Seconde Chapitre I : Lectures graphiques et généralités sur les fonctions On dit que f est une fonction définie sur D si pour chaque nombre réel x appartenant
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[PDF] Chapitre I : Lectures graphiques et généralités sur les fonctions
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SecondeChapitre I : Lectures graphiques et
généralités sur les fonctionsAnnée scolaire2012/2013
I)Rappels de troisième sur les fonctions :1) Définitions, exemples et notations :
a) Fonction : On considère un ensemble D contenu dans (notationℝ : D )⊂ ℝOn dit que f est une fonction définie sur D si pour chaque nombre réel x appartenantà D elle associe un unique nombre réel y.
Notations :
f: x y ou bien y = f(x)On dit que D est
l'ensemble de définition ou le domaine de définition de la fonction f. b) Images, antécédents : Dans la notation y = f(x) , y est l'image du nombre x par la fonction f et x est un antécédent du nombre y par la fonction f.Remarques :
- Tout nombre x de D n'a qu'une seule image par f - Tout nombre réel y peut ne pas avoir d'antécédent par f , ou en avoir un ou bien plusieurs. Exemple : Si on considère la fonction f définie sur par f( ℝx) = x2 f(5) = 25 c'est-à-dire l'image de 5 par la fonction f est 25 mais, 25 a deux antécédents par f : 5 et -52) Représentations graphiques :
On se donne un repère du plan.
L'ensemble des points M de coordonnées (x;y) avec x∈ D et y = f(x) est appelé courbe représentative de la fonction f.Exemple :
- L'axe des x est celui des abscisses - L'axe des y est celui des ordonnées - Si on appelle (Cf) la courbe représentative de la fonction f, alors on dit que (Cf) a pour équation y = f(x)3) Utilisation de la calculatrice : ( Sur CASIO Graph 35+)a) Calcul d'un tableau de valeurs :
- Dans le menu principal, choisir TABLE - Taper ensuite la fonction f - Grâce à la touche f5 (RANGE) , on peut donner la valeur de x au départ, à la fin puis le pas (pitch) - Ensuite, par la touche f6 (TABLE)Exemple :
Considérons la fonction f définie par f(x) = 3x4 - 7x3 + 2x2 - 9x + 1 sur [-10;10] b) Représentation graphique : - Dans le menu principal, choisir GRAPH. - Sélectionner la fonction à représenter !! ATTENTION !! au choix de l'échelle pour la représentation sur l'écran de la calculatricePour cela, taper sur shift puis F3 (V-Window)
4) Utilisation de quelques logiciels : (Voir en TP)
a) Sine qua non : b) Geogebra : c) Tableur : Open Office CalcII) Intervalles :
1) Les différents cas :
On considère a et b, deux nombres tels que a < bSoit x ∈ ℝ :
Tous les cas possibles sont rassemblés dans ce tableau :EncadrementIntervalleReprésentation
x se situe entre a et ba≤ x≤bx ∈[a;b] [///////////////////] a b a< x< bx ∈]a;b[ ]/////////////////// [ a b a≤ xExemples :
a) x > -5 peut s'écrire : x ∈ ] - 5;+∞[ ou se représenter par : - 5 + ∞ b) - 7 ≤ x ≤ 2 peut s'écrire x ∈ [- 7;2] ou se représenter par : -7 22) Réunions d'intervalles :
On considère deux intervalles I et J.
Dire qu'un nombre x est situé dans I ou dans J se note : x ∈ I∪J (se lit " I union J »)
Exemples :
a) x > 7 ou x≤ - 2 pourra se noter : x ∈ ] -∞;-2]∪] 7;+∞[ b) x appartient à l'ensemble des réels sauf 4 peut se noter : x ∈ ℝ\ {4} ou bien : x ∈ ] -∞;4[∪]4;+∞[III)Equations et inéquations :
1) Rappel : résolution algébrique d'équations
a) Développements :Développer une expression algébrique consiste à l'écrire sous la forme d'une somme. Exemple + rappels de troisième sur les identités remarquables :
A = (3x - 2)2 - (x + 6)2
Développons et réduisons A en utilisant les identités remarquables : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 et (a - b)2 = a2 - 2ab + b2A = 9x2 - 2x3xx2 + 22 - (x2 + 2x xx6 + 62)
= 9x2 - 12x + 4 - x2 - 12x - 36 ( rappel: Quand on supprime des parenthèses précédées d'un signe - ,on change tous les signes) = 8 x 2 - 24 x - 32 b) Factorisation :Factoriser une expression algébrique consiste à l'écrire sous la forme d'un produit.Exemples :
B = (2x + 3)2 + (5x - 1)(2x + 3)
= (2x + 3) [(2x + 3) + (5x - 1)] = (2x + 3) (2x + 3 + 5x - 1) = (2 x + 3) (7 x + 2)On peut reprendre l'exemple A précédent :
A = (3x - 2)2 - (x + 6)2
C'est une expression de la forme a2 - b2 qui se factorise sous la forme : (a + b)(a - b)D'où : A = (3x - 2 + x + 6)(3x - 2 - x - 6)
= (4x + 4)(2x - 8) On peut encore " sortir » un 4 de la première parenthèse et un 2 de la deuxième :D'où : A = 4x2(x +1)(x - 4) = 8( x +1)( x - 4) Rappel de troisième : Avec la forme factorisée, on peut être amené à résoudre des
équations-produits.c) Résolution :
Exemple : On souhaite résoudre l'équation suivante :4x + 5 = - 6x - 13
On va essayer de "mettre » tous les x à gauche et les nombres à droite :Pour " supprimer » les x à droite , il suffit d'ajouter + 6x car -6x + 6x = 04x + 5 + 6x = -6x - 13 + 6x
4x + 6x + 5 = -6x + 6x - 13
10x + 5 = - 13
Pour " supprimer » les nombres à gauche , il suffit d'ajouter - 5 car -5 + 5 = 010x + 5 + (-5) = - 13 + (-5)