I Mouvement relatif de deux référentiels sa vitesse absolue, définie dans le référentiel absolu Ra −−−− IV 1 Accélération absolue et accélération relative
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Trajectoires absolue, relative et d'entraînement ? Liens entre le mouvement de P vu par (1) (obs 1) Trajectoire absolue de P : traj de P vue par l'obs
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I M ouvement On prend deux référentiels, R absolu et R' relatif (attribution arbitraire) A) Mouvement d'entraînement 1) Définition C'est le mouvement de R' /R
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I Mouvement relatif de deux référentiels sa vitesse absolue, définie dans le référentiel absolu Ra −−−− IV 1 Accélération absolue et accélération relative
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Mouvement relatif et mouvement absolu Vitesse absolue Vitesse absolue Accélération relative Accélération d'entraînement Accélération de Coriolis
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I 1 Deux référentiels – Vitesse absolue – Vitesse relative On considère deux Ce point collé a un mouvement rectiligne uniforme de vitesse 4 m s-1 La vitesse
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M8 - CHANGEMENT
DE R´EF´ERENTIELS
OBJECTIFS
•Par d´efinition, le vecteur vitesse---→vM/R=? d--→OMdt? R ,O´etant un point fixe du r´ef´erentielR,d´epend du r´ef´erentiel dans lequel on l"´evalue. De mˆeme pour l"acc´el´eration---→aM/R=?d---→vM/R
dt? RDans ce chapitre, on se limite aux aspects cin´ematiques et on cherche `a ´etablir le liens entre les
vitesses et les acc´el´erations exprim´ees dans deux r´ef´erentiels diff´erents.Nouveaut´es de cette le¸con :
•Loi de composition des vitesses. •Loi de composition des acc´el´erations.•Notion de point co¨ıncidant pour savoir retrouver la vitesse d"entraˆınement-→ve(M)et
l"acc´el´eration d"entraˆınement-→ae(M) •Expression g´en´erale de l"acc´el´eration de Coriolis-→aC(M).I Mouvement relatif de deux r´ef´erentiels
I.1 Position du probl`eme
Q :Si on connaˆıt???la trajectoire deMdansRa la vitesse----→vM/Ra(t) l"acc´el´eration----→aM/Ra(t), quelle sont???la traj. deMdansRe la vitesse----→vM/Re(t) Pour r´epondre `a cette question, il faut connaˆıtre le mouvement deRepar rapport `aRa: ♦D´efinition :Le mouvement deRepar rapport `aRa s"appelle lemouvement d"entraˆınement. R a=Rs"appelle ler´ef´erentiel fixeour´ef´erentiel ab- solu. R e=R1s"appelle ler´ef´erentiel mobileour´ef´erentiel relatif. Notation :(-→ex,-→ey,-→ez) et (-→ex1,-→ey1,-→ez1) notent lesBases OrthoNorm´eesDirectes cart´esiennes deRetR1respecti- vement. I.2 Rotation relative des deux tri`edres des B.O.N.D. deRaetRe♦D´efinition :Il l existe un vecteur qu"on appellevecteur rotation d"entraˆınementdeRe=R1
p/r `aRa=R, not´e-→ΩR1/Rtel que : ?d-→ex1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ex1 ?d-→ey1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ey1 ?d-→ez1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ez1I.3 Translation et rotation
Le mouvement d"entraˆınement deRe=R1par rapportRa=Rest la superposition : - d"unerotation`a la vitesse angulaire-→ΩR1/R - et d"unetranslationqu"on peut caract´eriser par---→vO1/R=? d--→OO1 dt? RAvecOun point fixe dansRetO1un point fixe dansR1.
M8I. Mouvement relatif de deux r´ef´erentiels2008-2009 I.4 Mouvement d"entraˆınement par translation a Translation d"un solide dansR: ♦D´efinition :Un solide est enmouvement de trans- lationpar rapport `a un r´ef´erentielRsi, pour deux points AetBquelconques de ce solide, le vecteur--→ABgarde toujours les mˆemes direction, sens et norme au cours du temps :AB=-→Cte.
zPropri´et´es :Les trajectoires de tous les points d"un solide en translation sont superposables.Si ces trajectoires sont :
•des courbes de forme quelconque : on parle de translationcurviligne •des droites parall`eles : on parle de translationrectiligne •des cercles de mˆeme rayon : on parle de translationcirculaire.zPropri´et´e :--→AB=--→Cste?--→OB(t)--→OA(t) =-→Cte?---→vB/R(t) =---→vA/R(t)
Cl :au cours d"une translation, tous les points d"un solide ont,`a chaque instantt, le mˆeme vecteur vitesse-→v(t). Rq :Bien entendu, ce vecteur vitesse peut varierau cours du temps, en norme comme en direction! bR1est un solide g´eom´etrique qui peut ˆetre en translation p/r `aR:Dans ce cas, tout vecteur li´e `aRe=R1demeure
constant dansRa=R1; entre autre :-→ex1,-→ey1et-→ez1.Donc :
d-→ex1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ex1=-→0 ?d-→ey1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ey1=-→0 ?d-→ez1 dt? R =-→ΩR1/R×-→ez1=-→0? -→ΩR1/R=-→0zCl :Lorsqu"un r´ef´erentielR1a un mouvement d"entraˆınement de translation par rapport `a
un r´ef´erentielR, alors, son vecteur rotation d"entraˆınement en nul. I.5 Mouvement d"entraˆınement par rotation de R epar rapport `aRaHyp :Supposons que,?t:
•(Oz) = (O1z1) etO=O1. •le r´ef´erentielR1est en rotation dans le r´ef´erentielR autour de la verticale.Alors :???-→e
x1= cosθ-→ex+ sinθ-→ey-→ey1=-sinθ-→ex+ cosθ-→ey-→ez1=-→ez
Soit, en d´erivant par rapport au temps dans le r´ef´erentielR:2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.
2008-2009II. D´erivation d"un vecteur par rapport au tempsM8
d-→ex1 dt? R =θ(-sinθ-→ex+ cosθ-→ey) =θ-→ey1?d-→ey1 dt? R =θ(-cosθ-→ex-sinθ-→ey) =-θ-→ex1?d-→ez1 dt? R =-→0On peut facilement v´erifier que :
dt? R dt? R θ-→ez1×-→ez1=-→0 =?d-→ez1 dt?RDonc, en posant
-→Ω =θ-→ez, pouri=x, youz: ?d-→ei1 dt? =-→Ω×-→ei1 Alors (cf.I.2)-→Ω repr´esente levecteur rotation deR1par rapport `aR: -→ΩR1/R=-→Ω =θ-→ezRq :(Important `a comprendre!)?
La base (
ex1,-→ey1,-→ez1) est unebase cart´esiennedans le r´ef´erentielR1 Mais ces trois mˆeme vecteurs sont les vecteurs d"unebase polairedans le r´ef´erentielR.Cl :La nature d"une base (cart´esienne ou polaire) d´epend du r´ef´erentiel dans lequel on
travaille. II D´erivation d"un vecteur par rapport au tempsII.1 Formule de Varignon
•Soit un vecteur quelconque-→U. On peut le projeter dans laB.O.N.D.deR1=Re:-→U=Ux1-→ex1+Uz1-→ez1+Uz1-→ez1
•On peut d´eriver ce vecteurpar rapport au temps dans le r´ef´erentielRa=R: l"observateur,
pour cette op´eration, estLI´E`aR: d-→U dt? R R +Uy1?d-→ey1dt? R +Uz1?d-→ez1dt? R d-→U dt? R d-→Udt? R d-→U dt? R d-→Udt? R