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TRIGONOMÉTRIE - Chapitre 1/3

Partie 1 : Cercle trigonométrique et radian

1) Le cercle trigonométrique

Définition : Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Définition :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé

et orienté dans le sens direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.

2) Le radian

Propriété :

La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2p. En effet, son rayon est 1 donc P = 2pR = 2p×1 = 2p. Ainsi, à un tour complet sur le cercle, on peut faire correspondre le nombre réel 2p. On définit alors une nouvelle unité d'angle : le radian, tel qu'un tour complet mesure 360° ou 2p radians.

3) Correspondance degrés et radians

Ainsi, à 2p radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 360°. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Méthode : Passer des degrés aux radians et réciproquement

Vidéo https://youtu.be/-fu9bSBKM00

1) Donner la mesure en radians de l'angle de mesure 33°.

2) Donner la mesure en degrés de l'angle de mesure

radians.

Angle en degré

0°

30°

45°

60°

90° 180° 360°

Angle en radian 0

6 4 3 2 p 2p

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Correction

1) ?=33×

2) ?= = 67,5°

Partie 2 : Mesure d'un angle orienté

1) Lire sur le cercle trigonométrique

Exemple :

On a représenté ci-dessous des mesures remarquables sur le cercle trigonométrique.

Par exemple,

correspond à l'angle droit, soit 90°. Mais il est possible de faire la lecture dans l'autre sens (le sens négatif ou indirect), ce qui donne -

3í µ

2

Les mesures

et -

3í µ

2 sont donc associées à un même point sur le cercle.

Radians

2í µ

3í µ

8

Degrés 360° 33° ?

3 sur 6

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Comme la lecture s'effectue sur un cercle, il est également possible de faire plusieurs fois le tour.

Cela qui donne par exemple

en effectuant un tour supplémentaire.

Les mesures

et sont donc associées à un même point sur le cercle. Méthode : Lire une valeur sur le cercle trigonométrique

Vidéo https://youtu.be/NGZKQf9eLyg

Lire sur le cercle trigonométrique le nombre associé au point A : a) Sur l'intervalle [0;2í µ]. b) Sur l'intervalle [-í µ;í µ].

Correction

a) Sur l'intervalle [0;2í µ], le nombre associé au point A est

En effet,

appartient bien à l'intervalle [0;2í µ].

On compte " 5×

dans le sens direct.

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) Sur l'intervalle [-í µ;í µ], le nombre associé au point A est -

3í µ

4

En effet, -

3í µ

4 appartient bien à l'intervalle [-í µ;í µ]. Méthode : Placer un point sur le cercle trigonométrique

Vidéo https://youtu.be/7VAFJXLB9u0

Placer sur le cercle trigonométrique :

a) Le point A associé au nombre b) Le point B associé au nombre c) Le point C associé au nombre d) Le point D associé au nombre -

9í µ

2

Correction

a)

On compte " 3× -

4 dans le sens indirect.

5 sur 6

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b)

9í µ

4

8í µ

4 4 =2í µ+ 4 correspond à un tour complet dans le sens direct + Le point B a la même position sur le cercle que le point associé à c)

8í µ

3

6í µ

3

2í µ

3 =2í µ+

2í µ

3 correspond à un tour complet dans le sens direct + Le point C a la même position sur le cercle que le point associé à d)-

9í µ

2

8í µ

2 2 =-4í µ- 2

9í µ

2 correspond à deux tours complets dans le sens indirect - 2 Le point D a la même position sur le cercle que le point associé à - 2

2) Mesure principale d'un angle orienté

On a vu qu'un point sur le cercle trigonométrique peut être associé à plusieurs valeurs. Définition : La mesure principale d'un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres, se situe dans l'intervalle

Exemple :

Une mesure d'un angle est

0"

D'autres mesures sont :

0" - 2p ; 0" - 4p ; 0" - 6p ; ... soit : - 4

9í µ

4

17í µ

4

6 sur 6

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4 est la mesure principale de cet angle car c'est la seule comprise dans l'intervalle Méthode : Donner la mesure principale d'un angle

Vidéo https://youtu.be/BODMdi2S3rY

Donner la mesure principale de l'angle

$0"

Correction

- On choisit un multiple de 4 proche de 27, soit 28 :

27í µ

4

28í µ

4 4 =7í µ- 4 - Dans , on fait apparaître un multiple de 2í µ, soit 6í µ :

27í µ

4 =6í µ+í µ- 4 =6í µ+

4í µ

4 4 =6í µ+

3í µ

4

6í µ correspond à 3 tours entiers.

est bien compris dans l'intervalle

La mesure principale de

$0" est 7Ï€

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