[PDF] [PDF] Correction Examen Séquentiel N˚5 Première C Lycée - unBlogfr

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Les élèves face à un problème du XIIe siècle Auteur : Groupe « Histoire numératio divinationis "attribué à Abraham Ben Ezra ( 1090- 1167) L L'un d' entre 

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Tél : 26 OS 32 08 LES ELEVES FACE A UN PROBLEME DU Xiles - x - 72 loo numératio divinationis "attribué à Abraham Ben Ezra(1090- 1167) L'un d'entre 

[PDF] Comme un fruit bien défendu

(2) voyez le texte du problème dans l'annexe nº1 (3) la brochure "Un nis ", attribué à Abraham Ben Ezra, né à Tolède vers 1090 et mort à Rome (?) en 1167

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Énigme du verger : (Attribuée à Abraham Ben Ezra, né en 1090 à Tolède) 2) En posant x le nombre de fruits cueillis et en mettant le problème en équation

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6 sept 2014 · "Le chapitre des fruits" attribué à Abraham ben Ezra (né en 1090) "Et si l'on dit : Un homme est entré dans un verger et il y a cueilli des fruits

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7 8 1,5 pt 2 BEN EZRA, mathématicien arabe du XIe siècle posa le problème suivant :"et si on dit : un homme est entré dans un verger et il y a cueilli des fruits

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Dans ces exercices, il faut d'abord choisir avec soin l'inconnue du problème, Le chapitre des fruits », attribué à Abraham Ben Ezra (né en 1090 à Tolède) :

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de problèmes mathématiques menée à partir d'une ou de plusieurs fausses solutions l'époque de BEN EZRA et bien avant lui ce type de résolution était possible mais comme Abraham au cours des deux premiers paragraphes Un très

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Correction Examen Séquentiel N°5 Première C Lycée Bilingue de Kribi Année Scolaire 2012 - 2013 Département de Mathématiques Classe : Première C

Examen séquentiel N°5

Epreuve de Mathématiques

Dure : 3 heures. Coefficient : 6.

??EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résoudre dansR3le système suivant oùa,betcsont les termes consécutifs d"une suite géométrique

décroissante :?a+b+c= 14 1a +1b +1c =78

1,5 pt

2.BEN EZRA, mathématicien arabe duXIesiècle posa le problème suivant :"et si on dit : un homme

est entré dans un verger et il y a cueilli des fruits. Mais le verger avait trois entrées, gardées chacune par un

gardien. Cet homme donc partagea équitablement les fruits avec le premier gardien et lui donna 2 de plus, puis

il partagea équitablement avec le deuxième et lui en donna 2 de plus, enfin il partagea équitablement avec le

troisième, lui en donna 2 de plus, et il sortit en ayant seulement un fruit. Combien de fruits a-t-il cueillis?"

Trouver la solution du problème deBEN EZRA. 1,5 pt ??EXERCICE 2 5 POINTS

ROGER FEDERERrecordman de tennis (17 titres de grand chelem et 237 semaines consécutives en tant que

numéro 1 mondial) veut tester l"efficacité de deux balles de tennis de marqueAetB. Pour cela, il laisse tomber

en chute libre les deux balles d"une hauteur de 2m et constate que la balle de marqueAperd le dixième de

sa hauteur après chaque rebond tandis que la hauteur de la balle de marqueBdiminue de 10cm après chaque

rebond.

SoitAnla hauteur en centimètres de la balle de marqueAaprèsnrebonds etBncelle en centimètres de la

balle de marqueBaprèsnrebonds.

1. Donner l"expression deAn+1en fonction deAnet celle deBn+1en fonction deBn. 1 pt

2. CalculerA5etB52 pts

3. La balle la plus efficace est celle qui rebondie le plus longtemps avant son arrêt complet.

a) CalculerA20etB20. 1 pt b) Quelle est alors la balle la plus efficace? 1 pt ??PROBLEME 12 POINTS

Partie A : 6 Points

Sur la figure ci-contre,ABCet

CADsont deux triangles isocèles

tels que :AB=AC=CD= 4, Mes ?(-→AB,-→AC) =π4

Mes?(--→CD,-→CA) =π2

http://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 1/6• Correction Examen Séquentiel N°5 Première C

1. SoitrAla rotation de centreAqui transformeBenCetrCla rotation de centreCet d"angle-π2

On posef=rC◦rA.(Δ1)est la bissectrice de l"angle?(-→AB,-→AC)et(Δ2)celle de l"angle?(--→CD,-→CA)

a) Déterminer les images parfdeAet deB0,5 pt×2

b) Montrer quef=s(Δ2)◦s(Δ1)et en déduire quefest une rotation dont on précisera le centreΩet l"angle.

1,5 pt

2. SoitSla similitude directe de centreΩqui transformeAenB. On noteC?l"image deCparS,Hle milieu

du segment[BC]etH?son image parS. a) En utilisant le théorème d"Al Kashi, calculerBC1 pt b) En déduire la valeur exacte deΩA1 pt c) Calculer

ΩBΩAet en déduire le rapport deS1 pt

d) Déterminer l"angle de la similitudeS. 0,5 pt

Partie B : 6 points

ξdésigne un espace affine muni d"un repère orthonormé direct(O,-→i ,-→j ,-→k). on donneA(2;-1;0),B(2;1;1),

C(1;0;1)etD(1;2;1).

1. a) Montrer que les pointsA,BetCdéfinissent un plan que l"on notera par(P). 0,5 pt

b) Ecrire une équation cartésienne du plan(P). 0,5 pt

2.(Δ)est la droite passant parDet orthogonale au plan(P).

a) Donner une représentation paramétrique de(Δ). 0,5 pt b) Déterminer les coordonnées du pointE, intersection de(P)et(Δ). 0,5 pt c) Calculer la distance deDà(P)et la comparer àDE. 1 pt

3. Justifier queABCDest un tétraèdre et calculer son volume. 1 pt

4.(Γ)est l"ensemble des pointsM(x,y,z)deξvérifiant :

x

2+y2+z2-2x-4y-2z+ 2 = 0.

a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de(Γ). 1 pt

b) Etudier l"intersection de(Γ)et(P). 1 pthttp://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 2/6•

Correction Examen Séquentiel N°5 Première C ??CORRECTION? ??EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résolvons le système

a+b+c= 14 1a +1b +1c =78 oùa,betcsont les termes consécutifs d"une suite géomé- trique décroissante. Puisquea,betcsont les termes consécutifs d"une suite géométrique on a la relationb2=ac.

Ainsi,?

a+b+c= 14 1a +1b +1c =78 a+b+c= 14 bcabc +acabc +ababc =78 ?a+b+c= 14 bcb 3+b2b 3+abb 3=78 ?a+b+c= 14 ab+b2+bcb 3=78 a+b+c= 14 a+b+cb 2=78 a+b+c= 14 14b 2=78 ???a+b+c= 14

7b2= 112

???a+b+c= 14 b 2= 16 ???a+b+c= 14 b= 4ou b=-4 pourb= 4on a :?a+c= 10 ac= 16aetcsont solutions de l"équa- tionx2-10x+ 16 = 0

Δ = 100-64 = 36 = 62

x

1=10-62

= 2etx2=10 + 62 = 8pourb=-4on a :?a+c= 18 ac= 16aetcsont solutions de l"équationx2-18x+ 16 = 0

Δ = 324-64 = 260 = (2⎷65)

2 x

1=18-2⎷65

2 = 9-⎷65etx2=18 + 2⎷65 2

9 +⎷65

La suite étant décroissante on aa > b > c. Ainsi on aa= 8,b= 4etc= 2

2. Trouvons la solution du problème deBEN EZRA.

Soitxle nombre total de fruits qu"il a cueilli. Que lui reste-il après chaque partage? ?Après le premier gardien, il lui restex2 -2fruits ?Après le deuxième gardien, il lui restex2 -22 -2fruits ?Après le troisième gardien, il lui restex2 -22 -22 -2fruits

On a donc

x2 -22 -22 -2 = 1http://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 3/6• Correction Examen Séquentiel N°5 Première C x 2 -22 -22 -2 = 1??x2 -22 -22 = 3 x2 -22 -2 = 6 x2 -22 = 8 x2 -2 = 16 x2 = 18 ??x= 36

Donc l"homme avait cueilli 36 fruits.

??EXERCICE 2 5 POINTS

1. Donnons l"expression deAn+1en fonction deAnet deBn+1en fonction deBn.

A n+1=An-110

An=910

An. D"où(An)est une suite géométrique de raison910 et de premier terme A

0= 200.

B n+1=Bn-10. Donc(Bn)est une suite arithmétique de raison -10 et de premier termeB0= 200

2. CalculonsA5etB5

On a :An= 200?910

n etBn= 200-10n.

DoncA5= 200?910

5 = 200×0,95= 200×0,59049 = 118,098 B

5= 200-10×5 = 200-50 = 150

3. a) CalculonsA20etB20 A

20= 200×0,920= 200×0,12157665459056928801 = 24,315330918113857602

B

20= 200-10×20 = 200-200 = 0

b) La balle la plus efficace est sans aucun doute la balle de marqueA. ??PROBLEME 12 POINTS

Partie A : 6 Points

1.f=rC◦rA

a)f(A) =rC◦rA(A) =rC(A) =Detf(B) =rC◦rA(B) =rC(C) =C b) Montrons quef=s(Δ2)◦s(Δ1) r

Les droites(Δ1)et(Δ2)sont sécantes enΩdoncfest la rotation de centreΩet d"angleα=π4

-π2 =-π4 2. a) CalculonsBC D"après Al Kashi, on a :BC2=AB2+AC2-2AB.AC.cos?BAC= 42+ 42-2×4×4×cos(π4

DoncBC2= 32-32⎷2

2 = 32-16⎷2 = 16(2-⎷2)

BC= 4?2-⎷2

http://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 4/6• Correction Examen Séquentiel N°5 Première C b) Valeur exacte deΩA Le triangleAHCest rectangle enHdonc on a :AC2=AH2+HC2 AH

2=AC2-HC2=AC2-BC24

= 42-16(2-⎷2) 4 = 16-4(2-⎷2) = 8 + 4 ⎷2 = 4(2 + ⎷2)

AH= 2?2 +

⎷2

ΩA= 2AH= 4?2 +

⎷2 c) Le quadrilatèreACΩBest un losange doncΩB=AC.

Ainsi,

ΩBΩA=ACΩA=44

?2 + ⎷2 =1?2 + ⎷2 . DoncSest la similitude de rapport1?2 + ⎷2

d) La mesure de l"angle de la similitudeSest la mesure de l"angle?(-→ΩA,-→ΩB)qui estπ8

.Partie B : on donneA(2;-1;0),B(2;1;1),C(1;0;1)etD(1;2;1).

1. a) Montrons que les pointsA,BetCdéfinissent un plan.-→AB(0;2;1)et-→AC(-1;1;1). De plus,0-1?=21

?=11 . Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas deux

à deux proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires et par conséquent, les pointsA,BetCforment

un plan(P). b) Equation cartésienne du plan(P)

Pour tout pointM(x;y;z)de(P), on a :(P) :?

?x= 2-β y=-1 + 2α+β z=α+β??? ?β= 2-x y=-1 + 2α+β

α=z-β

Ainsi, on a :y=-1 + 2(z-2 +x) + 2-x??y=x+ 2z-3.

D"où(P) :x-y+ 2z-3 = 0

2.(Δ)est la droite passant parDet orthogonale au plan(P).

a) Représentation paramétrique de(Δ) Un vecteur normal de(P)est un vecteur directeur de(Δ). Donc on a :(Δ) :? ?x= 1 +t y= 2-t z= 1 + 2t b) Coordonnées du pointE, intersection dev(P)et(Δ).

PosonsE(x0;y0;z0).

E?(Δ)???

?x

0= 1 +t

y

0= 2-t

z

0= 1 + 2thttp://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 5/6•

Correction Examen Séquentiel N°5 Première C

E?(P)??x0-y0+ 2z0-3 = 0

x

0-y0+ 2z0-3 = 0??1 +t-(2-t) + 2(1 + 2t)-3 = 0

??6t-2 = 0 ??t=13 ?x

0= 1 +t

y

0= 2-t

z

0= 1 + 2t???

????x

0= 1 +13

y

0= 2-13

z

0= 1 +23

????x 0=43 y 0=53 z 0=53

DoncE?43

;53 ;53 c) Calculons la distance deDà(P)et comparons àDE d(D,(P)) =|1-2 + 2-3|?1

2+ (-1)2+ 22=2⎷6

=⎷6 3 DE=?? 13 2 -13 2 +?23 2 =?1 9 +19 +49
=?6 9 =⎷6 3

DoncDE=d(D,(P))

3. Justifions queABCDest un tétraèdre et calculons son volume

d(D,(P))?= 0doncD???(P). Par conséquent, les pointsA,B,CetDne sont pas coplanaires et forment donc un tétraèdre. SiABCest la base de ce tétraèdre, la hauteur estDE. On a :

AB=?(2-2)2+ (1 + 1)2+ (1-0)2=⎷5

AC=?(1-2)2+ (0 + 1)2+ (1-0)2=⎷3

BC=?(1-2)2+ (0-1)2+ (1-1)2=⎷2. On constate queAB2=BC2+AC2doncABCest un triangle rectangle enC.

Ainsi, l"aire du triangleABCest :BC×AC2

=⎷2×⎷3 2 =⎷6 2 Le volume du tétraèdre est donc égale :V=13

×⎷6

2

×⎷6

3 =618 =13

4.(Γ) :x2+y2+z2-2x-4y-2z+ 2 = 0

a)x2+y2+z2-2x-4y-2z+ 2 = 0??(x-1) + (y-2) + (z-1)-4 = 0. Donc(Γ)est la sphère de centreDet de rayonr= 2. b)d(D,(P))< rdonc(Γ)∩(P)est le cercle de centreEet de rayonR=? ???2 2-? ⎷6 3 2 =?4-23 ?10 3 =⎷30 3 .http://arthurjorge.unblog.frMars 2013• Page 6/6•quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46