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Les annuités - Corrigés des exercices 1 Réponse : Cet exercice repose sur le calcul de l'actualisation d'une annuité ordinaire de 10 000 € sur 5 ans au taux de  

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Il faut donc attendre au moins 12 ans Exercice 2 : (3 points) Déterminer la valeur acquise, juste apr`es le dernier versement, d'une suite de 9 annuités de 300 

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IUT Dijon-Auxerre

GEA 1ere annee TD5, 2017-2018, S2

Mathematiques nancieres

Corrige du Contr^ole Continu n

o2

Question de cours :(2 points)

Donner les formules permettant de calculer le taux periodiqueperet le taux (annuel) eectifed'un produit

nancier propose au taux nominalnomet pour lequel il y ancapitalisations par an.

On a :

per=nomn ete= (1 +per)n1 =

1 +nomn

n1:

Exercice 1 :(3 points)

1. Quelle est la v aleuracquise par ce placemen tau b outde 8 ans ?

NotonsVnla valeur acquise par ce placement au bout denannees etC0le capital place. Puisque les intet^ets

sont composes, on a : V n=C0(1 +)n= 5001;04n: En particulier, la valeur acquise au bout de 8 ans est : V 2. Avec les notations precedentes, il sut d'ecrire que : V n800()5001;04n800 ()1;04n800500 = 1;6 ()nln(1;04) = ln(1;04n)ln(1;6) (car ln est croissante et ln(an) =nln(a)) ()nln(1;6)ln(1;04)'11;98 (car ln(1;04)>0):

Il faut donc attendre au moins 12 ans.

Exercice 2 :(3 points)

de 1,5%. On peut synthetiser l'information dans le tableau suivant :n ode l'anneek1:::89 annuiteak300:::300300 valeur deakjuste apres le 9eversement3001;0158:::3001;015300 La valeur acquise juste apres le dernier versement de cette suite d'annuites est donc : 1 1. Com biend ev ersementsauron tlieu p ourrem boursercet emprun t? Rappelons que la somme des amortissements est le capital emprunte. Ceux-ci etant constants egaux am=

1250, leur somme estnmounest le nombre de versements. On a doncnm=C0et ainsi

n=C0m =50001250 = 4:

Il y aura 4 versements.

2. Donner le mon tantI1des inter^ets de la premiere periode. Le montanta1de la premiere annuite se decompose commea1=m1+I1=m+I1. Ainsi, I 3. Exprimer I1en fonction deC0et du tauxde l'emprunt. En d eduire le taux de l'emprunt.

On a :

I

1=C0= 5000

donc =I15000 =505000 = 0;01 = 1%: 4.

Dresser le tableau d'amortissemen t.

Celui-ci prend la forme suivante.n

ode l'anneecapital restant d^uinter^ets de lakeperiodek eamortissementk eannuitekC k1I km ka k1500050000;01 = 5012501300

23750 = 5000125037;5012501287;50325002512501275

4125012;5012501262;50Exercice 4 :(4 points)

Un emprunt indivis amortissable par 10 annuites constantes est tel que le premier amortissement est egal

1.

Calculer le taux d'in ter^et.

Rappelons que les annuites etant constantes les amortissements verient : m k+1= (1 +)mk ouest le taux de l'emprunt. On a donc :m3= (1 +)2m1et 1 + >0. On en deduit que =rm 3m

11 =r87653;821579504;601 = 0;05 = 5%:

2.

Calculer le mon tantinitial de l'emprun t.

Rappelons que, pour un emprunt a annuites constantes, le premier amortissement verie :m1=C0(1+)n1ounest le nombre d'annuites etC0le capital emprunte. Ce dernier est donc :

C

0=m1(1 +)101

2

Exercice 5 :(4 points)

premier 1 an apres l'emprunt, le second 2 ans apres l'emprunt. 1. Calculer le T AEGdu pr ^etprop osepar c hacunedes deux banques.

Le TAEGAde la banque A verie :

13000 =14000(1 +A)2

donc

A=r14000

13000

1'0;038 = 3;8%:

Le TAEGBde la banque B verie :

1300 =

70001 +B+7000(1 +B)2:

En posantx= 1=(1 +B)>0 on se ramene a resoudre :

7000x2+ 7000x= 13000;

soit

7000x2+ 7000x13000 = 0:

Le discriminant de ce polyn^ome est

= 7000

247000(13000) = 413000000:

On obtient une solution negative que l'on elimine et une seconde : x

2=7000 +p413000000

27000
permettant de deduire la valeur du TAEGBen ecrivant que :

11 +B=x2

et donc B=1x

21 =17000+p413000000

270001'0;051 = 5;1%:

2.

Laquelle c hoisir?

On s'oriente vers la banque proposant le TAEG le plus faible, c'est-a-dire la banque A.

Exercice 6 : [Bonus](2 points)

Rappelons que le taux de rendement interne (TRI) d'un investissementIqui rapporte annuellement un revenu

constantRpendantnannees est le tauxqui annule la valeur actuelle nette (VAN) de l'investissement, c'est-a-dire

veriant l'equation :

I+R1(1 +)n

= 0: 1.

Ecrire l'equation denissant le TRI dans ce cadre.

pendantn= 4 annees. Avec ces valeurs, l'equation denissant le TRIde l'investissement s'ecrit :

39019;66 + 100001(1 +)4

= 0: 3

2.V erierque le TRI est d'en viron1%.

En injectant la valeur detaude 1% dans le membre de gauche de la derniere equation, on constate que :

39019;66 + 100001(1 + 0;01)40;01' 0;004'0

ce qui indique que le TRI de cet investissement est eectivement d'environ 1%. 3.

Sur le marc he,une ban queprop oseun pro duitnancier r emunereau taux ann uelde 2%. L'en treprisea-t-elle

inter^et a investir dans cette nouvelle machine?

Le produit nancier propose par la banque est remunere a un taux annuel superieur au TRI de l'investisse-

ment. L'entreprise n'a aucun inter^et a realiser cet investissement puisqu'elle realisera un plus grand prot en

placant chez cette banque la somme qu'elle aurait du investir (et sans travailler!). 4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46