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Correction de l"épreuve de mathématiques du CRPE 2013 du sujet du PG3

Denis Vekemans

Exercice 1

Affirmation 1Tout prisme droit a deux fois plus d"arêtes que de faces. Faux!Un prisme droit à base triangulaire possède9arêtes et5faces; et,9= 25.

Affirmation 2

Le triangleABDa la même aire que le triangleABC.

Vrai!Ces deux triangles ont la même hauteurAD(en tant que longueur) relativement au côté[AB].

Affirmation 3

Le volumeVde ce pavé droit est multiplié par4. Faux! Pavé droit avant transformationPavé droit après transformation

LongueurL1,5L

Largeurll

Hauteurh2h

VolumeLlh1,5Ll2h= 3Llh

Le volume est donc multiplié par3et non par4.

Affirmation 4

La taille moyenne des élèves de la classe est167cm. Vrai!La taille moyenne d"un élève de la classe est (en centimètres) :

14162 + 10174

24= 167

Affirmation 5

Le produit de deux nombres pairs consécutifs est divisible par8. Vrai!Parmi deux nombres pairs consécutifs, l"un des deux est multiple de4. Et le produit d"un multiple de4et d"un multiple de2est forcément un multiple de8.

Exercice 2

1. En appliquant la propriétéPau nombre164 330 258 647, la somme des chiffres de164 330 258 647

est49et le reste de la division de49par9est4(car49 = 59 + 4), donc, le reste de la division de

164 330 258 647par9est4également.

?. Université du Littoral Côte d"Opale; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville; 50, rue Ferdi-

nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France 1

CRPEPG32013

2.abcd=a1 000 +b100 +c10 +d.

(a) abcd=a1 000 +b100 +c10 +d =a+b+c+d+a999 +b99 +c9 =a+b+c+d+ 9(111a+ 11b+c)? on pose cet entier naturel égal àk =a+b+c+d+ 9k. (b) Soientqle quotient etrle reste dans la division euclidienne de abcdpar9: abcd=q9 +ravec0r <9. Soientqle quotient etrle reste dans la division euclidienne dea+b+c+dpar9: a+b+c+d=q9 +ravec0r<9. Mais, en remplaçant la nouvelle expression dea+b+c+ddans l"expression de abcdde la question précédente, on obtient : abcd=q9 +r+ 9k= (q+k)9 +ravec0r<9. Et, par unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne de abcdpar9, on obtient : q=q+ketr=r.

3. Un entier naturel est divisible par9si et seulement si le reste dans la division euclidienne de cet entier

naturel par9est nul. Il résulte donc immédiatement (il s"agit du cas où les restes considérés sont nuls)

de la propriétéPque :

"Un entier naturel est divisible par9si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par9."

4.18 = 232. Les diviseurs de18sont donc1,2,3,6,9,18.

La somme des chiffres de164 330 258 643est45qui est divisible par9, donc164 330 258 643est aussi divisible par9. Et,9est un diviseur commun à18et164 330 258 643.

18est un nombre pair et n"est donc pas un diviseur de164 330 258 643(qui est un nombre impair).

18n"est donc pas un diviseur commun à18et164 330 258 643.

Conclusion: le plus grand diviseur commun à18et164 330 258 643est9.

Problème

Partie A

1.AB= 480m.AC= 360m.BC= 600m.

On aAB2+AC2=BC2car4802= 230 400;3602= 129 600;6002= 360 000; et230 400+129 600 =

360 000.

Ainsi, par la réciproque du théorème de Pythagore, on déduit que le triangleABCest rectangle enA.

Denis Vekemans -2/5-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

CRPEPG32013

2. (a) L"angle droit enAdu triangleABCpermet de dire que[AC]est hauteur du triangleABCissue

deC(relativement à la base[AB]). L"aire du triangleABCest donc (ABC) =ABAC

2=4803602m2= 86 400m2.

(b) SoitHle pied de la hauteur issue deAdans le triangleABC(relativement à la base[BC]).AH est la distance du pointAà la droite(BC). L"aire du triangleABCest donc (ABC) =AHBC

2=AH6002m= 86 400m2.

Puis,

AH=286 400

600m= 288m.

Partie B

1. Un tour de parcours mesureAB+BC+CA= 480m+ 600m+ 360m= 1 440m.

Deux tours de parcours mesurent donc21 440m= 2 880m. À la vitesse moyenne de8km/hou8 000m/h, il faut2 880

8 000h= 0,36h(par définition de la vitesse

moyenne). On convertit0,36hen secondes :0,36h= 0,363 600s= 1 296s; puis en heures, minutes, secondes en divisant euclidiennement1 296par60(1 296 = 2160+36), ce qui donne une durée de21minutes et36secondes.

2. (a) La formule=E$1/(C4+D4/100)ne donne pas le bon résultat car1minse convertit en60set

non pas en100s. Il faut remplacer cette formule par=E$1/(C4 +D4/60). (b) Le$devant le1permet de fixer la ligne1lors d"un recopiage d"une formule (et c"est le but recherché parce que la distance parcourue est toujours à prendre dans la ligne1). Sans ce$dans le calcul de la celluleE4, le logiciel aurait bien pris en considération pourE1la valeur contenue dans la celluleE1.

Mais, le copié/collé de cette formule avecE1au lieu deE$1de la celluleE4à la celluleE5aurait

remplacéE1parE2dans la formule collée alors que la distance parcourue est donnée enE1et non pas enE2.

Partie C

1. (a) SiJest à égale distance des pointsBetC, il est sur la médiatrice du segment[BC]. SiJest à égale

distance des pointsAetC, il est sur la médiatrice du segment[AC]. Ainsi,Jest à l"intersection

de deux des médiatrices du triangleABC(de la troisième aussi) et est par conséquent le centre

du cercleΓcirconscrit au triangleABC. De plus, comme le triangleABCest rectangle enA(voir partie A),[BC]est un diamètre du cercleΓetJest le milieu du segment[BC]. Denis Vekemans -3/5-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

CRPEPG32013

(b)Remarque. "Construire, à la règle et au compas, le triangleABCà l"échelle1/5 000" doit être

lu comme "Construire, à la règle graduée et au compas, le triangleABCà l"échelle1/5 000" car

sans outil de mesure, il est impossible de tenir une échelle en compte àpartir d"une figureà main

levée.

À l"échelle1/5 000,

-AB= 480mest représenté parABmesurant48 000

5 000cm= 9,6cm;

-AC= 360mest représenté parACmesurant36 000

5 000cm= 7,2cm;

- etBC= 600mest représenté parBCmesurant60 000

5 000cm= 12cm.

Algorithme de construction du triangleABCà l"échelle1/5 000, et deJ. - On construit un segment[BC]mesurant12cm. - On trace un cercleΓBde centreBet de rayon9,6cm. - On trace un cercleΓCde centreCet de rayon7,2cm. -ΓBetΓCse coupent en deux points dont l"un que l"on nommeA. - On placeJsur le segment[BC]tel queBJmesure6cm(carJest le milieu du segment[BC]).

2.Kest milieu de[AB]etJest milieu de[BC], donc, par le théorème des milieux appliqué au triangle

ABC, en particulier,(KJ)//(AC), puis(KJ)//(AI).Iest milieu de[AC]etJest milieu de[BC], donc,

par le théorème des milieux appliqué au triangleABC, en particulier,(IJ)//(AB), puis(IJ)//(AK).

Ainsi, le quadrilatèreAIJKa ses côtés opposés parallèles et est un parallélogramme.

De plus, l"angle enAdu parallélogrammeAIJKest droit (voir partie A), doncAIJKest unrectangle.

3. Il faut montrer dans cette question que la droite(KI)est la médiatrice du segment[HA].

Denis Vekemans -4/5-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

CRPEPG32013

Kest milieu de[AB]etIest milieu de[AC], donc, par le théorème des milieux appliqué au triangle

ABC, en particulier,(KI)//(BC), mais comme(AH)(BC)(par définition de la hauteur), on déduit

que(AH)(KI)(quand deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l"une, est perpendiculaire

à l"autre).

SoitLle point d"intersection des droites(AH)et(KI). Dans le triangleAHB,Kest milieu de[AB]et Lde la droite(AH)est tel que(KL)//(BH)(ou(KI)//(BC)), donc, par la réciproque du théorème des milieux,Lest milieu de[AH]. Enfin, la droite(KI)est perpendiculaire à la droite(AH)et passe par le milieuLdu segment[AH], on déduit alors que la droite(KI)est la médiatrice du segment[HA]. Denis Vekemans -5/5-Mathématiques et sciences expérimentales et technologiequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46