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L - CONIQUES

DéfinitionOn appelleconiquel"ensemble des centres des cercles passant par un point fixeF et tangent à un cercle fixe(F?,2a) (a >0)ou à une droite fixeΔne contenant pasF. On appellerafoyerle point fixe,cercle directeurle cercle fixe etdirectricela droite fixe. - siFetF?sont confondus, l"ensemble est le cercle(F,a), - siFest à l"intérieur du cercle(F?,2a)on obtient uneellipse, - siFest à l"extérieur du cercle(F?,2a)on obtient unehyperbole, - si c"est une droite fixe, on obtient uneparabole.

Cas limites :

- sia= 0, l"ensemble est une droite, la médiatrice deFF?, - si le cercle directeur passe parF, l"ensemble est la droiteFF?, - si la directrice passe parF, l"ensemble est la droite orthogonale àΔpassant parF. A tout pointMde la conique, correspond un point de contactΦet un seul où le cercle(M,MF)est tangent au cercle(F?,2a)ou àΔ.

Inversement, si l"on se donne un point de contactΦsur le cercle directeur ou la directrice, on peut

construire facilement le pointMtel que le cercle(M,MF)soit tangent enΦau cercle(F?,2a)ou àΔ.

•Dans le cas du cercle directeur, le pointMest le point d"intersection deF?Φet de la médiatrice de

FΦ. Le seul cas où l"on n"obtient pas de pointMa lieu lorsque ces droites sont parallèles, ce qui n"est

possible que dans le cas de l"hyperbole.

F?FΦ

M ellipse

F?FΦM

hyperbole

L 2•Dans le cas de la directrice, le pointMest l"intersection de la médiatrice deFΦet de la droite

orthogonale àΔpassant parΦ. FΦ MΔ parabole

Remarque : on peut dire également qu"une parabole est l"ensemble des points équidistants d"un point

fixeFet d"une droite fixeΔ.

Coniques à centre

Ce sont les coniques autres que les paraboles. Les foyers sont les pointsFetF?. Ils jouent des rôles

symétriques d"après le théorème suivant. ThéorèmeL"ensemble des pointsMdont la somme des distances à deux points fixesFetF? est constante et vaut2aest une ellipse de foyerFet de cercle directeur(F?,2a)et réciproquement. L"ensemble des pointsMdont la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixesFetF?est constante et vaut2aest une hyperbole de foyerFet de cercle directeur (F?,2a)et réciproquement. Etudions par exemple le cas de l"ellipse. SoitMtel que

MF+MF?= 2a

et soit le cercle de centreF?et de rayon2a. La droiteMF?coupe le cercle enΦ. On a F ?Φ = 2a. Donc

MΦ = 2a-MF?=MF

etMest le centre du cercle passant parFet tangent à(F?,2a)enΦ. Il en résulte queMest sur l"ellipse de foyerFet de cercle directeur(F?,2a). L 3 Réciproquement, siMest un point de cette ellipse, on a

MF=MΦ

et donc

MF+MF?=MΦ +MF?= 2a.

On a une démonstration analogue dans le cas de l"hyperbole. On peut remarquer que l"hyperbole comporte deux branches : - les points tels que MF ?-MF= 2a qui sont du même côté de la médiatrice deFF?queF, - les points tels que

MF-MF?= 2a

qui sont du même côté de la médiatrice deFF?queF?. Aucun point ne peut se trouver sur la médiatrice.

Symétries - Sommets

DéfinitionOn appellesommetd"une conique, les points situés sur un axe de symétrie de la conique.

Il résulte des définitions des ellipses et hyperboles qu"elles ont deux axes de symétrie : l"axe focalFF?

et la médiatrice deFF?. Elles ont donc un centre de symétrie qui est le milieuOdeFF?. On posera

FF ?= 2c la distance focale, et donc

OF=OF?=c.

On constate qu"il existe deux sommetsAetA?situés sur l"axe focal. Ils sont à l"extérieur deFF?dans

le cas de l"ellipse et compris entreFetF?dans le cas de l"hyperbole.

Dans les deux cas

OA=OA?=a,

puisque l"on doit avoir

AF+AF?=A?F+A?F?= 2a

dans le cas de l"ellipse et |AF-AF?|=|A?F-A?F?|= 2a dans le cas de l"hyperbole. On peut alors caractériser les coniques à centre par la valeur du rapportc/a: - les ellipses correspondent au cas oùc/a <1, L 4- les hyperboles correspondent au cas oùc/a >1.

Le cercle, cas particulier de l"ellipse, est obtenu lorsquec/a= 0. (Foyers confondus avec le centre du

cercle).

Dans le cas de l"ellipse, on trouve deux autres sommets sur l"autre axe de symétrie : ce sont les points

BetB?symétriques par rapport àO. Ils vérifient, puisque

BF=BF?

la relation

BF+BF?= 2BF= 2a

et donc, grâce au théorème de Pythagore BO

2=BF2-OF2=a2-c2.

On posera donc

b=BO=? a2-c2.

Dans le cas de l"hyperbole, il n"y a pas de sommet sur le secondaxe de symétrie. On posera cependant

b=? c2-a2.

Il reste la parabole, qui a comme unique axe de symétrie le droite orthogonale à la directrice et passant

parF. Si elle coupeΔenH, le milieu deFHest le seul sommet. DéfinitionOn appelleexcentricitéd"une conique le rapport e=c a dans le cas d"une conique à centre et le nombre e= 1 dans le cas d"une parabole.

Tracé continu

ellipse :on attache à deux pointsFetF?les extrémités d"un fil. En tendant le fil, le crayon décrira

un ellipse de foyersFetF?. L 5 F F?M

hyperbole :on appuie une règle plate sur un pointF?de telle sorte que, siGest une extrémité de la

règle, la distanceGF?reste constante. On attache un fil enFetGque l"on tend le long de la règle.

Lorsque la règle pivote autour deF, le crayon décrit une hyperbole de foyersFetF?. En effet

MF-MF?= (GMF)-GF?

et le membre de droite est une constante. F?M FG parabole :on appuie une équerre sur une droite fixeDet l"on tend un fil joignant le pointFà

l"extrémitéGde l"équerre non située surD. Le fil est tendu le long de l"équerre et, lorsque celle-ci se

déplace le long deD, le point décrit une parabole de foyerF. En effet

FM-HM= (FMG)-HG

et le membre de droite est une constante. Si de plus la longueur du fil est égale à celle de l"équerre, la

droiteDest la directrice de la parabole. L 6 DM FGH

Construction par points des coniques à centre

Connaissant les foyersFetF?et la longueur2a, on peut construire facilement de nombreux points de la conique. Il suffit de prendre deux longueursretr?vérifiant r+r?= 2aou|r-r?|= 2a

et de tracer les cercles(F,r)et(F?,r?). Les points d"intersection s"ils existent appartiennent àla conique.

Points à l"infini et asymptotes

Pour l"ellipse, la relation

MF+MF?= 2a

empêche le pointMde s"éloigner à l"infini.

Pour la parabole, pour tout pointΦde la directrice, il existe un pointMunique situé sur la médiatrice

deFΦet la droiteΦzorthogonale enΦà la directrice. LorsqueΦs"éloigne à l"infini surΔ, la droite

FΦtend à devenir parallèle àΔet la médiatrice deFΦtend à devenir parallèle àΦz. Le pointM

s"éloigne donc à l"infini.

Pour l"hyperbole, siΦ0est le point du cercle directeur(F?,2a)tel queFΦ0soit tangent à ce cercle,

les droitesF?Φ0et la médiatrice deFΦ0sont parallèles et le pointMest rejeté à l"infini.

Prenons un pointΦvoisin deΦ0sur le cercle(F?,2a). AppelonsKla projection orthogonale deMsur FΦ0etM?celle deMsurHzmédiatrice deFΦ0. On a donc MM ?=KH . SoitIla seconde intersection du cercle(M,MF)avecFΦ0. On a donc

MF=MΦ =MI .

CommeKest le milieu deFIetHcelui deFΦ0, on aura

FH=12FΦ0etFK=12FI

L 7 d"où l"on déduit

KH=12IΦ0.

LorsqueΦtend versΦ0, le pointItend aussi versΦ0et doncKHtend vers0. Il en résulte queMM? tend vers zéro, ce qui signifie que la droiteHzest asymptote à l"hyperbole. F?FM M?z 0 I H K

Il y aura une seconde asymptote symétrique de la première parrapport àFF?. L"angleθque fait

l"asymptote avecFF?est égal à?(F?F,F?Φ0). On a donc cosθ=2a

2c=1e.

En particulier, lorsquee=⎷

2, on obtientcosθ=π/4. Les deux asymptotes sont orthogonales. On dit

que l"hyperbole estéquilatère. L 8Caractérisation des coniques par foyer, directrice et excentricité ThéorèmeOn se donne un pointF, une droiteΔne contenant pasFet un réelestrictement positif. L"ensemble des points dont le rapport des distances àFet àΔvauteest une conique admettantFcomme foyer etecomme excentricité. Réciproquement, pour toute conique de foyerFet d"excentricitéenon nulle, il existe une droite

Δunique, telle que la conique soit l"ensemble des points dontle rapport des distances àFet àΔ

vaute. Le cas de la parabole, correspondant au case= 1est déjà traité. Supposons donnée une conique définie par le foyerFet le cercle directeur(F?,2a).

F?FOMΔ

0Φ K H A I

SoitΦ0un point d"intersection de l"axe focal avec le cercle etAle milieu deFΦ0. On considère alors

le cercle de centreApassant parFet tangent au cercle directeur enΦ0, et le cercle dont le centre est

un pointMde la conique, passant parFet tangent au cercle directeur enΦ. Les droitesΦΦ0etMA se coupent enI.

Les cercles(F?,2a)et(A,Φ0A)sont homothétiques dans une homothétie de centreΦ0. De même les

cercles(F?,2a)et(M,ΦM)sont homothétiques dans une homothétie de centreΦ. Il en résulte que

L 9

les cercles(A,Φ0A)et(M,ΦM)sont homothétiques. Le centre d"homothétie est situé sur laligne des

centres des deux cercles et sur la ligne des centres des deux premières homothéties, c"est doncI. Il

en résulte queIest aussi le pôle d"une inversion transformant(M,ΦM)en(A,Φ0A). Cette inversion

laisseFfixe et transformeΦenΦ0, puisque les rayonsMΦetAΦ0ne sont pas parallèles. On aura

donc IF 2=

IΦ·IΦ0.

Cette relation exprime que le pointIa même puissance par rapport au cercle(F?,2a)et au cercle-point

Fet se trouve donc sur l"axe radical de ces deux cercles, qui est une droite fixeΔperpendiculaire à

FF ?en un pointKtel que

OK=R2-R?2

2FF? oùOest le milieu deFF?etRetR?sont les rayons des deux cercles. Donc

OK=4a2

4c=a2c.

Si maintenant on projette le pointMsurΔenH, les trianglesIMHetIAKsont semblables et donc MH

AK=IMIA.

Ceci est le rapport de l"homothétie de centreItransformant(A,AΦ0)en(M,MΦ). Il est donc égal

au rapport des rayonsMF/AF. On en déduit MF

MH=AFAK=a-ca2

c-a=ca=e.

Réciproquement, on se donne un pointF, une droiteΔet un réel positife. AppelonsKla projection

orthogonale deFsurΔetAle point situé entreAetKtel que AF AK=e. SoitΦ0le symétrique deFpar rapport àA. On se donne un pointMvérifiant la relation MF MH=e oùHest la projection orthogonale deMsurΔ. La droiteMAcoupeΔenI. Des deux relations précédentes, on tireMF

AF=MHAK

et, en utilisant les triangles semblablesIAKetIMH, ces rapports sont encore égaux àIM/IA. Traçons les cercles de centresMetApassant parF. La droiteIΦ0coupe le cercle de centreMen un

pointΦtel queMΦne soit pas parallèle àAK. AlorsΦest l"inverse deΦ0dans l"inversion de pôleI

qui transforme(A,AΦ0)en(M,Φ)et laisseFinvariant. En effet, la relation MF

AF=IMIA

L 10montre que les deux cercles sont homothétiques dans une homothétie de centreI, et donc queIest

aussi pôle d"inversion. On a la relation IF 2=

IΦ·IΦ0.

Si l"on trace un cercle(F?,F?Φ0)tangent enΦ0au cercle(A,AF)et passant parΦ, ce cercle est invariant par l"inversion de pôleIet de puissanceIF2qui transforme(A,AF)en(M,MF)et donc, par conservation des contacts, il est aussi tangent au cercle(M,MF)enΦ. Enfin, la relation ci-dessus montre queIappartient à l"axe radical du cercle-pointFet du cercle

(F?,F?Φ0). Mais, dans le faisceau défini par l"axe radicalΔet le cercle-pointF, il existe un cercle

unique passant parΦ0. Le cercle(F?,F?Φ0)est donc indépendant deMet le pointF?est donc fixe.

Il en résulte queMest le centre d"un cercle passant par un point fixeFet tangent à un cercle fixe

(F?,F?Φ0). Le pointMest donc sur la conique de foyersFetF?et d"excentricitée.

Remarque : siAetA?sont les sommets de la conique situés sur l"axe focal et siKest le pied deΔsur

cet axe, on a vu que OK=a2 c et donc

OK·OF=OA2,

ce qui montre queΔest la polaire deFpar rapport au cercle de diamètreAA?, appelécercle principal.

Il y a, pour des raisons de symétrie, une autre directriceΔ?associée àF?, symétrique de la première

par rapport au centreO. DéfinitionOn appelleparamètred"une conique la distancepentre un foyer de la conique et un point de la conique situé sur la parallèle à une directricepassant par ce foyer. - Dans le cas d"une parabole,pest aussi la distance du foyer à la directrice. - Pour une conique à centre, on a p=MF=e·MH=e·FK=c a|OK-OF|=ca???? a2c-c???? =b2a. - Remarquons que pour un cercle, on aa=b=R. La formule précédente donne égalementp=Ret c"est ce que l"on adoptera comme valeur du paramètre dans ce cas.

Cas limites : si l"on étudie l"ensemble des points tels que lerapport des distances à un point fixeFet

à une droite fixeΔcontenantFvaute >0, le problème n"a pas de solution autre que le pointFsi

e <1. Poure= 1, c"est la droite orthogonale àΔenF(parabole dégénérée). Poure >1, c"est un

couple de droites concourantes enFet symétriques par rapport àΔ, faisant avec la normale àΔun

angleθtel que cosθ=1 e. (Hyperbole dégénérée, réduite à ses asymptotes). L 11

Intersection d"une droiteDet d"une conique

1) La conique est définie par un foyerFet le cercle directeur(F?,2a).

Si une droite coupe la conique enM, ce point sera le centre d"un cercle passant parFet tangent au

cercle directeur. Mais le cercle passera aussi par le symétriqueGdeFpar rapport à la droiteD. On

est donc ramené à déterminer, parmi les cercles du faisceau àpoints de baseFetG, ceux qui sont

tangents au cercle directeur.

On trace un cercle quelconque (de centreQ) du faisceau et l"on détermine l"axe radical de ce cercle et

du cercle directeur. Cet axe coupeFGenI, qui sera le centre radical de tous les cercles de la figure. De

I, on mène les tangentes au cercle directeurIΦetIΦ?, qui donneront les points où les cercles cherchés

sont tangents au cercle directeur. On obtient alorsMetM?comme points d"intersection deDavec F ?ΦetF?Φ?respectivement. M?IM GΦ DF ?FQ

L 12On voit facilement que siFetGne se trouvent pas dans la même région du plan par rapport au cercle

directeur, alorsIse trouve à l"intérieur de ce cercle, et l"on ne peut mener de tangentes au cercle issues

deI. La droite ne coupe donc pas la conique. Dans le cas oùFetGse trouvent dans la même région

du plan, le problème a une solution. Quelques cas particuliers apparaissent cependant :

- sécantes focales : ce sont des droites passant par un des foyers. En dehors de l"axe focal dont les

sommets se trouvent facilement, on prendra pourFle foyer appartenant à la droite. On considère alors

les cercles du faisceau singulier passant parFet centrés surD, et le problème se traite comme dans le

cas général.

- dans le cas de l"hyperbole, droiteDparallèle à une asymptote, lorsque la droiteFGest tangente au

cercle directeur. Une des droiteF?Φ,F?Φ?est parallèle àDet un des pointsMetM?est rejeté à l"infini.

Il y aura une solution seulement, sauf dans le cas oùIest un des pointsΦouΦ?, c"est-à-dire quandD

est asymptote à la conique.

2) La conique est une parabole donnée par son foyer et sa directriceΔ.

M? I MΦ ΔD Q F GT L 13

Comme dans 1), siGest le symétrique du foyer par rapport àD, on cherche les cercles du faisceau à

points de baseFetGtangents àΔ.

SiIest l"intersection deFGet deΔ, on mène deIune tangenteITà un cercle quelconque (de centre

Q) du faisceau et l"on place surΔles pointsΦetΦ?tels que

IΦ = Φ?I=IT .

Les intersections deDet des normales àΔenΦetΦ?donnent les pointsMetM?respectivement.

Le problème n"a pas de solution siFetGne se trouvent pas dans la même région du plan par rapport

SiDest orthogonale àΔenH, il existe un seul pointMqui est l"intersection deDavec la médiatrice

deFH. H MF D

3) La conique est définie par foyer, directrice et excentricité.

SoitHl"intersection deDet de la normale àΔpassant parF, etKla projection orthogonale deHquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46