ; 2 ).

Exercice 16 :

Dans un repère orthonormal, on donne les points

A( 1 ; 6 ) , B( 2 ; 1 ) et I( - 1 ; 4 )

a)Calculer les coordonnées des vecteurs

AB et IB , IA .

b)Calculer IA, IB et AB. c)En déduire que le triangle IAB est rectangle en I .

d)Soit C le point de coordonnées ( - 3 ; 2 ). Démontrer que le point I est milieu du segment [AC].

e)Soit D le point symétrique de B par rapport au point I .

Déterminer les coordonnées du point D.

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.

Exercice 17 :

Dans un repère orthonormal, placer les points : A( - 1 ; 2 ) , B( 2 ; 3 ) et C( 1 ; 0 ) a)Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC. b)Calculer les coordonnées du point D tel que

DC AB=.

Démontrer alors que le quadrilatère ABCD est un losange. c)Soit I le milieu du segment [BC] .

Déterminer les coordonnées du point I.

d)Soit E le symétrique de A par rapport au point I . Calculer les coordonnées du point E.

Exercice 18 :

Dans le plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J ) , placer les points : A( 3 ; 0 ) , B( 0 ; 2 ) , C( 4 ; 3 ) et D( 5 ; 1 )

a)Déterminer les coordonnées des points M, N, P et Q milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD]

et [DA]. b)Démontrer que

QP MN=. Que peut-on en conclure ?

Exercice 19 : Brevet - Clermont-Ferrand - 1989

Construire un triangle BCD rectangle en B tel que BD = 2 et BC = 6 , l"unité étant le cm. a)Calculer DC ( on donnera une valeur exacte du résultat ).

b)Placer sur la figure le point A symétrique du point D par rapport au point B, puis le point E symétrique

de C par rapport à B . Quelle est la nature du quadrilatère ACDE? Justifier. c)Construire le point F tel que

DC AF= ( on expliquera la construction )

Quelle est la nature du quadrilatère AFCD ?

Démontrer que :

AF EA=

Que représente le point A pour le segment [EF] ?

d)Soit I le point d"intersection des droites (CF) et (DE) . Montrer que C est milieu de [IF]. Calculer IF

et IE. e)Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ECF .

Exercice 20 : Brevet - Amérique du Nord - 1991

Dans un repère ( O , I , J ) , représenter les points suivants ( unité : le cm ) A( 1 ; - 1 ) , B( 2 ; 3 ) , C( - 2 ; 2 ) et D( 4 ; 2 ) a)Placer le point E tel que

AB CE=.

b)Placer le point F tel que AD AB AF+= c)Quelle est la nature du quadrilatère CDFE? Justifier votre réponse . d)Le quadrilatère ABFD est-il un losange ? Justifier votre réponse.

Exercice 21 : d"après Brevet - Nice - 1981

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O , U , V ) . On considère les points A( - 5 ; 1 ) , B( 1 ; 5 ) , C( 3 ; 2 ) , D( - 3 ; - 2 ) et M( 6 ; 4 ) a)Placer ces points. b)Calculer les coordonnées des vecteurs

DC et BC AB, .

c)Calculer les distances AB, BC et AC.

En déduire que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Quelles sont les coordonnées de son centre I ?

Quelles sont les longueurs de ses côtés ?

d)On désigne par M" le symétrique de M par rapport au point B . Calculer les coordonnées du point M".

e)Soit u ( - 1 ; - 5 ). On désigne par M" l"image de C dans la translation de vecteur u .

Déterminer les coordonnées du point M".

f)Montrer que I est le milieu de [M"M"].

Exercice 22 :

Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec OI = OJ = 1 cm placer les points A(4 ; 5) B (-3 ; 4) et C (1, 1).

1) Faire la figure

2) Calculez CA, CB, AB . En déduire la nature du triangle ABC

3) Trouver les coordonnées du points D tel que CBDA soit un parallélogramme. Quelle est la nature de

CBDA ? Pourquoi ?

4) Calculer les coordonnées de S image de B par la translation de vecteur

AC

5) Calculer les coordonnées de R image de A par la symétrie de centre C

6) Quelle est la nature de ABSR ? Pourquoi ?

7) Calculer l"aire de ABSR

Exercice 23 :

Dans un repère orthonormé (O,I,J) OI=OJ=1cm on considère les points A(-2;-3) ; B(-4;4); C(3 ; 6).

1) Faire un figure que l"on complétera tout au long du problème.

2) Calculer les coordonnées des vecteurs

AC et BC , AB

3) Calculer AB ; BC ; AC

Quelle est la nature du triangle ABC ? Pourquoi ?

4)Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D.

Quelle est la nature de ABCD ? Pourquoi ?

5) Montrez que le triangle est inscrit dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6) Montrez que D appartient au cercle.

7) Soit E l"image de C par la translation de vecteur

AB. Calculer les coordonnées de E.

8) Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Pourquoi ?

9) Calculez l"aire de ABEC ?

Exercice 24 : Brevet des Collèges - Besançon-Lyon-Metz-Nancy - 1997 Dans un repère orthonormal ( O , I , J ) tel que OI = OJ = 1 ( cm ) , on considère les points A( 2 ; 6 ) ; B (-3 ; 3 ) ; C( 2 ; 0 ) et D( 7 ; 3 )

1.Calculer les coordonnées des vecteurs

.DC et AB Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

2. Calculer les distances AB et AD ( on donnera

les valeurs exactes . )

Que peut-on dire du parallélogramme ABCD ?

Justifier.

3. Construire le point M centre du

parallélogramme ABCD.

Calculer les coordonnées du point M .

4. a)Quelle est l"image du triangle AMD par la

symétrie centrale de centre M ? b)Citer une transformation qui permet de passer du triangle ACD au triangle ABC . Exercice 25 : d"après Brevet des Collèges - Orléans - 1995 Le plan est muni d"un repère orthonormal (O, I, J).

L"unité est le centimètre.

1) Placer les points A( 3 ; 2,5) , B( 0 ; - 1 ) et C( - 1 ; 3,5 ).

2) Calculer les distances AB et BC. On gardera les valeurs exactes. En déduire une propriété du triangle

ABC.

3) Placer le point M défini par :

CB CA CM+=.

Exercice 26 : d"après Brevet des Collèges - Clermont-Ferrand - 1996

Dans le plan muni d"un repère orthonormal (O, I, J), l"unité étant le centimètre, on considère les points :

A( 2 ; 3 ) ; B( 5 ; 6 ) ; C( 7 ; 4 ) ; D( 4 ; 1 ).

1) Faire la figure sur papier millimétré.

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