[PDF] [PDF] Mécanique Mouvement de charges dans un champ ( E, B)

[PDF] Mouvement dune particule chargée dans un champ magnétique

Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique, avec frottement 14 mai 2012 1´Equations du mouvement et trajectoire On suppose q > 0, et 

[PDF] Chapitre 6 :M ouvement dune particule chargée dans un champ

Dans un référentiel galiléen, une particule de charge q et de vitesse v C Chapitre 6 : Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique

[PDF] particules chargées dans un champ électrique et magnétique - LESIA

Une particule de charge q mobile, de vitesse v, plongée dans un champ électrique E et dans un champ magnétique B, subit la force de Lorentz: F = q (E + v Λ B)

[PDF] Particule chargée dans un champ magnétique avec frottement

Particule chargée dans un champ magnétique avec frottement Dans un référentiel galiléen de repère d'espace R O , ux , uy , uz des particules 

[PDF] Mouvements de particules chargées dans des champs électriques

des champs électriques et magnétiques I – Champ électrique seul : 1 - Analogie formelle : On considère une particule chargée ponctuelle M (+ q) de masse m en la force que le liquide exerce sur le proton par une force de frottement fluide

[PDF] Mécanique Mouvement de charges dans un champ ( E, B)

Le champ magnétique créé par une charge en mouvement est tel que : Bcréé ∝ µ0 × La trajectoire d'une particule dans un champ électrique uniforme et constant est une parabole (les « chocs ») par une force de frottement de type fluide :

[PDF] 04 Mouvement dune particule dans un champ magnétique

Il n'y a pas de frottement car le mouvement se fait dans le vide La relation Une particule chargée entrant dans un champ magnétique avec une vitesse

[PDF] Mouvement de particules chargées dans les champs électrique et

Soit une particule de charge q, de masse m, animée d'une vitesse v " M,t ( ), dans un 2-Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme et cristallin sont modélisées par une force de frottement fluide du type -kv "

[PDF] Examen Médian P16 Exercice 1 (environ 10 pts)

Rappeler l'expression générale de la force de Lorentz subie par une particule chargée de charge q, de masse m , dans un champ magnétique B et dans un 

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Mécanique

Chapitre 7

Mouvement de charges dans un

champ(?E,?B) PCSI1, Fabert (Metz)I - Force subie par une charge

Mouvement de charges dans un

champ(?E,?B) Nous savons déjà que les charges, immobiles ou en mouvements, sont des sources de champ

électrique et magnétique. Nous allons voir dans ce chapitrequ"en plus d"être source du champ, elles

subissentdes effets dus à la présence de ces champs, des effets mécaniques. Ainsi dans ce chapitre, nous verrons comment le mouvement des charges est influencé par la

présence de champs électrique ou magnétique statiques. Si dans la première partie, nous nous inté-

resserons aux mouvements de particules " seules » dans l"espace, nous verrons dans la deuxième partie

l"interaction entre le champ magnétique et le mouvement d"ensemble de charges appelé " courant

électrique ».

I - Force subie par une charge

I·1 - La force électromagnétique

I·1·i- expressions

Lversion force deLorentz

GCette force est " donnée » par les lois de la nature. C"est une des lois de base. La force subie par un point matériel de chargeqplongé dans un champ électromagnétique est laforce deLorentzqui s"écrit : f=q??E(M(t))+?v(t)??B(M(t))? avec Ü?v(t)la vitesse du point matériel par rapport au référentiel d"étude Ü?E(M(t))et?B(M(t))les champs?Eet?Bà l"endroitM(t)où se trouve le point matériel à l"instantt

!ne pas confondre?EM(t)avec?E(M,t). Le premier est le champ à l"endroit où se trouve le pointMà

l"instanttalors que le 2esous-entend que le champ?Eesta priorinon uniforme et non constant.

Autrement dit dans le premier cas, nous nous intéressons à lavaleur du champ en un point bien précis

de l"espace, alors que dans le 2 enous sommes plutôt en train de considérer la totalité du champ dans son ensemble.

GComme ici, " ce » qui exerce la force est le champ(?E,?B), il n"estpas possibled"appliquer la 3eloi

deNewtonqui, rappelons-le, ne concerne que despoints matériels. GInsistons : la 3eloi deNewtonreste valable, c"est juste que la force deLorentzn"entre pas dans son champ d"application.

Lversion force deCoulomb

GNous connaissons le champ créé par une charge ponctuelle (ouau moins de symétrie sphérique), nous

pouvons donc en déduire la force qu"elle exerce : ©Matthieu Rigaut1 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·1 - La force électromagnétique La force exercée par une charge immobileq1sur une autre charge immobileq2s"écrit : f1→2=q1q2

1M2M1M23

q1?u1→2 q2?f1→2 GMême si cette loi n"est en toute rigueur valable que pour des charges immobiles, elle reste une

excellente approximation pour des charges en mouvement à des vitesses faibles devant la lumière et

pas trop éloignées l"une de l"autre. GCette deuxième approximation (l"éloignement) sera précisé en 2eannée. La force deCoulombest une force newtonienne qui s"écrit : f=-k r2?uraveck=-q1q24π ε0.

GNous constatons que deux charges de même signe ont tendance àse repousser alors que deux charges

de signes opposés ont tendance à s"attirer. La force deCoulombpeut-être attractive ou répulsive.

Lforce magnétique

GNous en reparlerons dans la suite du chapitre lorsque nous aurons vu le lien entre un courant et le mouvement d"une charge.

GNous retiendrons :

Le champ magnétique créé par une charge en mouvement est tel que : B créé?μ0×qsourcevsource r2 GNous allons voir pourquoi nous allons systématiquement le négliger.

I·1·ii- ordres de grandeur

Valeurs fondamentales :

Ücharge élémentaire :e= 1,6.10-19C

Ümasse de l"électron :me= 9.10-31kg

Ümasse du proton :mp= 1,7.10-27kg

LversionLorentz

Ypartie électrique

©Matthieu Rigaut2 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·1 - La force électromagnétique

GUne pile plate de4,5 Vdont les deux électrodes sont séparées de1 cmengendre un champ électrique

de450 V.m-1.

GPour qu"il y ait une étincelle dans de l"air sec, il faut que lechamp électrique dépasse les3 MV.m-1.

GPrenons un champ très faible de103V.m-1et comparons la force deLorentzsubie par un proton

à son poids :

?fL? ??P?=eEmg=1,6.10-19×1031,7.10-27×10= 1010 GNous pouvons donc négliger le poids devant la force deLorentz.

Ypartie magnétique

GLe champ magnétique créé par la Terre est de l"ordre de10-5T, celui par un magnet de10-3T. GEn laboratoire, il n"est pas très difficile d"obtenir des champs de l"ordre de 0,1 à1 T. GExprimons le rapport de la force deLorentzsur le poids : ?fL? ??P?=evBmg=vvcritavecvcrit=mgeB=1,7×10-27×101,6×10-19×0,1= 10-5m.s-1

GDès qu"une particule va à des vitesses bien supérieure à la vitesse critique précédente, nous pourons

négliger l"influence du poids.

Yconclusion

Au niveau des particules élémentaires, le poids sera toujours négligeable devant la force deLorentz.

!s"il s"agit d"objets macroscopiques chargés (cf. électricité statique), le poids ne sera pas forcément

négligeable. Hpour pouvoir négliger le poids devant la force deLorentz, il faut que cette dernière existe.

LversionCoulomb

GÉcrivons le rapport entre la force deCoulombet le poids d"un proton : ?fC? ??P?=q 2

4πε0r2

mg=r02r2avecr02=q1q24πε0mg=(1,2×10-19)24π×10-936π×1,7×10-27×10= 10 -2m2

GCe qui donner0?10 cm.

GAinsi dès que deux charges sont prochesr <10 cmle poids devient négligeable devant la force de

Coulomb.

I·1·iii- vision énergétique

©Matthieu Rigaut3 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Exemples fondamentaux

LversionLorentz

La force deLorentzest conservative s"il n"y a pas de champ magnétique et que le champ électrique ne dépend pas du temps. Dans ces conditions, une chargeqpossède l"énergie potentielle E p=q V GPour le montrer, partons de l"expression de la force deLorentzcompte-tenu de l"absence du champ magnétique. f=q(?E+?v??B) =q?E GComme le champ électrique est électrostatique, nous avons GCe qui montre bien que la force est conservative.

LversionCoulomb

La force deCoulombdérive de l"énergie potentielle E p=q1q2

4πε0roù

rest la distance entre les deux charges. GLa démonstration a déjà été faite dans le cadre des forces newtoniennes.

GEn effet, une force newtonienne?f=-k

r2?urest associée à l"énergie potentielleEp=-kret la force deCoulombest une force newtonienne aveck=-q1q2

4πε0.

I·2 - Exemples fondamentaux

I·2·i- mouvement dans un champ?Euniforme et constant

Lprésentation, analyse

GConsidérons une particule de chargeqen mouvement dans un champ électrique uniforme et cons- tant?E. ?uz ?u y ?ux O ?v0 ?E t= 0

GAnalyse physique :

Ücomme il s"agit d"une particule dans un champ, le mouvement sera essentiellement déterminé par la force deLorentz

Üici il y a trois degrés de libertéa prioripuisque la particule peut se mouvoir dans les trois

directions de l"espace ©Matthieu Rigaut4 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Exemples fondamentaux Üla force deLorentzàtoutinstant et la vitesse àl"instant initialétant dans le même plan(?E,?v0), l"ensemble du mouvement se fera dans ce plan donc il n"y a quedeux degrés de description Üles grandeurs pertinentes sontm(inertie),q,E(action) ainsi quev0et un angle entre?v0et ?E.

GAnalyse technique :

Üchoisissons le repérage de telle sorte qu"un axe soit parallèle à?E Ü2 degrés de description, nous allons utiliser un PFD O ?uz ?u y?v0α ?E t= 0

Léquation d"évolution

GEn négligeant le poids devant la force deLorentz, le PFD appliqué à la particule dans le référentiel

galiléen du laboratoire donne : m?a(t)=q?E??a(t)=q m?E

GIl s"agit d"un mouvement uniformément accéléré et donc d"uncas que nous avons déjà rencontré lors

de l"étude de la chute libre.

Lrésolution

GLa résolution est très rapide (ne pas oublier les conditionsinitiales) ?d 2x dt2(t)= 0 d 2y dt2(t)= 0 d 2z dt(t)= 0 dy dt(t)=v0cosα dz y(t)= (v0cosα)t z(t)=qE t22m+ (v0sinα)t GPour avoir la trajectoire, éliminonstentrey(t)etz(t) t=y v0cosα?z=q E2mcos2α×t2+ (tanα)t La trajectoire d"une particule dans un champ électriqueuniformeetconstantest une parabole ou une droite suivant les conditions initiales. ©Matthieu Rigaut5 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Exemples fondamentaux I·2·ii- mouvement dans un champ?Buniforme et constant

Lprésentation, analyse

GConsidérons une particule de chargeqen mouvement dans un champ électrique uniforme et cons- tant?B. ?uz ?u y ?ux O ?v0 ?B t= 0

GAnalyse physique :

Ücomme il s"agit d"une particule dans un champ, le mouvement sera essentiellement déterminé par la force deLorentz

Üici il y a trois degrés de libertéa prioripuisque la particule peut se mouvoir dans les trois

directions de l"espace Üla force deLorentzàtoutinstant orthogonale à?Bet comme à l"instant initial la vitesse n"estpasorthogonale à?Baussi, nous pouvons en déduire que le mouvement ne serapasplan. Üles grandeurs pertinentes sontm(inertie),q,B(action) ainsi quev0et un angle entre?v0et ?B.

GAnalyse technique :

Üchoisissons le repérage de telle sorte qu"un axe soit parallèle à?Bet que, dans le plan orthogonal

à?B, la vitesse soit suivant un seul axe.

Üil y a 3 degrés de description donc nous allons utiliser un PFD v// v ??v0?B ?uz ?u y O ?ux?u y ?v? ?B t= 0

Léquations d"évolution

GComme il s"agit d"un mouvement d"une particule dans un champ, nous pouvons négliger le poids

devant la force deLorentzet ainsi le PFD appliqué à la particule dans le référentiel galiléen du

laboratoire s"écrit m?a(t)=q?v(t)??B??a(t)=q m×(((( v x(t) v y(t) v z(t))))) 0 0 B)))) GUne fois le calcul des composantes du produit vectoriel effectué, nous arrivons à ©Matthieu Rigaut6 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Exemples fondamentaux ?d 2x dt2(t)=qBmvy(t) d 2y dt2(t)=-q Bmvx(t) d 2z dt2(t)= 0

Lrésolution

Ysuivant?B

GIl s"agit de la projection sur?uz

d 2z dt2(t)= 0?dzdt(t)= Cte=v//?z(t)=v//t GIl s"agit d"un mouvement uniformesur l"axe parallèle àB.

Ydans le plan orthogonal à?B, méthode 1

GCommençons par réécrire les équations en considérantq >0 ?dvx dt(t)=ωcvy(t) dvy dt(t)=-ωcvx(t)oùωc=q B m

ωc=|q|Bmest appelée lapulsation cyclotron.

GLe nom s"expliquera de lui-même au sous-paragraphe suivant.

GNous pouvons ainsi résoudre par substitution

v x(t)=-1 ωc×vy(t)?-1ωc×d2vydt2(t)=ωcvy(t)?d2vydt2(t)+ωc2vy(t)= 0

GDe même

v y(t)=1 ωc×vx(t)?1ωc×d2vxdt2(t)=-ωcvx(t)?d2vxdt2(t)+ωc2vx(t)= 0 GEt ainsi, en rapprochant les deux équations, cela donne ?d 2vx dt2(t)+ωc2vx(t)= 0 d 2vy dt2(t)+ωc2vy(t)= 0?? v x(t)=Acos(ωct)+Bsin(ωct) v y(t)=A?cos(ωct)+B?sin(ωct) ©Matthieu Rigaut7 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Exemples fondamentaux

GLes conditions initiales se voient sur le schéma pourvx(0)etvy(0)et se trouvent à l"aide des équations

différentielles pour dvx dt(0)etdvydt(0) v x(0)= 0 v dt(0)=ωcv? dvy dt(0)= 0

GCela donne

v x(0)=v?sin(ωct)etvy(t)=v?cos(ωct)

GCette méthode :

Üprésente l"avantage d"être assez intuitive

Üprésente l"inconvénient de faire appel à des conditions initiales cachées (à cause du fait qu"à

un moment il a fallu dériver une équation pour substituer)

Ydans le plan orthogonal à?B, méthode 2

GIntroduisons une fonction complexe inconnue (comme nous l"avons fait avec le pendule deFoucault) H (t)=vx(t)+ jvy(t). GL"équation différentielle vérifiée parH (t)s"écrit dH dt(t)=dvxdt(t)+ jdvydt(t)=ωcvy(t)-jωcvx(t)=-jωc(vx+ jvy(t)) =-jωcH(t)

GIl s"agit d"une équation différentielle linéaire du premierordre à coefficient constant qui se résout très

vite dH dt(t)+ jωcH(t)= 0?H(t)=H0e-jωct

GOr les conditions initiales donnent

H (0)=vx(0)+ jvy(0)= jv??H(t)= jv?e-jωct

GEt en revenant aux notations réelles

v x(t)=Re?H (t)?= +v?sin(ωct)etvy(t)=Im?H(t)?= +v?cos(ωct)

GIl s"agit bien du même résultat.

GCette méthode :

Üpermet de se contenter des conditions initiales " naturelles » Üfait passer par un intermédiaire de calcul non naturel

GÀ chacun maintenant de choisir sa méthode.

Ytrajectoire dans le plan orthogonal à?B

GÁ partir de l"expression des vitessesvx(t)etvy(t)nous trouvons, toujours en faisant attention aux

conditions initiales x(t)=v? GIl s"agit là d"une trajectoire circulaire uniforme : ©Matthieu Rigaut8 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Exemples fondamentaux

Üde rayonR=?????v

?ωc????? =mv?qB Ücomme ici le signe deωcchange avecq, le mouvement se fait dans le sens indirect pourq >0 et dans le sens direct pourq <0

Yrassemblement

GEn tenant compte du fait queq?0, nous avons

La trajectoire d"une particule dans un champ magnétique uniforme et constant?Best hélicoïdale d"axe la direction de ?Bet de rayonR=mv? |q|Boùv?est la composante de la vitesse dans le plan orthogonal à ?B.

GTout se passe comme si les particules s"enroulaient autour des lignes de champ, les charges positives

et négatives ne s"enroulant pas dans le même sens.

I·2·iii- application au cyclotron

Lprésentation du dispositif

GUn cyclotron est un dispositif qui permet d"accélérer des particules avec un appareillage de taille

modeste surtout par rapport au LHC qui mesure 27 km de circonférence : un cyclotron tient aisément

dans une pièce de travail usuelle. GSur la photo ci-dessous, le réglet fait 30 cm.

GUn cyclotron est essentiellement composé

Üde deux dés dans lequels règle un champ magnétique uniforme et constant

Üun espace interdé dans lequel règle un champ électrique contrôlé par un générateur sinusoïdal

?E?B?B

GPour la suite, considérons que :

Üles particules accélérées sont des particulesα(noyaux d"hélium) de chargeq= 2e >0 Ül"ensemble du mouvement est dans le plan du schéma ©Matthieu Rigaut9 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Exemples fondamentaux

Lfonctionnement

Ymouvement dans un dé

GImaginons une particuleαqui arrive dans la zone de transition avec une vitesse?vk. Rk ?vk -?vk ?B GAlors nous savons qu"il aura une trajectoire circulaire :

Üde rayonRk=mvk

2eB

Üde pulsationcyclotronωc=2eB

mGAinsi, pour ressortir, il faudra que l"électron ait fait un demi-tour ce qui correspond à la durée

δt k=T

2=πωc=πm2eB

GRemarquons que cette durée est intrinsèque au dispositif etne dépend pas de la vitesse de la parti-

culeα.

Ymouvement dans la zone de transition

GConsidérons une particuleαqui sort d"un dé à la vitessevket cherchons la vitessevk+1à laquelle

elle arrive dans le dé suivant. A?vk C ?vk+1 ligne de champ ?E isopotentielle

GIci comme la trajectoire est rectiligne et que seule nous intéresse la vitesse, nous allons utiliser une

méthode énergétique.

GFaisons l"approximation que les lignes de champ sont bien rectilignes et donc que les isopotentielle

sont parallèles aux faces planes des dés. GAlors, comme seule agit la force deLorentz, conservative, nous pouvons écrire la conservation de l"énergie pour l"électron entre les pointsAetCce qui donne : ©Matthieu Rigaut10 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·2 - Exemples fondamentaux 1

2mvk2+ 2eVA=12mvk+12+ 2eVC?12mvk+12=12mvk2+ 2e(VA-VC)

GAinsi quandVA> VCla particuleαest effectivement accélérée.

Lcaractéristiques globales

GPour que la particuleαsoit accélérée à chaque passage dans la zone de champ?E, il est nécessaire de

changer le sens des potentiels. GPour cela les faces des dés sont reliées à un générateur sinusoïdal. ?E?B?B e(t) ?v??0 t1

δt1

t2

δt2

t3

δt3

t4

δt4

GLe but est de faire en sorte que pendant que l"électron changede direction, la différence de potentiels

change de signe. e tt1

δt1

t2

δt2

t3

δt3

t4

δt4

Yvitesse maximale

GPrenons un cyclotron tel que

Üle rayon d"un dé vailleR= 50 cm

Üle champ magnétique soit de normeB= 1,0 T

GAlors la trajectoire dans un dé impose :

R mx=mvmax

2eB?vmax=2eB Rmaxm= 2,39306×107m.s-1

GRappelons ici que

m α= 2mp+ 2mnavecmp= 1,6726×10-27kgetmn= 1,6749×10-27kg?mp ©Matthieu Rigaut11 / 42Version du 1 août 2011 PCSI1, Fabert (Metz)I·3 - Sélecteur de vitesse

Ydurée de l"accélération

GÀ chaque demi-tour l"énergie cinétique augmente de2eU0oùU0est l"amplitude de la tension du

générateur sinusoïdal.

GIl faut doncNdemi-tours avecN=Ec,max

2eU0.

GSachant que chaque demi-tour dureδt=2eB

π mnous avons :

Δt=N δt=Ec,max

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